1、四川省宜宾市叙州区第二中学2020届高三数学第一次适应性考试试题 理（含解析）第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算法则，求出的实部和虚部，即可得出结论.【详解】，对应点坐标为，位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义，属于基础题.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可【详
2、解】解：，；故选：B【点睛】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集及其运算，属于基础题3. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.【详解】依题意，.故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.4. 已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面平行的判定定理与性质即可得出答案【详解】解：由题意，若，则，根据面面平行的性质，是的充分条件；若，根据面面平行的判定定理不能推出，故不是充分
3、条件；是的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题5. 我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（ ）A. 45B. 60C. 75D. 100【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中程序功能，可以列方程计算【详解】由题意，故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键6. 已知函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
4、】根据函数的性质以及特殊点的位置，即可根据排除法解出【详解】因为函数定义域为，且，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；又因为，可排除C；，可排除A故选：B【点睛】本题主要考查函数图象的识别，属于基础题7. 为得到函数的图象，只需将的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将转化为，再利用三角函数图象变换的知识，得出正确选项.【详解】，所以向左平移个单位长度，得到函数的图象.故选：A【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查诱导公式，属于基础题.8. 九章算术衰分中有如下问题:“今有甲持钱五百
5、六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱,乙持钱,丙持钱,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ）A. 甲付的税钱最多B. 乙、丙两人付的税钱超过甲C. 乙应出的税钱约为D. 丙付的税钱最少【答案】B【解析】【分析】通过阅读可以知道说法的正确性,通过计算可以知道说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的不超过甲。可知错误:乙应出的税钱为.可知正确.故选:B【点睛】本题考查了数学阅读能力,考查数学运算能
6、力.属于基础题.9. 若，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，则把条件和目标都转化为关于的式子，根据诱导公式和二倍角公式，进行化简，得到答案.【详解】解：令，则由，可得故选D【点睛】本题主要考查换元法、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于简单题10. 已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，又在区间上为增函数，不等式的解集为，故选C考点：本题考查了函数性质的运用点评：熟练掌握函数的性质及对数不等式的解法是解决此类问题的关键，属基础题11. 已知函数，若方程在上有两个不等实根，则实数m的
7、取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组，解得：，问题得解【详解】当时，可化为：整理得：当时，可化为：整理得：，此方程必有一正、一负根.要使得方程在上有两个不等实根，则在内有实数解，且方程的正根落在内.记，则，即：，解得：.故选C【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题12. 已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
8、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，是直线上任意一点，则直线与直线的距离，圆与双曲线的右支没有公共点，则，即，又故的取值范围为，故选：B【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 的展开式的第项为_【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项
9、公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.14. ，如果目标函数的最小值为-1，则实数m= 【答案】5【解析】【详解】试题分析：画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值,解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x-1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x-y取得最小值，由可得，代入x-y=-1得m=5故答案为5考点：线性规划15. 奇函数满足，当时，若，则_.【答案】【解析】【分析】推导出函数是以为周期的奇函数，由可求
10、得的值，由此可计算出的值.【详解】由于函数为奇函数，且，即，所以，函数是以为周期的奇函数，解得.，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16. 在四棱锥中，底面，则四棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】推导出，从而可求得四边形的外接圆半径，再由平面可得出可求得外接球的半径，结合球体表面积公式可得出结果.【详解】，由余弦定理得，则，同理可知，四边形的外接圆半径为，平面，所以，该四棱锥的外接球半径为，因此，四棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，
11、考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比
12、例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）为了进一步了解学生的学习效率，平台随机选择100位高三备考学生进行一次测试，记选择的学生中每天完成数学作业的时间不超过45分钟的人数为，以统计的频率作为概率，求的期望.【答案】（1）0.18（2）28【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算出高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值，即可得解；（2）由题意可知，利用二项分布期望的公式即可直接得解.【详解】（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为，所以完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为.（2）以统计的频率作为概率，每个高三备考学
13、生每天完成数学作业的时间不超过45分钟的概率为0.28，所以，得.【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求平均数，考查了二项分布期望的求解，属于中档题.18. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果A、B、C成等差数列且.(1)当时，求的面积S；(2)若的面积为S，求S的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据A、B、C成等差数列，可解得的值，根据正弦定理，可解得a，代入余弦定理可求得b，最后代入面积公式即可求解.(2)由题干及余弦定理可得，结合基本不等式可求，根据三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可得，三内角A、B、C成等差数列，则：，解得：.(1)因为：，（负值
14、舍）；的面积.(2)；即：，当且仅当时等号成立，即.；即S的最大值为：.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式的应用，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.19. 如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，、分别是、的中点，点在线段上，且.（1）求证：不论取何值，总有；（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，通过可证明出；（2）分别求出平面的一个法向量和平面的法向量，由此利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值【详解】以点为坐
15、标原点，以、所在直线分别为、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，.（1），因此，无论取何值，；（2）当时，而平面的法向量，设平面的法向量为，则，解得，则，设为平面与平面所成的锐二面角，则.因此，平面与平面所成二面角的余弦值是.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20. 焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为，是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M为的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由
16、【答案】（1）（2）存在满足条件,详见解析【解析】【分析】（1）根据所给条件列出方程组，求解即可（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可表示出、，则可求【详解】解：（1）由已知可得，解得，所以椭圆的标准方程为（2）若直线的斜率不存在时，所以；当斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去y，得，所以因为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，得，解得，同理，因为，故，存在满足条件，综上可得，存在满足条件【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆综合问题，属于中档题21. 已知函数.（1）若是的导函数，讨论的单调性
17、；（2）若（是自然对数的底数），求证：.【答案】（1）当时，在上是增函数；当时，在上是增函数；在上是减函数（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，得，然后求出导函数，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数g增区间，g求得的范围，可得函数g的减区间；（2）因为，令，再次求导可证明在区间上有唯一零点，在区间上，是减函数，在区间上，是增函数，故当时，取得最小值，只需证明即可.【详解】（1）因为，所以， ， 当时，在上是增函数；当时，由得，所以在上是增函数；在上是减函数；（2）因为，令，则，因为，所以，即在是增函数，下面证明在区间上有唯一零点，因为，又因为，所以，由零点存在定
18、理可知，在区间上有唯一零点，在区间上，是减函数，在区间上，是增函数，故当时，取得最小值，因，所以，所以 ，因为，所以，所以，.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分 选修4
19、-4：坐标系与参数方程22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点.（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）已知直线与轴的交点为，与曲线的交点为，若的中点为，求的长.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）求出曲线C1的直角坐标方程为，设点N（x，y），Q（x，y），由中点坐标公式得，由此能求出点Q的轨迹C2的直角坐标方程（2）的坐标为，设的参数方程为，（为参数）代入曲线的直角坐标方程得，根据韦达定理，利用t的参数意义得即可得解.试题解析：（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为.设点，由中点坐标公式得，代入中，得点的轨迹的直角坐标方程为.（2）的坐标为，设的参数方程为，（为参数）代入曲线的直角坐标方程得：，设点对应的参数分别为，则，. 选修4-5：不等式选讲23. 已知函数(1)若，解不等式；(2)若存在实数，使得成立，试求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】解(1)当时, 由不等式的几何意义可得,所以的解集为. (2)当存在实数使得成立，则只需，时，；时，.所以的取值范围为
