1、桐庐中学2023届新高三暑期阶段性测试数学试题卷姓名：_ 准考证号：_本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.考生注意: 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式：若事件，互斥，则若事件，相互独立，则若事件在一次试验中发生的概率是，则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式
2、其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集，集合，则（）A. B. C. D. 2. 已知，复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 3. ABC中，设，则（）A. +B. C. +D. 4. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染人数当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长当基本传染数持续低于时，疫情才可能
3、逐渐消散广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（）A. B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（）A. B. C. D. 6. 纯音数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的
4、声音尖利像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.下列说法中正确的是（）A. 函数不具有奇偶性B. 函数在区间上单调递增C. 若甲对应函数为，则甲响度一定比纯音响度大D. 若甲对应函数为，则声音甲一定比纯音更低沉7. 设（其中是自然对数的底数），则（）A. B. C. D. 8. 如图，长方形中，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
5、分.9. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为a，M是的中点，则（）A. 任意，B. 存在，直线与直线BM相交C. 平面与底面交线长为定值D. 当时，三棱锥外接球表面积为10. 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2（ana）（其中a为常数），则下列说法正确的是（）A. 数列an一定是等比数列B. 数列an可能是等差数列C. 数列Sn可能是等比数列D. 数列Sn可能是等差数列11. 已知抛物线C：y24x，其焦点为F，P为直线x2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（）A. B. |k1k2|2C. AB过定点D. 的最小值为812. 设函数，下列说法
6、正确的是（）A. 若，是奇函数B. 若，在单调递减C. 若，在有且仅有一个零点D. 若，非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_14已知数列，满足，则_.15. 已知函数，若，则的最大值为_16. 如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，若，则的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数（1），为锐角，求及的值；（2）已知，求及的值18. 1.已知数列是等差数列，是等比数列，且（1）求的通项公式；（2）设，
7、求数列的前n项和19. 某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下：挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战
8、在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.（1）求随机变量的分布列；（2）若把挑战规则去掉，换成规则：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.（）求随机变量的分布列；（）证明.20. 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（）证明MN平面PAB;（）
9、求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.21. 已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴（1）求椭圆E的方程；（2）若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q22（1）已知函数，.（i）记.证明：（ii）若，记此时的两个零点为.证明：；（2）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血
10、液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为若关于的函数关系式与抗生素计量相关，其中是不同的正实数，满足，对任意的，都有（i）证明：为等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.参考数据：，1. 已知全集，集合，则（）A.
11、 B. C. D. 【答案】D2. 已知，复数（为虚数单位），则（）AB. C. D. 【答案】B3. ABC中，设，则（）A. +B. C. +D. 【答案】B4. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至
12、少为（）A. B. C. D. 【答案】C5. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（）A. B. C. D. 【答案】D6. 纯音数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.下列说法中正确的是（）A. 函数不具有奇偶性B. 函数在区间上单调递增C. 若甲对应函数为，则甲响度一定比纯音响度大D. 若甲对应函数为
13、，则声音甲一定比纯音更低沉【答案】B7. 设（其中是自然对数的底数），则（）A. B. C. D. 【答案】D8. 如图，长方形中，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】A9. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为a，M是的中点，则（）A. 任意，B. 存在，直线与直线BM相交C. 平面与底面交线长为定值D. 当时，三棱锥外接球表面积为【答案】AC10. 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2（ana）（其中a为常数），则下列说法正确的是（）A. 数列an一定是等比数列B. 数列an可能是等差数列C. 数列Sn可能是
14、等比数列D. 数列Sn可能是等差数列【答案】BD11. 已知抛物线C：y24x，其焦点为F，P为直线x2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（）A. B. |k1k2|2C. AB过定点D. 的最小值为8【答案】AC12. 设函数，下列说法正确的是（）A. 若，是奇函数B. 若，在单调递减C. 若，在有且仅有一个零点D. 若，【答案】BC13. 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_【答案】18014. 已知数列，满足，则_.【答案】15. 已知函数，若，则的最大值为_【答案】16. 如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P
15、是上第一角限内任意一点，若，则的取值范围是_【答案】17. 已知函数（1），为锐角，求及的值；（2）已知，求及的值【答案】（1），（2）【小问1详解】，为锐角，即，综上，；【小问2详解】，所以，即，且，又，当时，；当时，与相矛盾，不符合题意综上所述，18. 1.已知数列是等差数列，是等比数列，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【小问1详解】解：设的公差为d，的公比为q，则，所以，则，即，所以【小问2详解】解：由（1），记的前n项和为，所以则，-，得：，所以.19. 某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，n.辅导老师安排一个挑战数
16、学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下：挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学
17、答对多少题，下轮不再安排同学挑战.令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.（1）求随机变量的分布列；（2）若把挑战规则去掉，换成规则：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.（）求随机变量的分布列；（）证明.【详解】（1），因此的分布列为1234P（2）（）时，第k人必答对第二题，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，若前面人有一人答对第一题，其概率，故.当时，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，若前面人有一人答对第一题，其概率为，故.的分布列为：123P（）.法1：，故，求得，故，.故.法2：
18、令，则，因此：.又，故.20. 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（）证明MN平面PAB;（）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【详解】（）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，. 又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. （）取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，.设为平面的一个法向量，则即可取.于是. 【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常
19、常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理21. 已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴（1）求椭圆E的方程；（2）若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q【小问1详解】由已知，点在椭圆上，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为：.【小问2详解】选，则，设，所以消去得：，所以，所以，则，所以，消去得：，所以，所以，则，所以，所以，所以直线的方程为：，所以，所
20、以，故直线恒过定点.选，则，设，所以消去得：，所以，所以，所以同理：，所以，所以所以直线的方程为：令，则故直线恒过定点.22. （1）已知函数，.（i）记.证明：（ii）若，记此时的两个零点为.证明：；（2）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共
21、为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为若关于的函数关系式与抗生素计量相关，其中是不同的正实数，满足，对任意的，都有（i）证明：为等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.参考数据：，【详解】解：（）（i）因为，所以，则，所以，证毕.（ii）构造函数由于在上单调递增且所以在上单调递减，上单调递增，而且所以，即.由于指数增长速率远大于类型的函数，且.故可用近似令，则.易得，则又，（）（i）证明：当时，令，则，下面证明对任意的正整数n，.当，2时，显然成立；假设对任意的时，下面证明时，：由题意，得，或（负值舍去）. 成立.由可知，为等比数列，.（ii）由（i）知，当进行逐份检验时，的值只有，所以，当进行混检时，的取值为，当时，对应的情况为份混检之后的结果均为阴性，故；当时，对应的情况为份混检之后的结果均为阳性，故；，当时，即，. 设，当时，即在上单调减.又，；，.的最大值为4.
