1、第九章平面解析几何第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2) 考情分析考点新知会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法掌握圆锥曲线的简单应用.1. (选修11P44习题4改编)以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是_答案：y212x解析：双曲线1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p6，所以拋物线方程是y212x.2. 以双曲线3x2y212的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是_答案：1解析：双曲线方程可化为1，焦点为(0，4)，顶点为(0，2) 椭圆的焦点在y轴上，且a
2、4，c2，此时b2， 椭圆方程为1.3. 若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p_答案：4解析：椭圆1的右焦点(2，0)是抛物线y22px的焦点，所以2，p4.4. 已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_答案：2解析：设点P(x，y)，其中x1.依题意得A1(1，0)，F2(2，0)，由双曲线方程得y23(x21).(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x2y2x2x23(x21)x24x2x54，其中x1.因此，当x1时，取得最小值2.5. 已知椭圆C：y21的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足y1，则PF1PF2的取值范
3、围为_答案：2，2解析：当P在原点处时，PF1PF2取得最小值2；当P在椭圆上时，PF1PF2取得最大值2，故PF1PF2的取值范围为2，21. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)3. 平面解析
4、几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2) 写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4) 化方程f(x，y)0为最简形式；(5) 说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.题型1最值问题例1如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线O
5、P平分(1) 求椭圆C的方程；(2) 求ABP面积取最大值时直线l的方程解：(1) 设椭圆左焦点为F(c，0)，则由题意得得所以椭圆方程为1.(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线AB的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，则64k2m24(34k2)(4m212)0，所以线段AB的中点为M.因为M在直线OP：yx上，所以，得m0(舍去)或k.此时方程为3x23mxm230，则3(12m2)0，所以AB|x1x2|，设点P到直线AB的距离为d，则
6、d.设ABP的面积为S，则SABd.其中m(2，0)(0，2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以当且仅当m1时，u(m)取到最大值故当且仅当m1时，S取到最大值综上，所求直线l的方程为3x2y220.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点(1) 求证：A、C、T三点共线；(2) 如果3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标(1) 证明：设椭圆方程为1(ab0) ，则A(0，b
7、)，B(0，b)，T.AT：1 ，BF：1 ，解得交点C(，)，代入得1，满足式，则C点在椭圆上，即A、C、T三点共线(2) 解：过C作CEx轴，垂足为E，则OBFECF. 3，CEb，EFc，则C，代入得1， a22c2，b2c2.设P(x0，y0)，则x02y2c2.此时C，AC c，SABC2cc2，直线AC的方程为x2y2c0，P到直线AC的距离为d，SAPCdAC cc.只须求x02y0的最大值，(解法1) (x02y0)2x4y22x0y0x4y2(xy)3(x2y)6c2， x02y0c.当且仅当x0y0c时，(x02y0)maxc.(解法2)令x02y0t，代入x2y2c2得(
8、t2y0)22y2c20，即6y4ty0t22c20.(4t)224(t22c2)0，得tc.当tc，代入原方程解得x0y0c. 四边形的面积最大值为c2c2c2， c21，a22，b21，此时椭圆方程为y21.P点坐标为.题型2定值问题例2如图，椭圆C0：1(ab0，a、b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A、B、C、D四点(1) 求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2) 设动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：tt为定值(1) 解：设A(x
9、1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a，0)，A2(a，0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0)，则1，p2，所以抛物线方程为y24x.(2) 抛物线C的准线方程为x1，设M(1，y1)，N(1，y2)，其中y1y24，直线MO的方程：yy1x，将yy1x与y24x联立解得A点坐标.同理可得B点坐标，则直线AB的方程为：，整理得(y1y2)y4x40，故直线AB恒过定点(1，0)4. 已知椭圆E：y21(a1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MAMB.
10、(1) 当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；(2) 若RtMAB面积的最大值为，求a；(3) 对于给定的实数a(a1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由解：(1) 由题，a2c21，dc2，当c1时取等号，此时a2112，故椭圆E的方程为y21.(2) 不妨设直线MA的斜率k0，直线MA方程为ykx1，由 代入整理得(a2k21)x22a2kx0，解得xA，故A，由MAMB知直线MB的斜率为，可得B(，)，则MA，MB.则SMABMAMB(1k2).令kt(t2)，则SMAB.当t时取“”， t2，得a1.而(SMAB)max，故a3
11、或a(舍)综上a3.(3) 由对称性，若存在定点，则必在y轴上当k1时，A，直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线： kAQ，kBQ.由kAQkBQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q.5. 设A1、A2与B分别是椭圆E：1(ab0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2y21相切(1) 求证：1；(2) P是椭圆E上异于A1、A2的一点，若直线PA1、PA2的斜率之积为，求椭圆E的方程；(3) 直线l与椭圆E交于M、N两点，且0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由(1) 证明：已知椭圆E：1(ab0)，A1、A2与B分别为椭圆E的左、右顶点与上顶点，所以A1(a，0)，
12、A2(a，0)，B(0，b)，直线A2B的方程是1.因为A2B与圆C：x2y21相切，所以1，即1.(2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为kPA1kPA2，1，而1，所以b2a2.结合1，得a24，b2.所以椭圆E的方程为1.(3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2) 若直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，由ykxm代入1，得1.化简得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(0) x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2kmm2.因为0，所以x1x2y1y20.代入得(a2b2)m2a2b2(1k2)0.结合(1
13、)的1，得m21k2.圆心到直线l的距离为d1，所以直线l与圆C相切 若直线l的斜率不存在，设直线l为xn.代入1，得yb. |n|b， a2n2b2(a2n2)解得n1，所以直线l与圆C相切6. 已知曲线C上动点P(x，y)到定点F1(，0)与定直线l1x的距离之比为常数.(1) 求曲线C的轨迹方程；(2) 以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程解：(1) 过点P作直线的垂线，垂足为D.，所以该曲线的方程为y21.(2) 点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10.由于点M在椭圆
14、C上，所以y1.由已知T(2，0)，则(x12，y1)，(x12，y1)， (x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)2x4x13.由于2x10. 所以x1x24k，x1x24，由x24y，得yx2，所以yx, 所以，直线AM的斜率为kAMx1, 所以，直线AM的方程为yy1x1(xx1)，又x4y1, 所以，直线AM的方程为x1x2(yy1)，同理，直线BM的方程为x2x2(yy2)，并据x1x2得点M的横坐标x， 即A、M、B三点的横坐标成等差数列(2) 解：由易得y1，所以点M的坐标为(2k，1)(k0). 所以kMF， 则直线MF的方程为yx1，设C(x3，y3)，D(x
15、4，y4) 由消去y，得x2x40，显然160, 所以x3x4，x3x44，又|AB| 4(k21)，|CD| 4，因为kMFkAB1，所以ABCD ，所以SACBD|AB|CD|8832, 当且仅当k1时，四边形ACBD面积取到最小值32.2. 已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，一条准线方程为x(1) 求椭圆C的方程；(2) 设G、H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OGOH. 当直线OG的倾斜角为60时，求GOH的面积； 是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由解：( 1) 因为，a2b2c2, 解得a3，b，所以椭圆
16、方程为1.(2) 由解得 由得 所以OG，OH，所以SGOH. 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OGOHRGH，因为OG2OH2GH2，故， 当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为ykx, 由得所以OG2， 同理可得OH2，(将OG2中的k换成可得) ，R， 当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得， 故满足条件的定圆方程为：x2y2.3. 已知椭圆C的方程为1(ab0)，双曲线1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1.又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)(1) 当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方
17、程；(2) 当，求的最大值解：(1) 双曲线的渐近线为yx，两渐近线夹角为60，又1，POx30，即tan30.ab.又a2b24，a23，b21.故椭圆C的方程为y21.(2) 由已知l：y(xc)，与yx解得P.由，得A.将A点坐标代入椭圆方程，得(c2a2)22a4(1)2a2c2.(e2)22e2(1)2.2332.的最大值为1.4. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，P是动点，且POA的三边所在直线的斜率满足kOPkOAkPA.(1) 求点P的轨迹C的方程；(2) 若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得PQA和PAM的面积满足S
18、PQA2SPAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：(1) 设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOPkOAkPA得，整理得轨迹C的方程为yx2(x0且x1)(2) 设P(x1，x)，Q(x2，x)，M(x0，y0)，由可知直线PQOA，则kPQkOA，故，即x2x11，由O、M、P三点共线可知，(x0，y0)与(x1，x)共线， x0xx1y00，由(1)知x10，故y0x0x1，同理，由(x01，y01)与(x21，x1)共线可知(x01)(x1)(x21)(y01)0，即(x21)(x01)(x21)(y01)0，由(1)知x21，故(x01)(x21)(y01)0，
19、将y0x0x1，x21x1代入上式得(x01)(2x1)(x0x11)0，整理得2x0(x11)x11，由x11得x0，由SPQA2SPAM，得到QA2AM， PQOA， OP2OM， 2， x11， P的坐标为(1，1)1. 圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法(1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法2. 求定值问题常见的方法有两种(1) 从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值3. 定点的探索与证明问题(1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况请使用课时训练(B)第11课时(见活页)备课札记
