1、路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修2-2成才之路 数学导数应用第三章2 导数在实际问题中的应用第三章第2课时 最大值、最小值问题第三章知能目标解读1知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4探索延拓创新5易错辨误警示6课堂巩固训练7课后强化作业8知能目标解读1掌握求函数最值的方法2了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用3能利用导数求出某些特殊问题的最值本节重点：求函数最值的方法、利用导数知识解决实际中的最优化问题本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型知能自主梳理1最大值点与最小值点函数yf(x)在
2、区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_不超过f(x0)不低于f(x0)2最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的 极 大(小)值 点，然 后 将 所 有 _与_的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值函数的最大值和最小值统称为_极大(小)值点区间端点最值3导数在实际问题中的应用应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问
3、题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题此过程用框图表示如下：说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值(2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值学习方法指导2正确区分极值和最值(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最
4、小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值3若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值4解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域(1)在生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用函数与方程的思想去分析问题、解决问题(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定该极值是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较
5、(3)优化问题中要注意定义域的限制，当含有参数时，要注意运用分类讨论的思想思路方法技巧求函数的最值点评设函数f(x)的图像在a，b上连续，且f(x)在(a，b)内可导，则求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值点；(2)求出f(x)在区间端点和极值点的值；(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值导数在实际问题中的应用(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值点评在利用导数解决有关函数最大值与最小值的实际问题
6、时，关键是分析问题中的各个变量之间的关系，列出符合题意的函数关系式，并确定函数的定义域，然后再借助导数求解，特别要注意检验求得的结果是否符合问题的实际意义探索延拓创新恒成立问题(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9，当x变化时，有下表：x2(2，1)1(1,3)3(3,6)6f(x)00f(x)c2极大值c5极小值c27x2,6时，f(x)的最大值为c54.要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，当c0时，c5454；当c0时，c542c，c18.c(，18)(54，)点评不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的
7、方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解含参数的讨论问题综合应用解析(1)设x(0,1，则x1,0)，所以f(x)x3ax，因为f(x)为偶函数，所以f(x)x3ax(03,00，即f(x)0，所以f(x)在(0,1上是增函数(2014安徽理，18)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值易错辨误警示课堂巩固训练解析本题考查了导数的应用及求导运算，x0，yx281(9x)(9x)，令y0，x9，x(0,9)，y0，x(9，)，y0，y先增后减，x9时函数
8、取最大值，选C，属导数法求最值问题3已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为()A37B29C5D11答案A解析f(x)6x212x，x2,2，由f(x)0，得x0或x2.可得f(x)在2,0上为增函数，在(0,2上为减函数，f(x)在x0时取得极大值即为最大值f(x)maxf(0)m3.又f(2)37，f(2)5，f(x)的最小值为37.二、填空题4函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是_、_.答案3 17解析f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0得x1或x1(舍去)因为f(0)1，f(1)3，f(3)17.所以函数f(x)在闭区间3,0上的最大值为3，最小值为17.5内接于半径为R的球，并且体积最大的圆锥的高为_课后强化作业（点此链接）
