1、湖湘名校教育联合体五市十校教研教改共同体2023届高三第二次大联考一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知A=y|y=ax(a0,a1)，B=x|x2x，则AB=()A. (0,+)B. (1,+)C. (,0)D. (,0)(1,+)2. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，则“=3”是“角的终边过点(1,3)”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数f(x)=exex+1x+3，若f(m)=2，则f(m)=A. 2B. 4C. 2D. 44. 高阶等差数
2、列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在详解九章算法.商功一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为()A. 464B. 465C. 466D. 4955. 已知实数a，b，c满足23a3b+1=0，3b+1=3c，a=c+log5(x2x+3)(xR)，则a，b，c的大小关系是()A. abcB. bcaC. cbaD. acb6. 已知cos
3、(2+)=2sin(4)，则sin2+2cos2+1=A. 54B. 74C. 7D. 77. 在平面直角坐标系中，已知点M(2,0)，N(1,0)，动点Q(x,y)满足|QM|=2|QN|，过点(3,1)的直线与动点Q的轨迹交于A，B两点，记点Q的轨迹的对称中心为C，则当ABC面积取最大值时，直线AB的方程是()A. y=x+4B. y=x+4C. y=2x+4D. y=2x+48. 已知菱形ABCD的边长为2，BAD=60，将BCD沿对角线BD翻折，使点C到点P处，且二面角ABDP的平面角的余弦值为13，则此时三棱锥PABD的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为()A. 223B. 823C
4、. 4D. 62二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 已知a，b，c，dR，则下列命题正确的有A. 若ab，则a3b3B. 若ab0，则a2abb，cd，则ln(a+c)ln(b+d)D. 若01a1b，则ba1，不等式f(ax)f(lnx2)恒成立，则正实数a的最小值为2eC. 若f(x)=t有两个零点x1，x2，则x1+x20D. 若f(x1)=g(x2)=t(t2)，且x2x10，则lntx2x1的最大值为1e三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数z满足z(1+i)=|1+i|，则z=14. 在ABC中，角A，B，C所对的边为a，
5、b，c，且a=2，b=3，c=4，则ABBC+BCCA+CAAB的值等于15. 已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率e2，直线y=x+1交双曲线于点M，N，O为坐标原点且OMON，则双曲线实轴长的最小值是16. 已知函数f(x)=1+xx22+x33x44+x20232023，g(x)=1x+x22x33+x44x20232023，设F(x)=f(x+5)g(x3)，且函数F(x)的零点均在区间a,b(ab，a，bZ)内，则ba的最小值为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)已知函数f(x)=2sinxco
6、sx+23cos2x3(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)当x0,2时，求函数f(x)的值域18. (本小题12.0分)已知二项式(2x212x)2n的展开式的各项系数和构成数列an.数列bn的首项b1=1，前n项和为Sn(Sn0)，且当n2时，有2Sn2=2bnSnbn(n2)(1)求an和Sn;(2)设数列(1)nanSn的前n项和为Tn，若(T2n+19)19对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围19. (本小题12.0分)如图，在四棱椎PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点(1)取PB的中点H，连接AH，若平面AHC
7、平面PAB，求证：PBAC;(2)已知AB=AC=1，AD=2，若直线AC与平面PBC所成角的正弦值为33，求平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值20. (本小题12.0分)如图，在RtABC中，A=2，AB=3，AC=4，D，E，F分别在线段AC，AB，BC上，且D为AC的中点，DEDF，设AED=(1)求sinDFC(用表示);(2)求DEF面积的最小值21. (本小题12.0分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F1的直线与椭圆交于点P，Q(点Q在点P的上方)(1)求证：直线AP，AQ的斜率乘积为定值;(2)过点P，Q分别作椭圆
8、的切线，设两切线交于点M，证明：MF1PQ22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=2lnxax2+bx(a,bR)(1)当b=0时，讨论f(x)的单调性;(2)设x1，x2为f(x)的两个不同零点，证明：当x(0,+)时，f(x1+x2)0，B=x|x1或x12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分、必要、充要条件的判断，涉及任意角的概念，属于基础题【解答】解：角的终边过点(1,3)等价条件为tan=3，由任意角定义知=3是tan=3的充分不必要条件，所以答案为A3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题【解答】解：由f(x)+f(x)=(exex+
9、1x+3)+(exex1x+3)=6，所以f(m)+f(m)=6，又f(m)=2，所以f(m)=4，答案为D4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等差数列的实际应用，属于基础题【解答】解：记第n层有an个球，则a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，结合高阶等差数列的概念知a2a1=2，a3a2=3，a4a3=4，anan1=n(n2)，则第30层的小球个数a30=(a30a29)+(a29a28)+(a2a1)+a1=30+29+28+2+1=4655.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用指对数性质比大小，属于基础题【解答】解：由23a3b+1=0知3ab=321，所以ab0，即a
10、b，由3b+1=3c知3c3b=10，所以cb，由a=c+log5(x2x+3)得ac=log5(x2x+3)=log5(x12)2+1140，所以ac，综上知acb，所以答案为D6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式和正余弦齐次式的计算，属于基础题.【解答】解：由cos(2+)=2sin(4)得sin=sincos，即有tan=12，则sin2+2cos2+1=2sincos+22cos2=sincos+sin2+cos2cos2=tan+tan2+1=747.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查与圆有关的轨迹方程，圆中的三角形面积最值问题，基本不等式和点到直线的距离，属于中档题
11、【解答】解：设Q(x,y)，由|QM|=2|QN|有(x2)2+y2=2(x+1)2+y2，化简得Q的轨迹方程为(x+2)2+y2=4，所以点C(2,0)，设点C到AB的距离为d，则|AB|=24d2，所以ABC的面积S=12|AB|d=4d2d4d2+d22=2，等号成立时d=2，即ABC面积最大时，点C(2,0)到直线AB的距离为2，故直线AB不垂直于x轴，设直线AB方程为y1=k(x+3)，即kxy+3k+1=0，则|k+1|k2+1=2，解得k=1，所以直线AB方程为y=x+48.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间几何体的体积计算，涉及二面角，属于中档题【解答】解：取BD的中点为
12、O，连接AO，PO，知cosAOP=13，在AOP中，由余项定理有PA2=PO2+AO22POAOcosAOP=8，所以PA=22，则有AB2+PB2=PA2，得PBA=90，同理得PDA=90，则三棱锥PABD的外接球球心O为PA的中点，外接球半径R=12PA=2，所以V外接球=43(2)3=823，又VPABD=13SPOABD=13(1233223)2=223，所以V外接球:VPABD=4，所以答案为C9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题.【解答】解：y=x3在R上单调递增,故ab,a3b2,B错误；ab,cd,故a+cb+d,但a+c可
13、能小于等于0,此时不等式无意义，C错误；01ab0,则bab+1a+1=ab+babaa(a+1)=baa(a+1)1，此时函数为y=tlnt，y=11t0，所以函数y=tlnt在(1,+)上是单调增函数，即g(ex)在(0,+)上是增函数，所以A项正确;B项中，x1时，lnx20，又a为正实数，所以ax0，又f(x)=ex10，所以f(x)单调递增，所以不等式等价于axlnx2对x1恒成立，即a(2lnxx)max，令(x)=2lnxx，知(x)=22lnxx2，所以(x)在(1,e)上递增，在(e,+)上递减，所以(x)max=(e)=2e，所以B项正确;C项中，易知f(x)=exx在(,
14、0)上递减，在(0,+)上递增，f(x)min=f(0)=1，所以t1，不妨设x1x2，则必有x100，则等价于x2x10，等价于f(x2)f(x1)，等价于f(x1)f(x1)，令F(x)=f(x)f(x)，x(,0)，F(x)=f(x)+f(x)=ex+ex20，即F(x)在(,0)上递增，所以F(x)F(0)=0，则x1(,0)时，f(x1)0不成立，即C错误;D项中，由f(x)=exx在(,0)上递减，在(0,+)上递增，g(x)在(0,1)上递减，在(1,+)上递增，易知f(x)=g(x)有唯一的解x0(0,1)，又f(1)=e1x11，由f(x1)=g(x2)，即ex1x1=x2l
15、nx2=elnx2lnx2，即有f(x1)=f(lnx2)，所以x1=lnx2，即ex1=x2，所以lntx2x1=lntex1x1=lntt，又t2，所以(lntx2x1)min=1e，所以D正确13.【答案】2222i【解析】【分析】本题主要考查复数的模及复数的除法运算，属于基础题【解答】解：|1+i|=2，z=21+i=21i2=2222i14.【答案】292【解析】【分析】本题考查了向量的数量积运算，余弦定理，属于基础题【解答】解：ABBC+BCCA+CAAB=accosBabcosCbccosA=12(a2+b2+c2)=29215.【答案】233【解析】【分析】本题考查了向量与双曲
16、线的综合问题，属于中档题【解答】解：联立y=x+1,x2a2y2b2=1,化简得(b2a2)x2+2a2xa2a2b2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=2a2b2a2，x1x2=a2a2b2b2a2，由OMON，则OMON=x1x2+y1y2=x1x2+(1x1)(1x2)=2x1x2(x1+x2)+1=0，即2a22a2b2b2a2+2a2b2a2+1=0，化简得b2=a212a2，e=ca=1+b2a2，e2=1+b2a2=1+a212a2a2=1+112a24，解得a33，所以实轴长最小值为23316.【答案】11【解析】【分析】本题主要考查利用导数求函数的零点问
17、题，属于中档题【解答】解：f(x)=1x+x2x3+x2022，则f(1)=10，当x1时，f(x)=1+x20231+x0，所以f(x)0，即f(x)在(,+)上单调递增，又f(0)=10，f(1)=111213120230，所以f(x)在(1,0)上有唯一的零点，g(x)=1+xx2+x2022，g(1)0，x1，g(x)=(1+x2023)1+x0，g(2)=12+22(1223)+24(1425)+22022(1202222023)0，得An为单调递增数列，即413【解析】本题考查了数列通项公式的求法和利用错位相减法求和，属于中档题19.【答案】解：(1)过B点作AH的垂线，垂足记为K
18、，BK平面HAC，由BK平面HAC知BKAC，又PA平面ABCD，PAAC，从而AC平面PAB，ACPB;(2)由AP平面ABCD，可得ACBP，又由ACBP，可得AC平面BAP，有ACAB，可知AB，AC，AP两两垂直，以A为坐标原点，向量AB，AD，AP方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设PA=(0)，则P(0,0,)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，故PB=(1,0,)，BC=(1,1,0)，设平面PBC的一个法向量为m=(x2,y2,z2)，则PBm=0,BCm=0,即x2z2=0,x2+y2=0,令x2=，则y2=，z2=1，故m=(,1)，易得平面ABCD的一个法向量为n
19、0=(0,0,1)，又AC=(0,1,0)，设直线AC与平面PBC所成角为，则sin=|cos|=22+1=33，解得=1，设平面PBC与平面ABCD的夹角为，则cos=|cos|=122+1，所以平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值为33【解析】本题主要考查线线垂直的判定，利用空间向量求解平面与平面的夹角，属于中档题20.【答案】解：(1)在直角三角形ABC中，A=2，AB=3，AC=4，所以BC=AB2+AC2=5，sinC=ABBC=35，cosC=ACBC=45，因为DEDF，所以FDC=，在DFC中，sinDFC=sin(FDCC)=sin(FDC+C)=sinFDCcosC+co
20、sFDCsinC=45sin+35cos;(2)在直角三角形ADE中，因为AD=2，所以DE=2sin在DFC中，因为DC=2，所以由正弦定理得，DCsinDFC=DFsinC，即DF=DCsinCsinDFC=64sin+3cos在直角三角形DEF中，SDEF=12DEDF=63sincos+4sin2=123sin24cos2+4=125sin(2)+4，其中tan=43，且(4,3)，又因为E在线段AB上，所以tan32，且(4,2)，故当2=2时，SDEF最小值为43【解析】本题考查了利用正弦定理解三角形，三角形面积，属于中档题21.【答案】解：(1)易知直线PQ的斜率不为0，设直线P
21、Q的方程为x=my1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由x=my1,x24+y23=1,消去y得(3m2+4)y26my9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93m2+4，又A(2,0)，所以kAPkAQ=y1x1+2y2x2+2=y1y2(my1+1)(my2+1)=y1y2m2y1y2+m(y1+y2)+1=93m2+49m23m2+4+6m23m2+4+1=94为定值，即证;(2)设P(x1,y1)处椭圆的切线方程为yy1=k(xx1)，由yy1=k(xx1),x24+y23=1,消去y得(3m2+4)y2+8k(y1kx1)x+4(y1kx1)212=0，=64k2(y
22、1kx1)24(3m2+4)4(y1kx1)212=0，解得k=3x14y1，所以P处的切线方程为x1x4+y1y3=1，同理可得Q处的切线方程为x2x4+y2y3=1，由x1x4+y1y3=1,x2x4+y2y3=1得xM=4(y2y1)x1y2x2y1=4(y2y1)(my11)y2(my21)y1=4，所以可设点M(4,t)，则有4x14+ty13=1,4x24+ty23=1,所以直线PQ的方程为x+ty3=1，知kPQ=3t，又kMF1=t4+1=t3，所以kPQkMF1=3t(t3)=1，所以MF1PQ，即证【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于较难题22.【答案】解：
23、(1)f(x)=2x2ax=2(1ax2)x，当a0时，f(x)在(0,+)上单调递增，当a0时，f(x)0，0x1a，f(x)1a，f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+)单调递减，综上所述，a0时f(x)在(0,+)上单调递增;a0时，函数f(x)的增区间为(0,1a)，减区间为(1a,+).(2)不妨设x2x10，由已知条件得2lnx1ax12+bx1=0,2lnx2ax22+bx2=02lnx1x2=a(x12x22)b(x1x2)，则a(x1+x2)2b(x1+x2)=2lnx1x2x1x2(x1+x2)=2lnx1x2(x1x2+1)(x1x21)，欲证：f(x1+x2)=
24、2ln(x1+x2)a(x1+x2)2+b(x1+x2)4sin(x1+x2)+2ex1+x22只需证：f(x1+x2)=2ln(x1+x2)a(x1+x2)2+b(x1+x2)4，令(x)=lnx2(x1)x+1，x(0,1).有(x)=1x4(x+1)2=(x1)2x(x+1)20，可知函数(x)单调递增，可得(x)(1)=0，故有lnx2即证：ln(x1+x2)ex1+x22，令m(x)=lnxx+1，求导证明：lnxx1lnxex2，原式2ln(x1+x2)a(x1+x2)2+b(x1+x2)4sin(x1+x2)+2ex1+x22成立【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造函数证明不等式，属于难题
