1、安徽省九校联盟 2022 高三上学期 11 月质量检测 数学试题 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数满足1+=(1 )，则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合=|(+1)(2 )0)的图象与直线=1的两相邻公共点的距离为，要得到=sin(+3)的图象，只需将函数=cos的图象向左平移 A.12个单位长度 B.512个单位长度 C.712个单位长度 D.1112 个单位长度 7.如图，在正三棱柱 111中，1=3，=2，则异面直线1与1所成角的余弦值为()A.513 B
2、.713 C.913 D.1213 8.已知函数()是定义域为的偶函数，(+1)为奇函数，当 0,1时，()=2+，若(0)+(3)=6，则(log296)=()A.2B.0C.3D.6二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知 0，B.C.10.已知数列的前项和为，则()A.若=22 ，则是等差数列B.若=2+1 1，则是等比数列C.若是等差数列，则2023=20231012D.若是等比数列，且1 0，0，则21 2+1 2211.已知函数()，()是其导函数，(0,2)，()cos+()sin=ln恒成立，则()A.(6)+3(3)cos1 3(
3、1)B.(3 1)(3)2(512)C.2(6)(3+1)(4)12.如图，正四棱锥 的底面边长与侧棱长均为，正三棱锥 的棱长均为，则A.B.正四棱锥 的内切球半径为(1 22)C.，四点共面D.平面/平面三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知向量=(3,1)，=(,2)，且 (+2 )，则|+|=14.已知 0，若3是91与34的等比中项，则+的最小值为15.已知函数()=ln(+1)(0)，将()的图象绕原点逆时针旋转(0,)角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为16.如图，在几何体中，四边形为正方形，/平面，=12 =2，=23，则该几何体的外接球的表
4、面积为四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，1=1，3，22，4成等差数列(1)求的通项公式;(2)若=log2(+1)，数列+2+1+2的前项和为，证明：38 1218.(本小题12.0分)产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位，好的宣传对产品打开市场，提高销售额有着重要的作用.某生产企业通过市场调研发现，年销售量(万件)与宣传费用(万元)的关系为=4 2+1(0 2).已知生产该产品万件除宣传费用外还要投入(11+2)万元，产品的销售单价定为(4+20)元，假设生产
5、的产品能全部售出(1)求产品的年利润()的解析式;(2)当宣传费用为多少万元时，生产该产品获得的年利润最大?19.(本小题12.0分)在 中，角，的对边分别为，2+2(1 4cos2)=，且=2cosB.(1)求;(2)若 的周长为4+23，求边上中线的长20.(本小题12.0分)如图，分别为正方形的边，的中点，平面，平面，与交于点，=4，=2，=32(1)证明：平面;(2)求点到平面的距离;(3)求二面角 的大小21.(本小题12.0分)如图所示的几何体是由等高的14个圆柱和半个圆柱组合而成，点为 的中点，为14圆柱上底面的圆心，为半个圆柱上底面的直径，分别为，的中点，点，四点共面，为母线(
6、1)证明：/平面;(2)若平面与平面所成的较小的二面角的余弦值为155，求直线与平面所成角的正弦值22.(本小题12.0分)已知函数()=2 ln()(1)讨论函数()的单调性;(2)设()=()sin，若1，2 (0,+)且1 2，使得(1)=(2)，证明：12 2数学答案和解析 1.【答案】【解析】【分析】本题考查复数的四则运算、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题【解答】解：因为1+=(1 )，所以 (1+)=(1 )(1+)，即 +1=2，所以=1 ，故在复平面内对应的点为(1,1)，位于第四象限2.【答案】【解析】【分析】本题考查了集合的基本运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础
7、题【解答】解：由(+1)(2 )0，得 2，所以=1,2，由|1，得 1或 1，所以=|1或 1，从而()=1,1,23.【答案】【解析】【分析】本题考查条件关系的判断，余弦型函数的值域，分式不等式的求解，属于中等题【解答】解：由 0,2，得2 3 3,23，所以 1,2，即1 2;由+12 0，得1 0)个单位长度，可得=sin(2+2+2)的图象，即为=sin(2+3)的图象，所以2+2=3+2()，解得=12+()，又 0，则min=1112.故选 D7.【答案】【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，属于基础题【解答】解：取11的中点，连接1交1于点，连
8、接，则/1，且=12 1，则1为异面直线1与1所成的角或其补角 易求1=1=13，1=3，则=1=132，所以cos1=2+121221=134+134 32132 132=713 8.【答案】【解析】【分析】本题考查函数奇偶性及周期性的综合应用，考查了函数值的求解，属中档题【解答】解：因为(+1)为奇函数，所以(+1)=(+1)，又()为偶函数，所以(+1)=(1)，所以(1)=(+1)，即()=(+2)，所以(+4)=(+2)=()，故()是以4为周期的周期函数 由(+1)=(+1)，易得(1)=0，(3)=(1)=(1)=0，所以(0)=6，所以+=6，2+=0，解得=6，=12，所以(
9、log296)=(5+log23)=(1+log23)=(log23 1)=(log232)=(6 2log232+12)=39.【答案】【解析】【分析】本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题【解答】解：因为 0，所以1 1 1 0，又 0，所以 ，所以 0，0，所以 ，所以 .故 D 错误，C 正确.故选 BC10.【答案】【解析】【分析】本题考查数列的性质的应用，属于中档题 直接利用数列的定义和性质求出结果【解答】解：对于，若=22 ，则1=1，当 2时=1=4 3，显然=1时也满足=4 3，故=4 3，故为等差数列，故 A 正确;对于，若=2+1 1，则1=3，2=2 1=
10、4，3=3 2=8，显然21 32，所以不是等比数列，故 B 错误;对于，因为为等差数列，则2023=2023(1+2023)2=20231012，故 C 正确;对于，故 D 错误 故选 AC11.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，涉及函数的构造，利用导数判断函数的单调性，属于较难题【解答】解：设()=()(0 2)，则()=()cos+()sincos2=lncos2，当0 1时，()0；当1 0，所以()在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以(6)(1)，(3)(1)，所以(6)+(3)2(1)，即2(6)3+2(3)2(1)cos1；所以(6)+3(3)co
11、s1 3(1)，故 A 正确；因为1 3 512 2，所以(3)(512)，又cos 512=cos(6+4)=624，所以(3 1)(3)2(512)，故 B 正确；因为0 12 6 4 (4)，(12)(4)，即(6)cos 4 (4)cos 6，(12)cos 4 (4)cos 12，因为cos 12=2+64，所以2(6)3(4)，2(12)(3+1)(4)，故 C 错误，D 正确12.【答案】【解析】【分析】本题考查空间组合体的线线、面面的位置关系，球的切接问题，属于综合题【解答】解：对于，取的中点，连接，则 ，又，平面，=，所以 平面，因为 平面，所以 ，又/，所以 ，故 A 正确
12、;对于，设内切球半径为，易求得四棱锥 的一个侧面的面积为=12 2 sin 3=34 2，所以13 2 22 =13 2 +4 13 34 2 ，解得=(62)4，故 B 错误；对于，取的中点，连接，易知 ，所以，分别是二面角 ，二面角 的平面角，易求得=32，所以cos=2+222=13，cos=2+222=13，又，0,，所以与互补，所以，共面，故 C 正确;因为，共面，又=，所以四边形为平行四边形，所以/，平面，平面，所以/平面，同理/平面，又，平面，=，所以平面/平面，故 D 正确13.【答案】853【解析】【分析】本题考查向量的四则运算与数量积，考查模长的求法，属于基础题【解答】解：
13、+2 =(3,1)+2(,2)=(2 3,5)，由 (+2 )，得 (+2 )=(3,1)(2 3,5)=6+9+5=0，解得=73 则+=(3,1)+(73,2)=(23,3)，故|+|=(23)2+32=853 14.【答案】3+22【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，指数幂的运算以及等比中项的概念，属于基础题【解答】解：由题意得32=91 34，即9=91+2，所以1+2=1，又 0，所以 0，0，所以+=(+)(1+2)=3+2 3+22，当且仅当=2，即=2+1，=2+2时等号成立 故+的最小值为3+2215.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用导数求曲线上一点的切线方
14、程，判断图象是否为函数，属于中档题【解答】解：()=1+1，所以(0)=1，故函数()的图象在(0,(0)处的切线为=，其向上部分与轴正向的夹角为4，函数()的图象绕原点旋转不超过4时，仍为某函数图象，若超过4，轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故的最大值为416.【答案】32【解析】【分析】本题考查了几何体的外接球问题，属于中档题【解答】解：取，中点，正方形中心，中点2，连接，2，如图，依题意，2 平面，/，点是的中点，=4，等腰 中，=2 2=22，同理=22，所以等腰梯形的高2=2 (2)2=7，由几何体的结构特征知，几何体的外接球的球心1在直线2上，连接1，1，正方形的外接圆半径=
15、22，则有12=2+12,12=22+212,而1=1，2=12 =1，当点1在线段2的延长线(含点)时，视1为非负数，若点1在线段2(不含点)上，视1为负数，即有21=2+1=7+1，即(22)2+12=1+(7+1)2，解得1=0，所以该几何体的外接球的球心为，半径为=22，所以该几何体的外接球的表面积=4 (22)2=3217.【答案】(1)解：设数列的公比为，由题意知42=3+4，1=1，即4(1+2)=4(1+)=2+3=2(1+)因为 ，0，所以 0，所以=2，所以=21(2)证明：由(1)得=1212=2 1，所以=log22=，所以+2+1+2=+2(+1)2+1=12 1(+
16、1)2+1，所以=1121 1222+1222 1323+12 1(+1)2+1=12 1(+1)2+1显然单调递增，所以 1=38，因为1(+1)2+1 0，所以 12，所以38 12【解析】本题考查了等比数列的通项公式以及前项和公式，以及裂项相消法求和和数列的单调性的于应用，属于中档题 18.【答案】解：(1)()=(4+20)(11+2)=2+9 =2(4 2+1)+9 =17 4+1(0 2)(2)由(1)知()=17 4+1，所以()=18 (+1)+4+1 18 2(+1)4+1=14，当且仅当+1=4+1，即=1时等号成立所以当宣传费用为1万元时，生产该产品获得的年利润最大【解析
17、】本题考查函数模型的实际应用，属于基础题 19.【答案】解：(1)因为2+2 42cos2=又=2cos，所以2+2 2=，由余弦定理，得cos=2+222=2=12又 (0,)，所以=23，由=2cos及正弦定理，得sin=2sincos，所以sin2=32，由 (0,3)，得2 (0,23)，所以2=3，解得=6(2)由(1)可知=6，=23，所以=6 23=6，所以=，由=2cos，得=3.因为 的周长为4+23，所以+3=4+23，解得=2设的中点为，则=12 =1由余弦定理，得=2+2 2 cos 23=4+1 2 2 1 (12)=7，所以边上中线的长为7【解析】本题考查利用余弦定
18、理解三角形，考查正弦定理，属于中档题 20.【答案】(1)证明：连接，因为，分别为，的中点，所以/因为 平面，平面，所以 ，所以 因为四边形为正方形，所以 ，又/，所以 ，又，平面，=，所以 平面(2)解：由(1)知/，又 平面，平面，所以/平面设与的交点为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，由(1)知 平面，又 平面，所以平面 平面，作 ，为垂足，因为平面 平面=，平面，所以 平面，因为=4，=32，为，的中点，所以=32，=6，=2，由 得=，得=1，即点到平面的距离为1(3)解：由 平面可得 ，同理可证 ，所以为二面角 的一个平面角，因为 平面，平面，所以 ，同理 ，又=，=，所以=4
19、5，所以=90，即二面角 的大小为90【解析】本题考查线面垂直的证明、点到平面的距离的几何求法及二面角的求解，考查学生的推理论证能力、逻辑思维能力以及运算求解能力，属中档题 21.【答案】解：(1)证明：取的中点，连接，又为的中点，所以/，又 平面，平面，所以/平面，因为/，=，分别为，的中点，所以/，且=，所以四边形为平行四边形，所以/，又 平面，平面，所以/平面，又，平面，=，所以平面/平面，因为 平面，所以/平面(2)解：由题意知，两两垂直，故以点为原点，直线，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系设14圆柱的底面半径为，高为，则(0,0,0)，(,0,0)，(0,0)，(0,0,
20、)，(2,2,)，(0,2,)，(,0,2)，所以=(,0)，=(0,)，=(0,0)，=(2,2,)，=(,2,2).设平面的一个法向量=(,)，则 =0,=0,，即+=0,=0,令=，解得=，=，所以=(,);设平面的一个法向量=(,)，则 =0,=0,即=0,2 +2 +=0,令=2，解得=0，=，所以=(2,0,)，所以|cos|=|=22+222+242+2=22+242+2=155，化简，得22 22=0，所以=，所以=(2,0,)，=(,2,2).设与平面所成的角为，所以sin=|cos|=|=|22122|62 5=3010 【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量解决平面
21、与平面所成的角，直线与平面所成的角，属于综合题 22.【答案】解：(1)()=2 ln的定义域为(0,+)，()=2 =2，当 0时，()0在(0,+)上恒成立，所以()在(0,+)上单调递增;当 0时，令()0，得0 0，得 2，所以()在(0,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增(2)证明：()=()sin=2 sin ln，由题意知1，2 (0,+)，1 2，不妨设1 0，则()=1 cos 0，所以()=sin在(0,+)上单调递增，又1 2，所以1 sin1 sin2 sin1，所以(ln2 ln1)=2(2 1)(sin2 sin1)2(2 1)(2 1)=2 1，因为1 2，所以ln1 0，所以 21ln2ln1下面证明21ln2ln1 12，即证明211ln 21 21，设21=(1)，即证明1ln ，只要证明1 ln 0设()=1 ln(1)，则()=(1)22 0，所以()在(1,+)上单调递增，所以()(1)=111 ln1=0所以21ln2ln1 12，所以 12，所以12 2【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，属于较难题
