1、第七节生活中的圆周运动1巩固向心力和向心加速度的知识。2会在具体问题中分析向心力的来源。3会利用牛顿第二定律解决生活中比较简单的圆周运动问题。1.铁路的弯道(1)运动特点：火车在弯道上的运动可看做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。(2)轨道设计：转弯处外轨略高(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向是斜向弯道内侧，它与重力的合力指向圆心。若火车以规定的速度行驶，转弯时所需的向心力几乎完全由支持力和重力的合力来提供。2拱形桥续表3航天器中的失重现象(1)向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，mgFNm，所
2、以FNmgm，故宇航员处于失重状态。(2)完全失重状态：当v时，座舱对宇航员的支持力FN0，宇航员处于完全失重状态。4离心运动(1)定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动。(2)原因：向心力突然消失或合外力不足以提供所需的向心力。(3)应用：洗衣机的脱水筒，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等。(4)危害：汽车转弯时，若最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，汽车会做离心运动而造成事故。高速转动的砂轮、飞轮，若超过最大转速，会做离心运动致使破裂，造成事故。判一判(1)铁轨弯道处外高内低，是为了方便火车转弯。()(2)若弯道处重力与支持力的合力恰好提供火车做圆周运动的向心力，则火车处
3、于平衡状态。()(3)水平路面上，车辆转弯时，静摩擦力提供向心力。()提示：(1)铁轨外高内低使火车受到的重力与支持力的合力指向圆心，为火车提供向心力。(2)火车做圆周运动，受力不平衡，并不处于平衡状态。(3)水平路面上，重力与支持力沿竖直方向，只能由静摩擦力提供向心力。想一想洗衣机脱水的原理是什么？提示：洗衣机脱水时，由于高速转动，水滴需要较大的向心力才能与衣服一起做圆周运动。当转速足够大时，衣服已无法向水滴提供足够大的附着力(作为向心力)，水滴便做离心运动，离开衣服，于是衣服被脱水。课堂任务火车转弯问题仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：如图甲所示，如果铁路弯道的内外轨一样高，
4、火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？提示：如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮会极易受损。活动2：实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点？若火车的速度为v，轨道平面与水平面之间的夹角应满足什么样的关系，轨道才不受挤压？提示：如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向
5、心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压。要使轨道不受挤压，需要重力和支持力的合力提供向心力，则FnFmgtanm，所以应满足tan，其中R为弯道半径。活动3：讨论、交流、展示，得出结论。(1)弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即mgtanm，则v0，其中R为弯道半径，为轨道平面与水平面间的夹角，v0为转弯处的规定速度。(2)速度与轨道压力的关系当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨无挤压作用。当火车行驶速度vv0时，火车对外轨有挤压作用。当火车行驶速度vm2r或F合，物
6、体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。(3)若F合m2r或F合时，细杆会受到小球的拉力；当小球在最高点的速度v时，细杆会受到小球的压力。规范解答 设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mgm得v0 m/s m/s。由于v2.0 m/s，所以小球在P点受到的弹力向下，且随着vP增大，受到向下的弹力增大，A、C错误，D正确。在最低点Q点，由于重力向下，合力即向心力向上，故弹力一定向上，B正确。(多选)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管运动，设小球经过最高点P时的速度
7、为v，则()Av的最小值为Bv若增大，球所需的向心力也增大C当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案BD解析由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fnm，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v时，圆管弹力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大，v由逐渐增大时，轨道对球向下的压力也增大，C错误，D正确。例5一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m0.5 kg，水的重心到转轴的距离l50 cm，g
8、取10 m/s2。求：(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v3 m/s，求水对桶底的压力大小。(1)最高点水不流出来是什么意思？提示：如果桶在最高点的速度为0或较小，那么水就会在重力作用下流出来，所以桶在最高点必须有一个最小速度，即临界速度，只要当桶在最高点的速度大于或等于临界速度时，水才不会流出来。(2)绳模型中最高点的临界速度是多少？提示：绳模型中物体通过最高点，至少受重力作用，所以向心力最小等于重力。由mgm求出临界速度v。规范解答(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此
9、时桶的速率最小。此时有：mgm则所求速率即为桶的最小速率：v02.24 m/s。(2)在最高点水桶的速率v3 m/s2.24 m/s，水桶能过最高点，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FNmgm代入数据可得：FN4 N由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FN4 N。完美答案(1)2.24 m/s(2)4 N绳、杆模型对比(1)绳模型、杆模型中小球做的都是变速圆周运动，在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力。(2)在最低点的受力特点是一致的，在最高点杆、轨道可以提供竖直向上的支持力，而绳不能提供支持力，只能提供向下的拉力。杂技演员表演“水流星”，在长为1.6
10、m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)()A“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N答案B解析“水流星”在最高点的速度v4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。A组：合格性水平训练1(离心运动的理解)关于离
11、心运动，下列说法中正确的是()A物体一直不受外力作用时，可能做离心运动B做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时做离心运动C做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化便将做离心运动D做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或数值变小时将做离心运动答案D解析物体一直不受外力作用，物体应保持静止状态或匀速直线运动状态，A错误；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力等于向心力，当外界提供的向心力增大时，物体所需的向心力并没有增大，物体将做近心运动，B错误；做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化，物体可能仍做圆周运动，例如变速圆周运动，也可能做近心运动或离心运动，C错误；根据离心
12、运动的条件可知，D正确。2(航天器中的失重现象)(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是()A航天员仍受重力作用B航天员受的重力提供其做匀速圆周运动的向心力C航天员处于超重状态D航天员对座椅的压力为零答案ABD解析航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供航天飞机绕地球做匀速圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，也是重力提供向心力，即mgm，A、B正确；此时航天员不受座椅弹力，即对座椅无压力，处于完全失重状态，D正确，C错误。3(凹桥模型)秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千()A在下摆
13、过程中 B在上摆过程中C摆到最高点时 D摆到最低点时答案D解析当秋千摆到最低点时速度最大，由Fmgm知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，D正确。4. (拱桥模型)在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，如图所示，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是()A玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些B玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些C玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态D玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小答案D解析玩具车运
14、动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mgFNm，即FNmgmmg，可知玩具车此时处于失重状态，C错误；玩具车静止在拱桥顶端时，示数即总重力，运动通过拱桥顶端时，系统有向下的加速度(向心加速度)，支持力小于总重力，即示数小于总重力，且速度越大，向心加速度越大，示数越小，A、B错误，D正确。5.(汽车转弯问题)在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看做是半径为R的圆周运动。设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进
15、方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于()A. B. C. D. 答案B解析设路面的倾角为，根据牛顿第二定律得mgtanm，又由数学知识可知tan，联立解得v，B正确。6.(绳模型)(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()A小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为D小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时
16、，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。7. (绳模型)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()A0 B. C. D.答案C解析由题意知，乘客受到座椅的压力Fmg，则Fmg2mgm，故最高点处速度大小v，C正确。8(拱桥模型)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图
17、所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则()A小汽车通过桥顶时处于失重状态B小汽车通过桥顶时处于超重状态C小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FNmgmD小汽车到达桥顶时的速度必须大于答案A解析由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mgFNm，解得FNmgmmg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FNmgm只在小汽车通过桥顶时成立，而在其上桥过程中不成立，C错误；由mgFNm，FN0，解得v1，D错误。9.(杆模型)如图所示，质量
18、为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。小球运动到最高点时速度为v ，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是()A.mg的拉力 B.mg的压力C零 D.mg的压力答案B解析当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，mgm，解得v，而 时，故杆对球是支持力，即mgFNm，解得FNmg，由牛顿第三定律，球对杆的压力为mg，故选B。10.(拱桥模型)如图所示，是一座半径为40m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0103 kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10 m/s，则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力为多大？汽车对桥面的压力是多少？(取g10 m/s2)答案2.
19、5 m/s22.5103 N7.5103 N解析汽车的向心加速度a m/s22.5 m/s2。汽车的向心力Fma1.01032.5 N2.5103 N。在桥的最高点，汽车的向心力由重力和桥的支持力的合力提供，如图所示，FmgFN，则FNmgF1.010310 N2.5103 N7.5103 N，根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力F压FN7.5103 N。11(拐弯问题)某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为100m，一赛车和车手的总质量为100 kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600 N。(g取10 m/s2)(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？(2)若将场地建
20、成外高内低的圆形，且倾角为30，赛车的速度多大时，车手感觉不到自己有相对车的侧向的运动趋势？答案(1)不会侧滑(2)24 m/s解析(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。赛车做圆周运动所需的向心力为Fm400 N600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。(2)由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，于是车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知mgtanm，解得v24 m/s。B组：等级性水平训练12. (火车拐弯)(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是
21、()A减小内外轨的高度差 B增加内外轨的高度差C减小弯道半径 D增大弯道半径答案AC解析当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fnmgtanm，故v，若使火车经过弯道时的速度v减小，则可以减小倾角，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。13. (轻杆模型)(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()A小球通过最高点时的最小速度是B小球通过最高点时的最小速度为零C小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案B
22、D解析圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故小球通过最高点的最小速度为零，A错误，B正确。小球在水平线ab以下时，合外力必须有指向圆心方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小球有作用力，C错误，D正确。14.(杆模型)长L0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m2 kg。现让A在竖直平面内绕轻杆另一端O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小。(g10 m/s2)(1)A的速率为1 m/s；(2)A的速率为4 m/s。答案(1)16 N(2)44 N解析以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mgFm。(1)代入数据v11 m/s，可得F1m2 N16 N，即A受到杆的支持力为16 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N。(2)代入数据v24 m/s，可得F2m2 N44 N，即A受到杆的拉力为44 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N。