1、福州市20042005学年度第二学期高二期末考试数学试卷（一）( 完 卷 时 间：120 分 钟 总 分：150 分 )一二三总分1-1213-16171819202122一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1点与点关于( D )对称 A原点 B 平面 C 平面 D平面2设球内接正方体的棱长为，则这个球的体积= （ C ） A B C D 3教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有直线与直尺所在直线 (D )A 平行 B相交 C 异面 D 垂直4已知直线、，平面、，以下推理中正确的是（C ）。A BC D5某班举行联欢会
2、，原定的四个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ A ） A30B25C20 D126已知，那么的值为(D )A 15 B -15 C17D -177球O的半径为1，A、B为球面上两点，球面上过A、B两点的一个圆的圆心为，半径为，已知=900，则A、B的球面距离为（ ） A B C D8下列图形中，哪一个不是正方体表面展开图（ A ） A B C D我们要从考试的人中招收3人，你们两人同时被招进的概率为 9 两位应届大学毕业生去某学校参加数学教师招聘考试，根据右图 学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加数学教师招聘考试的人数为 ( B
3、) A 6 B 7 C 8 D 910图A、B、C、D为海上四个小岛，要建立三座桥将四个岛连接起来，不同的建桥方法有（ B ）A12种； B16种； C24种； D28种11如图，设是直三棱柱，、分别是、的中点，点在上,若 :=1:2,AM与PQ所成的角等于（ A ） A 90 Barccos C 60 D3012（理）设 ,若从A任取两个不同的x,求出其对应的函数值，那么所得函数值相等的概率为（ ） A B C D （文）若以连续掷两次骰子分别得到的点数a, b作为点P的 坐标，则点P落在圆内或圆上的概率为（ ）A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题；每小题 5 分，满分 20 分请
4、把答案填在下面横线上）13甲、乙两个气象站同时作天气预报，若甲气象站预报准确的概率为p，乙气象站预报不准确的概率为q，则在一次预报中两个气象站都预报准确的概率是 ；14的值的个位数是 ；15二面角为60，直线，且直线与成角，那么直线与平面所成角的正弦值为 ； 16从1，2，3，4，5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2需排在3前面（不一定相邻），这样的三位数有 三、17二项式（）n的展开式的前三项系数依次成等差数列,求展开式中的有理项。18从，0，1，2，3中选出三个数字（不重复）组成二次函数的系数，开口向上且不过原点的不同的抛物线有几条？与轴正、负半轴均
5、有交点的不同抛物线有几条？与轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条？答案：27； 18； 26或已知平面上有8个点，以这8个点为顶点的三角形有52个，分别连结这8个点中的两点作一条直线，问共可作多少条彼此不重合的直线？解：因为8个点最多能构成个三角形，而已知只有52个，少4个，故有三个以上的点共线的情况：（1）只有三点共线时，则应有4组这样的点，此时可连成=20条直线；（2）若出现四点共线，则这样的一组点就减少=4个三角形，符合题意，故恰有一组四点共线，从而可连成=23条直线。不可能有多于四个点共线的情形。故共可组成20条或23条彼此不重合的直线。19某电视台游戏节目想利用若干大小、形状相同
6、的小球设计一个摸球的抽奖游戏。游戏者要连过两关才能赢得大奖。第一关：在一个放有3个红球和7个白球的暗箱中，一次摸取三个球，若摸出的球中有红球，即可过关。第二关：在与第一关相同的暗箱中，已知一次摸取三个球，若摸出的三个球恰好同色，即可过关。（1）求第一关过关的概率；（2）求赢得大奖的概率解：（1）第一关过关有三种情况，即分别取出1个、2个和3个红球。第一关过关的概率 = （2）第二关过关有二种情况，即分别取出3个红球或3个白球第二关过关的概率 = 要连过两关才能赢大奖，赢得大奖的概率 112233或已知系统M是由6条网线并联而成，且这6条网线能通过的信息量个数分别为1，1，2，2，3，3。在关闭
7、所有网线的情况下，任意接通其中三条网线。（1）求系统M恰好通过8个信息量的概率。（2）若通过的信息量低于6个，系统M就不能保证畅通。试求系统M畅通的概率。（1）设系统M恰好通过8个信息量的事件为A，则其概率 （2）设系统M畅通的事件为I，则其概率分别为通过8个信息量（A）、7个信息量（B），6个信息量（C）的和即 P（I）= P（A）+P（B）+P（C）= = 亦可是1减去通过5个信息量（D），4个信息量（E）的概率即 P（I）= 1（P（D）+P（E） = = 答：系统M恰好通过8个信息量的概率为,系统M畅通的概率为. 20如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上，且ABCDMNEF 。求
8、证：平面或用平行于四面体的一组对棱、的平面截此四面体（如图），ABCDMNQP（1）求证：所得截面是平行四边形；（2）如果，求证：四边形的周长为定值21 在三棱锥PABC中，PA = PB = PC, BC = 2a, AC = a, AB = a，点P到平面ABC的距离为 a(1) 求二面角PACB的大小；(2) 求点B到平面PAC的距离解：(1) 法一：由条件知ABC为直角三角形，且BAC = 90，PA = PB = PC，点P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即斜边BC的中点E取AC中点D，连PD, DE, PEPE平面ABC，DEAC ( DEAB), ACPD PDE为二面角PA
9、CB的平面角又PE = a ，DE = a ，tan PDE = = = ， PDE = 60 故二面角PACB的大小为60 法二：由条件知ABC为直角三角形，且BAC = 90， PA = PB = PC， 点P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即斜边BC的中点设O为BC中点，则可证明PO平面ABC建立如图直角坐标系，则A( a, a, 0), B(a, 0, 0), C(a, 0, 0), D(0, 0, a)= (a, a, 0), = ( a, a, a)4分取AC中点D，连PD, DO, PO ABAC, 又PA = PC PDAC cos 即为二面角PACB的余弦值 而 cos
10、= = 二面角PACB的大小为 60 8分(2) 法一：PD = = = aSAPC = ACPD = a 2 设点B到平面PAC的距离为h，则由VPABC = VBAPC 得SABCPE = SABCh h = = = a故点B到平面PAC的距离为 a法二：点E到平面PAC的距离容易求得为 a，而点B到平面PAC的距离是其两倍 点B到平面PAC的距离为 a 或xADBCEOyFzA1D1B1C1正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，且 AC 与 BD 交于点 O，E 为棱 DD1 中点，以 A 为原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.(1) 求证：B1O平面EAC；(2) 若点
11、 F 在 EA 上且 B1FAE，试求点 F 的坐标；(3) 求二面角B1EAC 的正弦值.（1）由题设知A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C (2, 2, 0), D (0, 2, 0), E (0, 2, 1), B1(2, 0, 2) O是正方形ABCD的中心， O (1, 1, 0) = (1, 1, 2)，= (2, 2, 0)，= (0, 2, 1) = (1, 1, 2)(2, 2, 0) = 12 + 1220 = 0 = (1, 1, 2)(0, 2, 1) = 10 + 1221 = 0 ， ，即B1O AC，B1OAE， B1O平面ACE （2）由F点在AE
12、上，可设点F的坐标为F (0, 2l , l )，= (2, 2l , l2) ， = (2, 2l , l2)(0, 2, 1) = 5l 2 = 0 l = , F (0, , ) (III) B1O平面EAC，B1FAE，连结OF，由三垂线定理的逆定理得OFAE OFB1即为二面角B1EAC的平面角 | = = 又 = (2, , )， | | = = 在RtB1OF中，sin B1FO = = 故二面角B1EAC的正弦值为 如图为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.（1）沿图中虚线将它们折叠起
13、业，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1？（2）设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E，求平面AB1E与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥。 需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体。（2）解法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BHAG，垂足为H，连结HB1，由三垂线定理知，B1HAG，则B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角的平面角，在RtABG中，AG=则 BH=B1H=，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为解
14、法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴，建立直角坐标系，设棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）设向量n=（x，y，z），满足n，n，于是取z=2，得n=（2，1，2），又=（0，0，6），则或正四面体A-BCD的棱长为1，（）如图(1)M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图(2)，求二面角M-AB-E的大小；（）若将图(1)与图(2)面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积。 【解】（）取BD的中点，连结AN、MN，MN|ABAMN就是异面直线AM与BC所成的角， 在AMN中，AM=AN=，MN=，AMN=arccos.（）取BE中点P，连结AP、PM，作MQAP于Q，过Q作QHAB于H，连MH； EBAP，EBPM，EB面APM，即EBMQ，MQ面AEBHQ为MH在面AEB上的射影，即MHAB MHQ就是M-AB-E的平面角， 在AMP中，AM=AP=，PM=1，MQ=，PQ=；在ABP中，AHQ=300，AQ=AP-PQ=-，AQ=，HQ=；MHQ=arctan4， （）若将图(1)与图(2)面ACD重合，该几何体是5面体这斜三棱柱的体积=3VA-BCD=3=
