1、第2章 圆锥曲线与方程22 双曲线22.1 双曲线的定义与标准方程第2章 圆锥曲线与方程 1.了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程 2.掌握双曲线的标准方程 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1双曲线的定义平面上到两个定点 F1，F2 的距离之差的绝对值为_(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线这两个定点 F1，F2 叫作双曲线的_，两个焦点之间的距离叫作双曲线的_定值焦点焦距栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在
2、 y 轴上标准 方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)焦点_ 焦距|F1F2|2c，c2a2b2(c，0)(0，c)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c 之间的关系与椭圆中 a，b，c 之间的关系相同()(2)点 A(1，0)，B(1，0)，若|AC|BC|2，则点 C 的轨迹是双曲线()(3)在双曲线标准方程x2a2y2b21 中，a0，b0 且 ab.()栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2已知平面上定点 F
3、1、F2 及动点 M，命题甲：|MF1|MF2|2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B.根据双曲线的定义，乙甲，但甲乙，只有当 02a|F1F2|时，其轨迹才是双曲线栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程3已知双曲线x216y291，则双曲线的焦点坐标为()A(7，0)，(7，0)B(5，0)，(5，0)C(0，5)，(0，5)D(0，7)，(0，7)答案：B栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程
4、4双曲线的两焦点坐标是 F1(3，0)，F2(3，0)，2b4，则双曲线的标准方程是()A.x25 y241B.y25x24 1C.x23 y221D.x29 y2161答案：A5设双曲线x216y291 的右支上一点 P 到左焦点 F1 的距离是15，则 P 到右焦点 F2 的距离是_答案：7栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 求双曲线的标准方程 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点 P(3，154)，Q(163，5)，且焦点在坐标轴上；(2)c 6，经过点(5，2)，焦点在 x 轴上栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习
5、第2章 圆锥曲线与方程【解】(1)设双曲线方程为x2my2n1(mn0)因为 P、Q 两点在双曲线上，所以9m22516n1，2569m25n 1，解得m16，n9.所以所求的双曲线方程为y29x2161.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程(2)因为焦点在 x 轴上，c 6，所以设所求双曲线方程为x2 y261(其中 00，b0)由题意知，a2 5，且点 A(2，5)在双曲线上，所以a2 5，25a2 4b21，解得 a220，b216.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程故所求双曲线的标准方程为y220 x21
6、61.(2)椭圆x227y2361 的两个焦点为 F1(0，3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(15，4)设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则42a2（15）2b21，a2b232，解得a24，b25.故所求双曲线的标准方程为y24x25 1.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 双曲线定义的应用 设 P 为双曲线 x2y2121 上的一点，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，求PF1F2 的面积【解】由已知得 2a2，又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2，因为|PF1|PF2|32
7、，所以|PF1|6，|PF2|4.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程又|F1F2|2c2 13，由余弦定理，得 cosF1PF2624252264 0，所以F1PF2 为直角三角形 SPF1F2126412.1若将“|PF1|PF2|32”改为“|PF1|PF2|24”，求PF1F2 的面积栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程解：由双曲线方程为 x2y2121，可知 a1，b2 3，c 112 13.因为|PF1|PF2|24，则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|（|PF
8、1|PF2|）22|PF1|PF2|4c2224 4224413480，所以PF1F2 为直角三角形 所以 SPF1F212|PF1|PF2|12.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2本例中将条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF2120”，求PF1F2 的面积解：由已知得 2a2，c 13，又由双曲线定义得|PF1|PF2|2，在PF1F2 中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cos F1PF2|F1F2|2 (2c)2(2 13)252，由可得|PF1|PF2|16.所以 SPF1F212|PF1|PF2|sinF
9、1PF2 1216 32 4 3.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式 SPF1F212|PF1|PF2|sinF1PF2 求得面积(2)方法二：利用公式 SPF1F212|F1F2|yP|(yP为 P 点的纵坐标)求得面积 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 设双曲线 x2y231 的左、右焦点
10、分别为 F1、F2.若点 P 在双曲线上，且F1PF2 为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_解析：由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上，F1PF2(090)，在F1PF2 中，由余弦定理得 cos|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|，整理得，|PF1|PF2|61cos，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程所以|PF1|PF2|（|PF1|PF2|）24|PF1|PF2|4241cos，现考虑两种极端情况：当 PF2x 轴时，cos 35，|PF1|PF2|有最大值 8；当F1PF2 为直角时，|PF1|PF2|有最小值
11、 2 7.因为F1PF2 为锐角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范围为(2 7，8)答案：(2 7，8)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 与双曲线有关的轨迹问题 如图，在ABC 中，已知|AB|4 2，且三个内角 A，B，C 满足 2sinAsinC2sinB，建立适当的坐标系，求顶点 C的轨迹方程【解】以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2 2，0)，B(2 2，0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程由正弦定理得 sinA|BC|2R，si
12、nB|AC|2R，sinC|AB|2R(R 为ABC的外接圆半径)因为 2sinAsinC2sinB，所以 2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|12|AB|2 2|AB|.由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点)因为 a 2，c2 2，所以 b2c2a26，即所求轨迹方程为x22 y261(x 2)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点
13、是否都在所给的曲线上 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 已知圆 C1：(x3)2y29，圆 C2：(x3)2y21.(1)若动圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程(2)若动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程解：(1)设动圆半径为 R，因为圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切，所以|MC1|R3，|MC2|R1，所以|MC1|MC2|4.所以点 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的双曲线的右支，且有 a2，c3，b2c2a25，所以所求轨迹方程为x24 y251(x2)栏目导
14、引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程(2)如图，设动圆半径为 R，根据两圆外切的条件，得|MC2|R1，|MC1|R3，则|MC1|MC2|2.这表明动点 M 与两定点 C1，C2 的距离的差是常数 2.根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的右支(点M 与 C1 的距离大，与 C2 的距离小)，这里 a1，c3，则 b28，设点 M 的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为 x2y281(x0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解题，点 P 在双曲线上，有|PF1|P
15、F2|2a，充分利用这一隐含条件，是解决问题的重要技巧2求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如 mx2ny21(mn0)的形式求解3应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进行判断栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1若动点 P 到 F1(5，0)与 F2(5，0)的距离的差为8，则 P点的轨迹方程是()A.x225y2161 B.x225y2161C.x216y291D.
16、x216y291解析：选 D.由题知 P 点的轨迹是双曲线，因为 c5，a4，所以 b2c2a225169.因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以P 点的轨迹方程为x216y291.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2已知方程 x21k y21k1 表示双曲线，则 k 的取值范围是()A1k1Bk0Ck0Dk1 或 k1解析：选 A.因为方程 x21k y21k1 表示双曲线，所以(1k)(1k)0，所以(k1)(k1)0，所以1k1.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程3方程 x 3y21所表示的曲线是()A双曲线
17、B椭圆C双曲线的一部分D椭圆的一部分解析：选 C.依题意：x0，方程可化为：3y2x21，所以方程表示双曲线的一部分故选 C.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程4双曲线x225y291 的两个焦点分别为 F1，F2，双曲线上的点P 到 F1 的距离为 12，则 P 到 F2 的距离为_解析：设 F1 为左焦点，F2 为右焦点，当点在双曲线左支上，|PF2|PF1|10，|PF2|22，当点 P 在双曲线右支上，|PF1|PF2|10，|PF2|2.答案：22 或 2 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放