1、基础达标1函数yln xx在x(0，e上的最大值为()Ae B1C1 De解析：选C函数yln xx的定义域为(0，)又y1，令y0得x1，当x(0，1)时，y0，函数单调递增；当x(1，e时，y0，函数单调递减当x1时，函数取得最大值1.2下面为函数yxsin xcos x的递增区间的是()A(，) B(，2)C(，) D(2，3)解析：选Cy(xsin xcos x)sin xxcos xsin xxcos x，当x(，)时，恒有xcos x0.3(2014湖北荆州质检)设函数f(x)在R上可导，其导函数是f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：
2、选Cf(x)在x2处取得极小值，即x2，f(x)0；x2，f(x)0，那么yxf(x)过点(0，0)及(2，0)当x2时，x0，f(x)0，则y0；当2x0时，x0，f(x)0，y0；当x0时，f(x)0，y0.4函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc BcbaCcab Dbca解析：选C依题意得，当x1时，f(x)0，f(x)为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，caB5已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1，1，则f(m)f
3、(n)的最小值是()A13 B15C10 D15解析：选A求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1，0)上单调递减，在(0，1上单调递增，当m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1，1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.6函数y2x的极大值是_解析：y2，令y0，得x1.当x1时，y0；当x1时，y0.当x1时，y取极大值3.答案：37已知x3是函数f(x)aln xx210x的一个极值点，则
4、实数a_解析：f(x)2x10，由f(3)6100，得a12，经检验满足条件答案：12 8.若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调函数，412m0，即m.答案：9(2012高考重庆卷)设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)aln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln
5、 xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因为x2不在定义域内，舍去)当x(0，1)时，f(x)0，故f(x)在(0，1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.10已知函数f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)(f(x)x3)ex，若函数g(x)在x3，2上单调递增，求实数c的取值范围解：(1)由f(x)x3ax2xc，得f(x)3x22ax1.当x时，得af32a1，解之，得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xC则f(x)3x22x13
6、(x1)，列表如下：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(，)和(1，)；f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex，有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex，因为函数g(x)在x3，2上单调递增，所以h(x)x23xc10在x3，2上恒成立只要h(2)0，解得c11，所以c的取值范围是11，)能力提升1设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数g(x)f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象的是()解析：选D因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)
7、ex，且x1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0；选项D中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.2(2013高考浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值 D当k2时，f(x)在x1处取到极大值 解析：选C当k1时，f(x)(ex1)(x1)，则f(x)ex(x1)(ex1)exx1，所以f(1)e10，所以f(1)不是极值当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，则f(x)ex(x1)22(ex1)(x1)
8、ex(x21)2(x1)(x1)ex(x1)2，所以f(1)0，且当x1时，f(x)0；在x1附近的左侧，f(x)0，所以f(1)是极小值3已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)的极大值与极小值之差为_解析：y3x26ax3b，y3x26x，令3x26x0，则x0或x2.f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.答案：44(2012高考福建卷改编)已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正
9、确结论的序号是_解析：f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x3，由f(x)0，得x1或x3，f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又abc，f(a)f(b)f(c)0，y极大值f(1)4abc0，y极小值f(3)abc0，0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0，c0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0，f(0)f(1)0，f(0)f(3)0，正确结论的序号是.答案：5(2014浙江温州市适应性测试)已知函数f(x)ax2ex(aR)(1)当a1时，试判断f(x)的单调性并给予证明；(2)若f(
10、x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x2ex，f(x)在R上单调递减，f(x)2xex，只要证明f(x)0恒成立即可，设g(x)f(x)2xex，则g(x)2ex，当xln 2时，g(x)0，当x(，ln 2)时，g(x)0，当x(ln 2，)时，g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220，故f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递减(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f(x)0的两个根，故方程2axex0有两个根x1，x2，又x0显然不是该方程的根，方程2a有两个根，设(x)，得(x)，当x0时，
11、(x)0且(x)0，(x)单调递减，当x0时，(x)0，当0x1时，(x)0，(x)单调递减，当x1时，(x)0，(x)单调递增，要使方程2a有两个根，需2a(1)e，故a且0x11x2，故a的取值范围为(，)6(选做题)(2014东城区统一检测)已知aR，函数f(x)ln x1.(1)当a1时，求曲线xf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值解：(1)当a1时，f(x)ln x1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)因此f(2)，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为.又f(2)ln 2，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(
12、ln 2)(x2)，即x4y4ln 240.(2)因为f(x)ln x1，所以f(x).令f(x)0，得xA若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x(a，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln A若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a；当ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为.
