1、数学试题第 1页（共 4页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司枣庄三中20222023学年度第一学期高三年级期中考试数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试用时 120 分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方。第卷（选择题共 60 分）注意事项：第卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，1 到 8 题只有一项是符合题目要求，9 到 12 题为多项选择题。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。一、单项选择
2、题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1.已知集合2320Ax xx，12log1Bxx则下列结论正确的是（）A AB B ABRC ABD BA2.已知=(2,1)，=(1,2)，若向量 在向量 上的投影向量为，则=（）A.4 55,8 55B.4 55,8 55C.85,45D.45,853.已知复数 z 与(z2)28i 都是纯虚数，则 z（）A2B2C2iD2i4.如图是函数 f x 的图象，则函数 f x 的解析式可以为（）A()=elnxxB()=2eexx C()=21xxD()=21xx5.在 ABC中，“tantan1BC ”是“ABC为锐角三角形”的（）A.充
3、分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数 g(x)3sin(x)的图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f(x)的图象，f(x)的部分图象如图所示.若ABBC|AB|2，则（）A.12B.6C.4D.2数学试题第 2页（共 4页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司7.已知0 x，0y，且2xy，则2221xyxy的最小值为（）A.52B.72C.722 D.58.设实数 t0，若不等式 e2txln 2ln xt0 对 x0 恒成立，则 t 的取值范围为（）A.12e，B.1e，C.0，1eD.0，12e二、多项选择题(本题共 4 小
4、题，每题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)9.已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意实数 x 满足 f(2x)f(x)，f(2x)f(x)，且 x0，1 时，f(x)x21，则下列说法中，正确的是（）A.2 是 f(x)的周期B.x1 不是 f(x)图象的对称轴C.f(2 021)2D.(1,0)是 f(x)图象的对称中心10.已知在ABC 中，D 为边 AC 上的一点，且满足AD 13AC，若 P 为边 BD 上的一点，且满足APmABnAC(m0，n0)，则下列结论正确的是（）A.m2n1B.mn 的最大值为 112C.mn1D.m
5、29n2 的最小值为1211.等差数列an的前 n 项和记为 Sn，若 a10，S10S20，则正确的是（）A.d0B.a160C.SnS15D.当且仅当 Sn0 时 n3212.已知 A，B 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)上关于原点对称的两点，点 P 是双曲线 C 的右支上位于第一象限的动点，记 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，且满足 k1k214，则下列说法正确的是()A.双曲线 C 的离心率为 2B.双曲线 C 的渐近线方程为 y12xC.若|AB|的最小值为 4，则双曲线 C 的方程为x24y21D.存在点 P，使得|k1|k2|22数学试题第 3页（共 4页）学
6、科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司第 II 卷（共 90 分）三、填空题(本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13.函数 2ln 1xf xax为 奇函数，则实数a_.14.在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点是 O，始边是 x 轴的非负半轴，02，点1tan,1tan1212P是 终边上一点，则 的值是_.15.已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 P，右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C2 的顶点与 C1 的中心 O 重合.若 C1 与 C2 相交于点 A，B，且四边形 OAPB 为菱形，则 C1 的离心率为_.16.已知函数 12e,
7、132,1xxf xxxx，若函数 2g xfxk x有三个零点，则实数k 的取值范围是_.四、解答题(本题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 1822 小题各 12 分，共 70 分)17.(本小题满分 10 分)在(ab)(ab)(ac)c，2ac2bcos C，3(abcos C)csin B 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足_，b2 3.(1)若 ac4，求ABC 的面积；(2)求 ac 的取值范围.18.(本小题满分 12 分)已知数列 na满足11a，*1121nnaannN(1)求数列
8、na的通项公式；(2)求数列 na的前 n 项和19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x+aln x+1)(Ra(1)求函数 f(x)的单调区间和极值;(2)若 f(x)在1,e上的最小值为-a+1,求实数 a 的值.数学试题第 4页（共 4页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司20.(本小题满分 12 分)某市为应急处理突如其来的新冠疾病，防止疫情扩散，采取对疑似病人集中隔离观察.如图，征用了该市一半径为 2 百米的半圆形广场及其东边绿化带设立隔离观察服务区，现决定在圆心 O 处设立一个观察监测中心（大小忽略不计），在圆心 O 正东方向相距 4 百米的点 A 处
9、安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点 B 以及圆弧外的点 C 处，再分别安装一套监测设备，且满足,90ABACBAC.定义：四边形 OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”;OC 的长为“最远直接监测距离”.设AOB.(1)当60 o 时，求“直接监测覆盖区域”的面积;(2)试确定 的值，使得“最远直接监测距离”最大，并求出此时的最大值.21.(本小题满分 12 分)设中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点13,2A，F 为 C 的右焦点，圆 F 的方程为22112 304xyx(1)求 C 的方程；(2)若直线:(3)l yk x(0)k 与圆 O 相切，与圆
10、 F 交于 M、N 两点，与椭圆 C 交于 P、Q 两点，其中M、P 在第一象限，记圆 O 的面积为()S k，求(|)()NQMPS k取最大值时，直线 l 的方程.22.(本小题满分 12 分)(ln)(Raxaxxh已知函数(1)若 有两个零点，的取值范围；(2)若方程e ln+=0 有两个实根1、2，且1 2，证明：e1+2 e212.数学试题参考答案第 1页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司枣庄三中20222023学年度第一学期高三年级期中考试数学试题参考答案一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1B2.D3.C4.D5.C6.
11、A7.C8.B二、多项选择题(本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)9.AC10.BD11.ABC12.BC三、填空题(本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13.114.615.1316.20,74 31,3eU四、解答题(本题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 1822 小题各 12 分，共 70 分)17.(本小题满分 10 分)解：若选条件，由(ab)(ab)(ac)c 化简得，a2c2b2ac，.1 分由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac，即 cos B12，因为 0B，所以 B3.3 分若选
12、条件，由 2ac2bcos C 及正弦定理，得 2sin Asin C2sin Bcos C，即 2sin(BC)sin C2sin Bcos C，化简得 2cos Bsin Csin C.1 分因为 0C，所以 sin C0，所以 cos B12，又 0B，所以 B3.3 分若选条件，由 3(abcos C)csin B 及正弦定理，得 3(sin Asin Bcos C)sin Csin B，即 3sin(BC)sin Bcos Csin Csin B，化简得3cos Bsin Csin Csin B，.1 分因为 0C，所以 sin C0，所以 tan B 3，又 0B，所以 B3.3
13、分(1)由余弦定理得 b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B，即 12422ac2ac12，解得 ac43.4 分所以ABC 的面积 S12acsin B1243sin 3 33.5 分数学试题参考答案第 2页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司(2)由正弦定理得 asin Acsin C bsin B2 3324，.6 分因为 ACB23，所以 ac4(sin Asin C)4 sin Asin23 A4 312cos A 32 sin A 4 3sin A6，.8 分因为 0A23，所以6A656，sin A6 12，1，所以 ac(2 3
14、，4 3，即 ac 的取值范围为(2 3，4 3.10 分18.(本小题满分 12 分)解：（1）由题知，11a，*1121nnaannN因为*11121nnnnaaannnN，所以1112nnaann，所以1112nnanan.2 分因为1101a ，所以数列nan是首项为 1，公比为12 的等比数列，.3 分所以1111122nnnan，所以12nnna.4 分（2）由（1）得12nnna，所以01221123122222nnnnnS，23111231222222nnnnnS，由错位相减得：211111122222nnnnS 11122212212nnnnnn所以11222nnnnS.12
15、 分数学试题参考答案第 3页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司19 解：(1)函数 f(x)的定义域为(0,+).1 分f(x)=1+=+.2 分当 a0 时,f(x)0 恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间,无极值;.3 分当 a0,得 x-a;令 f(x)0,得 0 x-af(x)的单调递增区间为(-a,+),单调递减区间为(0,-a),此时 f(x)有极小值 f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.4 分综上所述：当 a0 时 f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间,无极值;当 a0 时 f(x)的单调递增区间为(-
16、a,+),单调递减区间为(0,-a),f(x)有极小值-a+aln(-a)+1,无极大值.6 分(2)f(x)=1+=+,x1,e,由 f(x)=0 得 x=-a,.7分若 a-1,则 x+a0,即 f(x)0 在1,e上恒成立,此时 f(x)在1,e上单调递增,f(x)min=f(1)=-a+1,即 2=-a+1,则 a=-1,符合条件.8 分若 a-e,则 x+a0,即 f(x)0 在1,e上恒成立,此时 f(x)在1,e上单调递减,f(x)min=f(e)=-a+1,即 e+a+1=-a+1,则 a=-e2,不符合条件.9 分若-ea-1,当 1x-a 时,f(x)0,f(x)在1,-a
17、)上单调递减;当-a0,f(x)在(-a,e上单调递增.f(x)min=f(-a)=-a+1,即-a+aln(-a)+1=-a+1,则 a=0(舍)或 a=-1,均不符合条件.11 分综上所述,a=-1.12 分20.(本小题满分 12 分)数学试题参考答案第 4页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司解：（1）在 OAB中,2,4AOBOBOA2222cosABOBOAOB OAAOB,即20 16 cosAB.1 分211sin22OAO BCBAABCSSSOA OBAB4sin8cos10OACBS.3 分当60 o 时，2 36OACBS“直接监测覆盖区域”
18、的面积:2 36.4 分（2）以O点为坐标原点,以 OA 方向为 x 轴正方向,以垂直于OA的正北方向为 y 轴正方向,建立直角坐标系如图:则0,0O,2cos,2sinB,4,0A，.5 分设点,C x y,由题意有:1ABACABACkk，.6 分即2222442cos4sin2sin14 2cos4xyyx 解得:42sin42cosxy，.8 分2242sin42cos36 16sin16cos36 16 2sin4OC.10 分当sin14，即34 时,OC 取得最大值:max|36 16 224 2OC，当34 时,使得最远直接监测距离最大为:4 22.12 分21.(本小题满分
19、12 分)（1）解：设 C 的方程为22221xyab(0)ab.数学试题参考答案第 5页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司由题设知223114ab.1 分因为F 的标准方程为221(3)4xy，所以 F 的坐标为(3,0)，半径12r.设左焦点为1F，则1F 的坐标为(3,0).2 分由椭圆定义，可得12|aAFAF222211 3(3)0(33)022 4由解得2,a 1b .所以 C 的方程为2214xy.4 分（2）由题设可知，M 在 C 外，N 在 C 内，P 在F 内，Q 在F 外，在直线 l 上的四点满足|,MPMNNP|NQPQNP.由2214(3
20、)xyyk x消去 y 得2222148 31240kxk xk因为直线 l 过椭圆 C 内的右焦点 F，所以该方程的判别式0 恒成立.设11,P x y22,Q xy由韦达定理，得21228 3,14kxxk212212414kx xk.6 分 221212|14PQkxxx x224441kk又因为F 的直径|1MN ,所以|(|)NQMPPQNPMNNP|PQMN|1PQ2341k.8 分(3)yk x可化为30kxyk.数学试题参考答案第 6页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司因为 l 与O 相切，所以O 的半径231kRk，所以2()S kR2231kk
21、.9 分所以2229(|)()411kNQMPS kkk2429451kkk22229911452 45kkkk.11 分当且仅当2214kk，即22k 时等号成立.因此，直线 l 的方程为2(3)2yx.12 分22.(本小题满分 12 分)(1)解：函数 的定义域为 0,+.1 分当=0 时，函数 =无零点，不合乎题意，所以，0，.2 分由 =ln=0 可得1=ln，构造函数 =ln，其中 0，所以，直线=1与函数 的图象有两个交点，=1ln2，由 =0 可得=e，列表如下：0,eee,+0 增极大值1e减所以，函数 的极大值为 e=1e，如下图所示：数学试题参考答案第 7页（共 7页）学
22、科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司且当 1 时，=ln 0，由图可知，当 0 1 e 时，直线=1与函数 的图象有两个交点，故实数的取值范围是 e,+.4 分(2)证明：因为e ln+=0，则e ln e=0，令=e 0，其中 0，则有 ln=0，=+1 e 0，所以，函数=e在 0,+上单调递增，.6 分因为方程e ln+=0 有两个实根1、2，令1=1e1，2=2e2，则关于的方程 ln=0 也有两个实根1、2，且1 2，要证e1+2 e212，即证1e1 e2 e2，即证12 e2，即证 ln1+ln2 2，.8 分由已知 1=ln12=ln2，所以，1 2=ln1 ln21+2=ln1+ln2，整理可得1+212=ln1+ln2ln1ln2，不妨设1 2 0，即证 ln1+ln2=1+212 ln12 2，即证 ln12 2 121+2=212112+1，.10 分令=12 1，即证 ln 2 1+1，其中 1，构造函数 =ln 2 1+1，其中 1，=1 4+1 2=1 2+1 2 0，所以，函数 在 1,+上单调递增，当 1 时，1=0，故原不等式成立.12 分
