1、10-9 随机变量的数字特征与正态分布(理) 一、选择题1(2011烟台模拟)设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)p，则P(10)()A.p B.pC12p D1p答案B解析N(0,1)，P(1)p，P(11)p.来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM2(2011衢州模拟)已知随机变量X8，若XB(10,0.6)，则E，D分别是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6答案B解析XB(10,0.6)，E(X)100.66，D(X)100.6(10.6)2.4，E()8E(X)2，D()(1)2D(X)2.4.3(2011盐城、浙江温州模拟)某人射击一次击中的概
2、率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()A. B. C. D.答案A解析该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1C()2，三次全部击中目标的概率是P2C()3，所以此人至少有两次击中目标的概率是PP1P2C()2C()3.4(2011福州调研)已知某一随机变量的概率分布列如下，且E()6.3，则a的值为()4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D8答案C解析由0.50.1b1知，b0.4，由E()40.5a0.190.46.3知，a7，故选C.5(2011湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)p，令随机变量X，则X的方差D(X)等于()Ap B2p(1p)Cp(1
3、p) Dp(1p)来源:K答案D解析X服从两点分布，故D(X)p(1p)6(2011浙江五校联考)设随机变量B(2，p)，B(4，p)，若P(1)，则P(2)的值为()A. B. C. D.答案B解析由P(1)，得Cp(1p)Cp2，即9p218p50，解得p或p(舍去)，P(2)Cp2(1p)2Cp3(1p)Cp46()2()24()3()4.7(2011滨州模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若表示取到次品的件数，则E()_.答案解析分布列如下：0123来源:高&考%资(源#网 wxcPE()0123.8如果B(100，)，当P(k)取得最大值时，k_.答案50解析
4、P(k)Ck100kC100，由组合数的性质知，当k50时取到最大值9(2011龙岩月考)袋中有3个黑球，1个红球从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数的数学期望E()_答案1解析P(0)，P(2)，E()021.10(2010山东理)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，
5、答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望E()解析设A、B、C、D分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，、分别为A、B、C、D的对立事件(例如表示甲同学第一题回答错误)由题设条件知，P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P()，P()，P()，P().(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W，则由题设条件知WABCABDACDBCDBD，A、B、C、D各事件相互独立
6、，P(W)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P()P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P()P(B)P()P(D).(2)由题意知，的可能取值为2、3、4，则P(2)P()P()P()，P(3)P(ABCA)P(A)P(B)P(C)P(A)P()P().P(4)1P(2)P(3)1，的分布列为来源:高&考%资(源#网 wxc234P()E()234.11.(2011广东广州二模)设随机变量服从正态分布N(3,4)，若P(a2)，则a的值等于()A. B. C5 D3答案A解析已知N(3,4)，所以3，又因为P(a2)，所以3，解得a.12(2011温州十校
7、联考)已知随机变量XN(3,22)，若X23，则D()等于()A0B1C2D4答案B解析由X23，得D(X)4D()，而D(X)224，D()1.13(2011广州模拟)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4答案C解析X的取值为3,2,1,0，P(X3)0.6P(X2)0.40.60.24P(X1)0.420.60.096P(X0)0.430.60.440.064E(X)30.620.2410.09600.0642.376.14(2011北京丰台模拟)某课程考核分理论与实
8、验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”若甲，乙，丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响(1)求甲，乙，丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)解析设“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，i为Ai的对立事件，i1,2,3.设“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.(1)设“理论
9、考核中至少有两人合格”为事件C，P(C)P(A1A2A3A1A23A12A31A2A3)P(A1A2A3)P(A1A23)P(A12A3)P(1A2A3)来源:高&考%资(源#网 wxc0.90.80.70.90.80.30.90.20.70.10.80.70.902.(2)设“三个人该课程考核都合格”为事件D.P(D)P(A1B1)(A2B2)(A3B3)P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)0.90.80.80.70.70.90.254.所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.15设两球队A、B进行友谊比赛，在每局比
10、赛中A队获胜的概率都是p(0p1)(1)若比赛6局，且p，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？(2)若比赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？(3)若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数的分布列和数学期望解析(1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A，则P(A)1P6(5)P6(6)11.A队至多获胜4局的概率为.(2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B)Cp3(1p)3.当p0或p1时，显然有P(B)0.当0p2)0.023，则P(22)()A0.477 B0.628 C0.954 D0.977答案C分析若N(，2)，则为其均值，图象关于x对称，为其标准
11、差解析P(2)0.023，P(2)P(2)0.954.故选C.点评考查其对称性是考查正态分布的主要方式3某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c0,1)，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A. B. C. D.答案C解析由条件知，3ab1，ab(3a)b2，等号在3ab，即a，b时成立4(2011盐城模拟)袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量的概率分布列；(2)随机变量的数学期望与方差解析(1)随机变量可取的值为2,3,4，P(2)；P(3)；P(4)；所以随机变量的概率分布列为：234P(2)随机变量的数学期望E()234；随机变量的方差D()(2)2(3)2(4)2.
