1、泗县第一中学2020-2021学年高二下学期期末调研试卷理科数学一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1. 已知命题，关于的方程有实根”，则为（ ）A. ，关于的方程有实根B. ，关于的方程有实根C. ，关于的方程没有实根D. ，关于的方程没有实根2. 已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 若双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 5. 若，且，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知函数，满足，则（ ）A.
2、B. C. D. 7. 已知向量，均为单位向量，且，则（ ）A. B. C. D. 8. 若，且不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9. 已知菱形中,，把沿折起，使点到达点处，且，则三棱锥体积为（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）A. 是奇函数B. 图象关于直线对称C. 在上是增函数D. 图象关于直线对称11. 我们把函数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：；D（x+1）= D（x）；，其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，
3、设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上.13. 的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为_.14. 已知的三边，满足，且的面积为，则的值为_.15. 4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是_(用数学字作答)16. 设正实数，则的取值范围为_三解答题：共70分，解答题写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知的内角，的对边分别为，.（1）求角；（2）若，求面积.
4、18. 已知等差数列的前项和为；数列为等比数列，满足，是与的等差中项.（1）求数列，的通项公式；（2）若，是数列的前项和，求.19. 如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，.（1）证明：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20. 从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率20.0020.0541060.1061490.1493521900.1901000.100470.047合计10001.000（1）求，的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
5、；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得.如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求.附：，.21. 已知函数，是自然对数底数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程(为参数).在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；（2）若射线(，)与直线及曲线分别交于
6、点，且，求.23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若对任意实数恒成立，求证：.答案解析部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1.已知命题p：“ a(0,+) ，关于x的方程 x2+xa-1=0 有实根”，则 p 为（ ） A.a0(-,0 ，关于x的方程 x2+xa0-1=0 有实根B.a(0,+) ，关于x的方程 x2+xa-1=0 有实根C.a0(0,+) ，关于x的方程 x2+xa0-1=0 没有实根D.a(-,0 ，关于x的方程 x2+xa-1=0 没有实根【答案】 C 【考点】全称量词命题，存在量词命题 【解析】【解答】解：根据全称量词命
7、题与存在量词命题的关系易得 p为a0(0,+) ，关于x的方程 x2+xa0-1=0 没有实根. 故答案为：C 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的关系求解即可.2.已知 i 为虚数单位，若 z(1-i)=22|z| ，则 zz= （ ） A.1B.2C.2D.22【答案】 B 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：设z=x+yi,则z=x2+y2 则由 z(1-i)=22|z| 得x+yi1-i=22x2+y2 即x+y+y-xi=22x2+y2 则x+y=22x2+y2y-x=0 解得x=y=1或x=y=-1 则zz=x2+y2=2 故答案为：B 【分析】
8、根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知集合 A=x|x22x ， B=x|ax2x得x2，则集合A=x|x2, 又 B=x|axa+1 ， AB= 则a0a+12 ， 解得0a1 故答案为：A 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合交集与空集的定义求解即可.4.若双曲线C的中心为坐标原点，其焦点在y轴上，离心率为2，则该双曲线C的渐近线方程为（ ） A.y=3xB.y=33xC.y=4xD.y=14x【答案】 A 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由e=ca=2得c=2a， 则b=c2-a2=3a 又 双曲线C的焦点在y轴上 该双曲线C的渐近线方程为y=bax=3aa
9、x=3x 故答案为：A 【分析】根据双曲线的几何性质直接求解即可.5.若 (2,32) ，且 tan=3 .则 sin(+)= （ ） A.31010B.1010C.-31010D.-1010【答案】 A 【考点】同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解： tan=3，(2,32) sin0,cos0 ，且不等式 x-a+1ax+10得a1由x-a+1ax+10得x-1ax-a1 1axa 1axa 由01a1可得原不等式的解集中的5个整数分别为1,2,3,4,5 则5a6 故答案为：A 【分析】根据对数函数的性质，结合一元二次不等式的解法
10、，以及不等式的性质求解即可.9.已知菱形 ABCD 中 AB=BD=2 ，把 ABD 沿 BD 折起，使点 A 到达点 P 处，且 PC=3 ，则三棱锥 P-BCD 的体积为（ ） A.32B.22C.3D.2【答案】 A 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解：如图所示，取BD的中点E，则PE=CE=3 PEBD,CEBD，PECE=E BD平面PCE 取PC的中点F，则EFPC PC=3 EF=PE2-PF2=32 则VP-BCD=13SPCEBD=13212332=32 故答案为：A 【分析】根据直线与平面垂直的判定定理求得三棱锥的高，再结合棱锥的体积公
11、式直接求解即可.10.已知函数 f(x)=sin(2x+6) 的图象向左平移 6 个单位后，得到函数 g(x) 的图象，则 g(x) （ ） A.是奇函数B.图象关于直线 x=4 对称C.在 (0,4) 上是增函数D.图形关于直线 x=-32 对称【答案】 D 【考点】函数的图象与图象变化，余弦函数的图象 【解析】【解答】解：由题意得g(x)=sin2x+6+6=cos2x 对于A，g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x)，则g(x)为偶函数，故A错误； 对于B，g4=cos2=0 ， 故B错误； 对于C，当0x4时，02xb0) 的一个焦点为 F(1,0) ，一个顶点为 A(2,0
12、) ，设 B(t,0) ，点P是椭圆C上的动点，若 |PB|AB| 恒成立，则t的取值范围是（ ） A.0,12B.12,+)C.-2,2D.(2,+)【答案】 B 【考点】二次函数在闭区间上的最值，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：设点P(x0,y0)，则x024+y023=1 ， 则y02=31-x024 |PB|PA| |PB|2|PA|2 (x0-t)2+y02(t-2)2 x02-2tx0+t2+31-x024t2+4t+4 即x024-2tx0+4t1 2t2-x02-x02+x04 又-2x02 2-x00 2t2+x04恒成立 2t2+x04max=1 即2t
13、1 则t12 故答案为：B 【分析】根据椭圆的方程以及几何性质，结合二次函数的最值求解即可.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上。13.(x-1x3)5 的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为_. 【答案】 -5 【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】解： (x-1x3)5的展开式通项公式为Tr+1=C5rx5-r-1x3r=-1rC5rx5-4r 则当r=1是，幂指数绝对值最小， 该项的系数为-1C51=-5 故答案为：-5 【分析】根据二项式定理直接求解即可.14.已知 ABC 的三边a、b、c满足 a+c=2b ，且 ABC 的面积为 34ab ，则
14、ca 的值为_. 【答案】 1或 73【考点】余弦定理的应用，三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：由s=12absinC=34ab得sinC=32 ， 则C=3或C=23 当C=3时，则c2=a2+b2-ab=a2+a+c22-aa+c2 ， 整理得a=c，则ca=1； 当C=23时，则c2=a2+b2+ab=a2+a+c22+aa+c2 ， 整理得(c+a)(3c-7a)=0，则ca=73； 故答案为： 1或73 【分析】根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.15. 4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是_（用数学字作答） 【答案】 8
15、1（或34） 【考点】分步乘法计数原理 【解析】【解答】解：根据分步乘法计数原理得不同的选法为3333=34=81 故答案为： 81（或34） 【分析】根据分步乘法计数原理直接求解即可16.设正实数 x ， y 满足 x+y=1 ，则 x2+y2+xy 的取值范围_. 【答案】1,98【考点】二次函数在闭区间上的最值，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：1=x+y2xy 00 ， cosA=-12 ，又 A(0,) ，所以， A=23 （2）a=4 ， b+c=25 ，由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA ，=b2+c2+bc=(b+c)2-bc即 16=20-bc
16、，则 bc=4 于是 SABC=12bcsinA=12432=3 【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解即可； （2）根据余弦定理，结合三角形的面积公式直接求解即可.18.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ；数列 bn 为等比数列，满足 a1-b2=2 ， S5=30 ， b4+2 是 b3 与 b5 的等差中项. （1）求数列 an ， bn 的通项公式； （2）若 cn=anbn ， Tn 是数列 cn 的前 n 项和，求 Tn . 【答案】 （1）设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q
17、 ， 由 a1=b2=2 ， S5=30 ， b4+2 是 b3 与 b5 的等差中项，52+10d=30d=2则 an=2+2(n-1)=2n ；b1q=2 ， 2(b4+2)=b3+b5 ，即 2(b1q3+2)=b1q2+b1q4 ，b1=1 ， q=2 ，bn=2n-1 ；（2）bn=anbn=n2n ， 所以 Tn=12+222+323+.+n2n ，2Tn=122+223+324+.+n2n+1 ，两式相减可得 -Tn=2+22+23+2n-n2n+1 ，=2(1-2n)1-2-n2n+1 ，化简得， Tn=2+(n-1)2n+1 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等
18、比数列的通项公式，数列的求和，等差数列的性质 【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前n项和公式，以及等比数列的通项公式，结合等差中项求解即可； （2）利用错位相减法求解即可.19.如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ADEF 为矩形，且与面 ABCD 垂直， BCD=90 ， AD=CD=12BC=1 ， DE=2 . （1）证明： AD/BC ； （2）求平面 ACE 与平面 BCEF 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）证明：面 ADEF 为矩形， AD/EF ， 且 AD 平面 BCEF ， EF 平面 BCEF ， AD/ 平面 BCEF ，又 AD 平面 ABCD
19、，平面 ABCD 平面 BCEF=BC ， AD/BC （2）面 ADEF 为矩形面， DEAD ， 又面 ADEF 面 ABCD ，且面 ADEF 面 ABCD=AD ， DE 面 ABCD ，由（1）知， AD/BC ，又 BCD=90 ， ADCD ， DA ， DE ， DC 两两垂直，以 DA ， DE ， DC 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立图示空间直角坐标系，则 D(0,0,0) ， A(1,0,0) ， C(0,1,0) ， E(0,0,2) ， B(2,1,0) ， F(1,0,2) AC=(-1,1,0) ， AE=(-1,0,2) ， BC=(-2,0,0
20、) ， BF=(-1,-1,2) ，设平面 ACE 与平面 BCEF 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1) ， n2=(x2,y2,z2) ，则 ACn1=0,AEn1=0,BCn2=0,BFn2=0, -x1+y1=0，-x1+2z1=0，-2x2=0，-x2-y2+2z2=0，令 z1=1 ，解得 n1=(2,2,1) ，令 z2=1 ，解得 n2=(0,2,1) ，于是 |cosn1，n2|=|n1n2|n1|n2|=2+153=155 ，所以平面 BCEF 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值为 155 【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质，用空间向量求直线间的夹
21、角、距离 【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理与性质定理即可求证； （2）利用向量法直接求解即可.20.从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图. 分组频数频率2.5,7.5)20.0027.5,12.5)m0.05412.5,17.5)1060.10617.5,22.5)1490.14922.5,27.5)352n27.5,32.5)1900.19032.5,37.5)1000.10037.5,42.5)470.047合计10001.000（1）求m，n，a的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平
22、均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2，其中已计算得2=52.6 .如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X为抽取的20件产品所获得的总利润，求EX . 附：52.67.25，P(-x+)=0.6826，P(-2x+2)=0.9544 .【答案】 （1）结合频率分布表可以得到 m=54 ， n
23、=0.352 ， a=0.195=0.038.（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数 x 为： x=50.002+100.054+150.106+200.149+250.352+300.190+350.1+400.047=25（3）因为 52.67.25 ，由（2）知 ZN(25,52.6) ， 从而 P(10.50Z39.50)=P(25-27.25Z0 ，得 1-5x1+5 ，由 f(x)1+5 或 x1-5 ，所以 f(x) 在 (-,1-5) 上单调递减，在 (1-5,1+5) 上单调递增，在 (1+5,+) 上单调递减（2）由当 x2 时， f(x)0 ，得 2x-12x2
24、-a(x-1)ex0 ， 记 g(x)=2x-12x2-a(x-1)ex ，则 g(x)=(2-x)ex-aex ，当 a0 时，则 g(x)0 ，可知 g(x) 在 (-,2) 上单调递增，且 g(-1)=-52+2ae0 ，不满足当 x2 时， f(x)0 ，舍去；当 0ae2 时，令 g(x)=0 ，得 x1=2 ， x2=lna ，因为 lna2 ，所以当 xlna 时， g(x)0 ，当 lnax0 ，故 g(x) 在 (-,lna) 上单调递减，在 (lna,2) 上单调递增，所以 g(x)min=g(lna)=-12(lna)2+lna+10 ，解得 e1-3ae1+3 ，因为
25、e1+3e2 ，所以 e1-3ae2 ；当 ae2 时，则 lna2 ，此时当 x2 时， g(x)0 ，故 g(x) 在 (-,2 上单调递减，所以 g(x)min=g(2)=2-ae20 ，解得 a2e2 ，所以 e2a2e2 ；综上所述，a的取值范围是 e1-3,2e2 .【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数g(x)的最值问题，结合分类讨论思想，利用导数研究函数g(x)的单调性与最值即可求解.22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程
26、x=1+3ty=3-1 （ t 为参数）.在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 =2cos . （1）求直线 l 的极坐标方程； （2）若射线 =(00) ，与直线 l 及曲线 C 分别交于点 A ， B ，且 |OA|OB|=2 .求 tan . 【答案】 （1）直线 l 的参数方程 x=1+3ty=3-t ，消去参数 t 得 x+3y-4=0 . 由 cos=x ， sin=y ，得直线 l 的极坐标方程为 (cos+3sin)=4 ，即 cos(-3)=2（2）因为射线 =(00) 与直线 l 及曲线 C 分别交于点 A ， B ， 所以 |
27、OA|=2cos(-3) ， |OB|=2cos ，因为 |OA|OB|=2 ，所以 cos(-3)=2cos ，即 12cos+32sin=2cos ，所以 32sin=32cos ， tan=3 .【考点】两角和与差的余弦公式，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【分析】（1）利用消元法把直线l的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，把直线l的直角坐标方程化为极坐标方程即可； （2）分别联立射线与直线l以及曲线C的极坐标方程组，求得|OA|，|OB|，结合两角差的余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解即可.23.已知 f(
28、x)=x2+|4x-1| . （1）求不等式 f(x)3|x|+1 的解集； （2）若 f(x)1a2+1b2-3116 对任意实数 x 恒成立，求证： |a|+|b|2|ab| . 【答案】 （1）x2-x0,x0x2-7x0,0x14x2+x-20,x14x(-,01,+)所以不等式 f(x)3|x|+1 的解集为 (-,01,+)（2）当 x14 时 f(x)=x2+4x-1(14)2+414-14=116 ， 当 x(14)2+414-1=116 .所以 f(x)116 ，当且仅当 x=14 时取等号。所以 1161a2+1b2-3116 ，即 1a2+1b22 ，所以 (1|a|+1|b|)22(1a2+1b2)4 ，所以 1|a|+1|b|2 ，即 |a|+|b|2|ab| .【考点】二次函数在闭区间上的最值，一元二次不等式的解法，基本不等式在最值问题中的应用，分段函数的应用 【解析】【分析】（1）根据分段函数的性质，结合一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数f(x)的最值问题，运用分类讨论思想，根据二次函数f(x)的最值，结合基本不等式的性质即可求解.
