1、浙江省杭州市第二中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）1.若且为第三象限角，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.【详解】因为且为第三象限角，所以，则.故选C【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.2.函数的图像（ ）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】B【解析】【分析】根据关于点对称,关于直线对称来解题.【详解】解：令,得,所以对称点为.当,为,故B正确；令,则对称轴为,因此直线和均不是函数的对称轴.故选B【点睛】本题主要考查正弦
2、函数的对称性问题.正弦函数根据关于点对称,关于直线对称.3.函数在定义域上是（ ）A. 单调递减的偶函数B. 单调递减的奇函数C. 单调递增的偶函数D. 单调递增的奇函数【答案】D【解析】【分析】先由得出函数是奇函数,再根据在R上为增函数得出结论.【详解】解:,根据奇偶性的定义,为奇函数;又在上为增函数.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题.4.的三边分别为a,b,c,若是锐角三角形,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据是锐角三角形,令,然后逐项判断排除即可.【详解】解:是锐角三角形,可令,A错误;,C错误;,D错误;,B正确.故选:B【点睛】本题
3、考查三角形内角和定理,以及三角形内角的正余弦值之间的关系,可用排除法得出正确选项.5.设,且,则的值是（ ）A. B. 2C. 或2D. 不存在【答案】C【解析】【分析】先进行对数运算,将化为,然后利用同角三角函数商的性质得到,即可求出的值.【详解】解:,即：,化简得：,解得为或.故选:C【点睛】本意考查对数的运算,和同角三角函数商的性质,属于跨章节的综合应用题,掌握好运算性质是解题的关键.6.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意首先确定实数a,b的取值范围，然后结合函数的性质即可确定满足题意的函数图像.【详解】由函数的图象可
4、得，故函数y=loga(xb)是定义域内的减函数,且过定点(1+b,0).结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，对数函数的图像识别等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设,分别是函数和的零点（其中）,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解法一:（图象法）根据题意可知分别为与和与交点的横坐标,再根据同底数的指数对数函数互为反函数,有.代入,再根据区间上单调递增,所以.解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知、是方程和的根,又,所以函数在上单调递增,所以.代入在区间上单调递增,所以.【详解】解:解法一:（图
5、象法）根据函数零点的定义可知函数与的图象交点为,同理可得函数与的图象交点为.又因为函数与的图象关于直线对称,函数的图象也关于直线对称,所以点与点关于直线对称,所以.由可知,所以在区间上单调递增,所以.故选:D解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知是方程的根,所以也是函数零点.同理可得是方程的根,即,所以,所以也是函数的零点.又,所以函数在上单调递增,所以.由可知,所以在区间上单调递增,所以.故选:D【点睛】本题考查了方程的根的确定、反函数性质的应用以及利用函数的单调性求最值,属于基础题.8.对任意,不等式恒成立,则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解法
6、一:（换元法）设,则原不等式可化为.求函数的最小值,从而不等式可得.解法二:（特殊值法）代入, ,排除错误选项即可.【详解】解:解法一:（换元法）设,则原不等式可化为.令,则,从而解不等式可得.故选B.解法二:（特殊值法）当时,因为,当且仅当时,等号成立.此时不恒成立,所以不合题意,可以排除C、D.当时,因为,当且仅当时,等号成立.此时恒成立,所以符合题意,可以排除A.故选:B【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.9.已知函数,()在区间上是增函数,且在区间上恰好取得一次最大值1,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】
7、C【解析】【分析】解法一:(复合函数法)令,根据,得出.再根据的单调性得出,解得.又因为时,函数在区间恰好取一次最大值1,可得,即可解得.解法二:(特殊值法)带入特殊值当, ,逐项排除即可.【详解】解：解法一:(复合函数法)令,则.所以函数在区间上单调递增,从而可得,则,解得.当时,所以函数在区间恰好取一次最大值1,所以,解得.综上所知.故选:C解法二:(特殊值法)当时,令,则,则函数在区间上不单调,所以不合题意,排除B、D.当时,令,则,则函数在区间取不到最大值1,所以不合题意,排除A.故选:C【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数的取值,属于基础题.10.设不等式对所有的均成立
8、,则实数的取值范围是（ ）A. 或B. C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】根据不等式对所有的均成立,取时,可得,解得或,利用换元法把不等式换为,分和两种情况讨论的最大值即可求得实数的取值范围.【详解】解:因为不等式对所有的均成立,当时,有最大值,不等式显然要成立,即,解得或,当时,令,则,所以等价于,当时,即在恒成立,即,即求最大值,所以;当时,在恒成立,即,即求的最小值,;综上:或.故选:A【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.11.圆心角为1弧度的扇形半径为1，则该扇形的周长为_，面积为_.【答案】 (1). 3 (2). 【解
9、析】【分析】先根据公式,求出弧长,即可得出周长,再根据得出面积.【详解】解：已知知弧长,根据弧度制公式：,所以,则周长;故答案为：(1). 3 (2). 【点睛】本题考查弧度制,利用弧度与半径求扇形周长和面积,属于基础题.12.若函数满足：对任意的实数x,有且,当时,则_,当时,_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】根据可得函数的周期为,所以,又根据得出,整理可知时,所以.【详解】解：由,则,故,即,;当时,当时,得,所以时,即,故答案为：（1）1;（2）【点睛】本题考查函数的周期性,利用函数的周期性解决函数求值问题,属于基础题.13.若,则x的取值范围是_；若,则x的取值范围
10、是_.【答案】 (1). (2). ,【解析】【分析】根据,又因为,结合特殊的三角函数值,即可就出解;利用换元法令,则转化为,解得,结合即可求出不等式的的解.【详解】解：由,又因为,解得：;令,则,解得,故答案为：（1）;（2）,.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,以及根据三角函数的值域求参数,属于简单题.14.已知函数.在处取得最大值，则_；若函数的周期是，函数的单调增区间是_.【答案】 (1). (2). ，【解析】【分析】根据在处取得最大值,得,求出 ,则可以求出的值;根据函数的周期是,求出,则,所以的周期为,再根据,即可求出函数的单调增区间.【详解】解析：由在处取得最大值,得,.函数
11、的周期是,所以,的周期为,由,函数的单调增区间是,.故答案为：（1）;（2）,.【点睛】本题考查三角函数的周期性和单调性,属于基础题.15.设函数,则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据,得出,利用换元法得到,再根据,得出最小值.【详解】解：令,的最小值为,因此的最小值.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式,以及利用不等式求最小值,属于基础题.16.设函数是以2为最小正周期的周期函数，且时，则_.【答案】【解析】【分析】根据是以2为最小正周期的周期函数,将整理成,又因为,则根据求解即可.【详解】解：因为是以2为最小正周期的周期函数,又因为时,故答案为：【点睛】本意考查函数的周期
12、性,是基础题.17.已知实数，若关于方程有三个不同的实根，则的取值范围为_【答案】【解析】试题分析：原问题等价于有三个不同的实根，即与有三个不同的交点，当时，为增函数，在处取得最小值为，与只有一个交点.当时，根据复合函数的单调性，其在上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需，解得.考点：函数与方程零点.【思路点晴】本题主要考查复合函数零点与单调性的问题.函数是一个分段函数，先对含有的方程进行分离常数，变为探究两个函数图像个交点的问题来研究.分离常数后，由于是一个分段函数，故分成两个部分来研究，当时，函数为增函数，在时有最小值为，由此在轴右边仅有一个交点.利用复合函数单调性可知函数在轴左边先减后
13、增，故要使两个函数有个交点，则需，解得.18.已知函数.（1）画出函数在一个周期上的图像;（2）将函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数,求在上的值域.【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】（1）令,得相应的值与值,列表,描点,连线即可.（2）现根据正弦函数的平移变化得出的解析式,再求出的解析式,根据,求出值域即可.【详解】解析:（1）（五点法作图）01311（2）,则,所以,从而在上的值域为.【点睛】本题考查“五点法”作函数在一个周期内的简图,考查正弦函数的平移伸缩变换,考查给区间求函数的值域,都是基础题型.19.已知函数.（1）若对任意的实数x都有成立，求实数a的值
14、；（2）若在内递减，求实数a的范围；（3）若函数为奇函数，求实数a的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数的对称性结合二次函数的对称轴即可求出实数a的范围.（2）根据二次函数的对称轴大于等于只要,即可求出实数a的范围.（3）根据奇函数的定义,即可求出实数a的范围【详解】解：（1）由对任意的实数x都有成立可知,二次函数的对称轴为,所以;（2）由（1）知二次函数的对称轴为,若在内递减,只要,所以实数a的范围是.（3）由对任意的实数x都有,所以,所以.【点睛】本题考查二次函数的对称性、单调性与奇偶性,属于基础题,掌握每个性质的判断方法是关键.20.已知函数，.（1）讨论的奇偶性
15、；（2）若，用定义证明：在上是增函数.【答案】（1）当时，为偶函数，时，为非奇非偶函数（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义,得,分情况讨论的取值即可得出,时,为偶函数,时,为非奇非偶函数.（2）代入,则,令,用定义证明为单调递增函数,又因为也为单调递增函数,则复合函数在上是增函数.【详解】解：（1）,.当时,为偶函数,时,为非奇非偶函数.（2）当,则,令,所以,故为单调递增函数,又因为也为单调递增函数,故由复合函数的性质可得在上是增函数.【点睛】本题考查奇偶性的判断和复合函数单调性的判断,掌握定义是的解题的关键.21.定义在R上的奇函数满足,并且在区间上递减,设,求.（注:意
16、思是任意的实数x.）【答案】【解析】【分析】根据定义在R上的奇函数满足,并且在区间上递减,可解得,用换元法得,根据,解得,即.又由.当,当时,换元得,又,递减;.即不存在.所以.【详解】解:在R上为奇函数,并且在区间上递减.令.,.由.当,只需算,由上可知,递减;.即不存在.综上所述.【点睛】本题考查给定函数的零点和单调性,求二次函数的参数,分情况讨论是解题的关键.22.已知函数具有如下性质:在上是减函数,在上是增函数.（1）若函数的值域为,求b的值;（2）已知函数,求函数的单调区间和值域;（3）对于（2）中的函数和函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数c的值.【答案】（1）（2）在上递减,
17、在上递增;值域为（3）【解析】【分析】（1）由所给函数知,即可得出对于函数,当时取得最小值,解出即可.（2）设,.由所给函数性质知:在单调递减,在单调递增.进而取得最值.（3）在单调递减,可得.对任意,总存在,使得成立,解出即可.【详解】解:（1）由条件知在上单调递减,在上单调递增,所以当时,则,所以.（2）令,则,所以,由条件知在上递减,在上递增,而在上递增,根据复合函数单调性知在即上递减,在即上递增,所以上递减,在上递增;根据的单调性知,当时,当时,所以值域为.（3）的值域为,对任意,总存在,使得成立由题意知的值域为的值域的子集,所以所以.【点睛】本题考查了“双勾函数函数性质及其应用、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法,考查了分析问题和解决问题的能力,属于难题.
