1、倾斜角与斜率【教学目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想.2.掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=（x1x2），培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.【重点难点】教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.教学难点:斜率公式的推导.【课时安排】1课时【教学
2、过程】导入新课如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图1推进新课新知探究提出问题怎样描述直线的倾斜程度呢？图2中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2直线的倾斜角能不能是0？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？正切函数的定义域是什么？任何直线都有斜率么？我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(1，4)，则直线AB的斜率是多少?活动:与交
3、角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.考虑正方向.动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0180.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以倾斜角的范围是0180.联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k
4、=tan.教师介绍正切函数的相关知识.说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率.（倾斜角是90的直线没有斜率）已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出.讨论结果:用倾斜角.都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背.直线的倾斜角能是0，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角.有，常用的有坡度比.90的正切值不存在.倾斜角是90的直线没有斜率.过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=.应用示例例1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0
5、,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值;而当k=tan0时,倾斜角是钝角;而当k=tan0时,倾斜角是锐角;而当k=tan=0时,倾斜角是0.解:直线AB的斜率k1=0,所以它的倾斜角是锐角;直线BC的斜率k2=-0.50,所以它的倾斜角是钝角;直线CA的斜率k3=10,所以它的倾斜角是锐角.变式训练 已知A(1,3),B(0,2),求直线AB的斜率及倾斜角.解:kAB=,直线倾斜角的取值范围是0180,直线AB的倾斜角为60.例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直
6、线a,b,c,l.活动:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定.解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=,所以x=y.可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b,c,l.变式训练1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)=0；（2）=60；(3)=90.活动:指导学生根据定义直接求解.解：(1)tan0=0，倾斜角为0的直线斜率为0.(2)tan60=，倾斜角为60的直线斜率为.(3)tan90不存在，倾斜角为90的直线斜率不存在.点评：通过此题训练，意在使
7、学生熟悉特殊角的斜率.2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等D.直线斜率的范围是(，)答案：D拓展提升已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形.答案：(-,)(-,+).课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率;（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；（3）直线斜率的概念；（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.作业习题3.1 A组3、4、5.
