1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三数学下学期第二次月考试题 理（含解析）第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A=,B=x|(x+5)(x2)0,则AB=( )A. (2,+)B. 2,2C. (2,2D. 5,+)【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的定义域、一元二次不等式的解法化简集合A、B,再利用交集的定义求解即可.【详解】A=,B=x|(x+5)(x2)0=,AB=.故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元
2、素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析：由复数运算得，所以其对应点的坐标为（-1，-1）故选C考点：复数运算及复数与复平面内点的对应关系3. 在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A. 127B. 128C. 128.5D. 129【答案】D【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129.故选D.点睛：本题考
3、查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.4. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）A. /B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】采用排除法，根据向量平行，垂直以及模的坐标运算，可得结果【详解】因为，所以A不成立;由题意得：，所以，所以B成立；由题意得：，所以，所以C不成立；因为，所以，所以D不成立.故选：B.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属基础题.5. 若，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由，.所以.故选D.6. 关于函数的说法，正确的是（ ）A. 在上是增函数B. 是以为周期的周期函数C. 是奇函数D. 是偶函数【答案】D【解析】由复
4、合函数的单调性可知在上递增，在上递减；的周期为，则的周期为，为偶函数，故选7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据函数的奇偶性的判断得，函数是奇函数，故排除A选项和C选项，再由当时，可排除D选项，可得选项.【详解】因为，所以，所以函数是奇函数，故排除A选项和C选项，时，当，所以，而当时，所以在时，当，所以排除D选项，所以只有B选项符合条件.故选：B.【点睛】本题考
5、查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.8. 已知圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系,可得选项.【详解】圆的圆心半径，圆的圆心半径，且两圆的圆心距为，要使两个圆有公共点，则需满足，解得，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，关键熟记圆与圆的位置关系与两圆的半径的和或差的关系，属于基础题.9. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_【答案】6【解析】【
6、详解】【分析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化10. 已知是偶函数,而是奇函数,且对任意,都有,则的大小关系是()A. B. C. D. 【答案】B【
7、解析】【详解】对任意,都有,所以在单调递增因为是偶函数,而是奇函数，所以所以，因为,所以，选B11. 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若面，且，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件可将四面体补成一个长方体，再根据长方体与外接球关系求球半径，最后根据球表面积公式求结果.【详解】因为面，所以，所以可补成长宽高分别为一个长方体，其外接球为球，半径为，因此球的表面积为，选C.【点睛】若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解12. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，
8、设向量，则的最大值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据题意利用等比中项公式求解，进而得到等差数列的通项公式和前n项和，求解向量的坐标 ，利用向量模的运算公式，转化为二次函数求解最值，即可求解.详解：由题意构成等比数列，所以，即，解得，又由，所以，所以，所以，所以，由二次函数的性质，可得当取得最大值，此时最大值为，故选B.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，以及向量的模的计算等知识点的综合应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式，以及向量的基本运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.第II卷 非
9、选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知实数满足 则目标函数的最小值为_【答案】【解析】由题意，可作出约束条件的区域图，如图所示，将目标函数转化为直线，接着作出与目标函数平行的直线，由于在直线中目标函数有负号，所以当直线平移至点时，目标函数的值为最小，所以.点睛：此题主要考查简单线性规划问题中的最优解，以及数形结合法在解决实际问题中的应用等有关方面的知识与基本技能，属于中低档题型，也是常考题.此类问题一般流程是：首先根据约束条件画出可行域区域图；第二步是将目标函数进行转化，常转化为直线的斜截式；第三步，通过平移该直线（在区域范围内），找到直线在轴上截距的最值.从而得到问
10、题的最优解.14. 设函数的定义域为A，的定义域为B，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求出，再根据求出a的取值范围.【详解】由，可得，由，可得或所以，或，或故答案为【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15. 用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是_（用数字作答）.【答案】72【解析】【分析】先排奇数（或偶数），然后从排好的三个数形成的四个空中选择相邻的三个再排剩下的偶数（或奇数），由此可得结果【详解】先排三个奇数，
11、共有种结果，然后再从形成的四个空中选择前三个或后三个空排入三个偶数，共有种结果由分步乘法计数原理可得这样的六位数共有个故答案为【点睛】对于排列问题，一般情况下要从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论对于相邻问题常用“捆绑法”；对于不相邻问题常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”16. 函数的最大值是_.【答案】【解析】【分析】方法一：利用导数求函数的最大值，方法二：利用基本不等式构造，再求原式的最值.【详解】方法一：，令，得或，因为函数的定义域为，所以函数若存在最大值，则最大值应在极大值处取到，当，时，函数的最大值为.方法二：因为，当时，等号成立
12、；，当时，等号成立，所以，即，当，时，等号成立，因此函数的最大值是.故答案：【点睛】本题考查三角函数求最值，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. ABC的内角A，B，C的对边分别为，且（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积的最大值.【答案】（1）（2）最大值.【解析】【分析】（1）利用正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，再利用三角形的面积公式，即可求解面积
13、的最大值，得到答案.【详解】在的内角A，B，C的对边分别为且，且整理得，利用正弦定理得，又由余弦定理，得，由于，解得：由于，所以，整理得：，所以当且仅当时，的面积有最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18. 某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所
14、示：（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？（2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好 （2）见解析 （3）分布列见解析，数学期望为0.8【解析】【分析】（1）按大小顺序排好后，第10个数和第11个数的平均数是中位数；（2）计算频率及频率除以组距后可画出频率分布直方图；（3）不低于140分的有5个，取值依次为0，1，2，求出概率得分布列，再由期望公式求得期望【详解
15、】解：（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好（2）乙频率分布直方图如下图所示（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，则的取值为0，1，2；所以的分布列为012【点睛】本题考查茎叶图，中位数，考查频率分布直方图，考查随机变量的频率分布直方图，属于中档题本题还考查了学生的数据处理能力19. 如图，在多面体中，四边形，均为正方形，点是的中点，点在上，且与平面所成角的正弦值为.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】【分析】分析：（1）根据条件可证得四边形是平行四边形，故，然后由线面平行的判定定理可得结论成立（2）由题意易知两两垂直且相等
16、，故建立空间直角坐标系，通过向量的运算来求二面角的大小详解：（1）因为四边形，均为正方形，所以且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以 又因为平面，平面，所以 （2）由题意易知两两垂直且相等，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系令，则 设，且,则，故，所以点H的坐标为，故易得为平面的一个法向量设与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以点， 所以，设平面的法向量为，由得令，则设平面的法向量为，同理可得， 故， 由图形知二面角为锐角，所以二面角的大小为20. 已知椭圆：的离心率为，点为左焦点，过点作轴的垂线交椭圆于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）在圆上是否存
17、在一点，使得在点处的切线与椭圆相交于、两点满足？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2) 在圆上不存在这样的点使其成立【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率公式和通径的表达式，构造方程，得到椭圆方程；（2）将向量的位置关系，坐标化为，得到两个变量的等量关系，联立直线和椭圆，将向量的位置关系，根据韦达定理，坐标化为，再根据直线和圆的位置关系得到，联立这两个方程，二元化一元，得到方程无解，故不存在解析：（1）又,椭圆的方程为：（2）假设存在点，使得.当的斜率不存在时，:或与椭圆：相交于，两点，此时 或 当直线的斜率不存在时不满足.当直线的斜率存在时，设：则 直线与椭圆相交于，
18、两点，化简得设， 又与圆相切， ，显然不成立，在圆上不存在这样的点使其成立.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，涉及到的方法为向量坐标化，韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求函数的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值为，函数无极小值；（2）【解析】分析：（1）由函数在点处的切线与直线垂直，
19、利用导数的几何意义求得，利用导数研究函数的单调性，从而可得函数的极值；（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，令，利用导数可得当时，在上是增函数，故当时，再证明当时不合题意即可.详解：（1）函数的定义域为，所以函数在点处的切线的斜率.该切线与直线垂直，所以，解得.， ，令，解得显然当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.函数的极大值为，函数无极小值.（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，令，则，令，则在上为增函数，即，当时，即，则在上是增函数，故当时，在上恒成立.当时，令，得，当时，则在上单调递减，因此当时，在上不恒成立，综上，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了
20、函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数在以原
21、点为极点，为参数）在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为（）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（）设，直线与曲线C交于M，N两点，求的值【答案】（），；（）7.【解析】【分析】（）直接把曲线C的参数方程平方相加，可以消除参数，得到普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；（）先写出直线的标准式参数方程，代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及的几何意义，即可求出【详解】(I) 曲线C的普通方程:，直线l直角坐标方程：；（II）设直线l的参数方程为（t为参数）代入，得，故；设对应的对数分别为，则，故.【点睛】本题主要考查曲线
22、的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化易错点是在应用直线参数方程中参数的几何意义时，参数方程必须是标准式，否则容易导致错误选修4-5：不等式选讲23. 已知函数的定义域为.（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由定义域为，只需求解的最小值，即可得实数的取值范围；（2）根据（1）求得实数的值，利用基本不等式即可求解最小值【详解】（1）函数的定义域为.对任意的恒成立，令，则，结合的图像易知的最小值为，所以实数的取值范围.（2）由（1）得，则，所以，当且仅当，即，时等号成立，的最小值为.【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
