1、四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三数学三诊模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，集合，所以，故选D考点：集合的运算2. 下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,由于模长为2，不成立，对于B,由于模长为5，不成立，对于C，由于满足模长为1，成立，对于D，模长为，故选C考点：复数的几何意义点评：解决的关键是根据复数的几何意义来得到点的坐标，进而判定模长是否
2、为1即可，属于基础题3.命题“，”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：，为全称命题，故其否定为，故选：【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】 ,所以 ,选B.5.猜商品的价格游戏， 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲：主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，低了；低了；高了；高
3、了，依据零点存在定理可以判断出，此商品的价格应在与之间，故选C.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及零点存在定理的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“高了”，“低了”的理解和应用.6.“直线与互相垂直”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与互相垂直，则，解得或即“直线与互相垂直”是“”的必要不充分
4、条件故答案选7.设abc1，则下列不等式中不正确的是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数与指数式互化，对，变形即可判断【详解】令，则，即因为abc1，所以，所以logbclogac不正确故选D【点睛】本题主要考查了对数与指数式互化，还考查了指数运算，属于基础题8.对于平面、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据线线和线面与面面的平行与垂直的判定和性质判断即可.【详解】A. 根据线面垂直的垂直的判定定理可知,必须是相交直线,所以A错误.B. 根据直线和平面平行的判定定理可知,必须在平面
5、外,所以B错误.C. 根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所以C正确.D. 根据面面垂直的性质可知, 必须垂直于的交线才有.所以D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定与性质,需要根据题意找到满足的条件,属于基础题型.9.已知函数，则下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】对于函数，它的最小正周期为=，故排除A；令x=，求得f（x）=，故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除B；把函数图象向右平移个单位长度，可以
6、得到函数y=sin2（x）+=sin2x的图象，故C满足条件；在区间上，（，），函数f（x）单调递减，故排除D，故选C10.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）123456789A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】首先1、5、9颜色确定，有三种可能，于是2、6就只有两种可能如果2、6颜色相同的两种情况下，3就有4种可能若2、6颜色不同，则只有一种可能，加之2、6排列不同，2种于是右上角6种以此类推有3*6*6种可能11.函数为上的可导函数
7、，其导函数为，且，在中，则的形状为 A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状【详解】函数的导数，则，则，则，则，即，则，得，即，则，则，则，则，即是等腰钝角三角形，故选D【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键12.已知偶函数满足，且当时，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据的周期和对称性得出不等式在上的整数解的个数为3,
8、计算的值得出的范围.【详解】因为偶函数满足,所以,所以的周期为且的图象关于直线对称,由于上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,所以关于的不等式在上有3个整数解,当时,由,得,由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,因为,所以当时,所以当时,在上有4个整数解,不符合题意,所以,由可得或,显然在上无整数解,故而在上有3个整数解,分别为,所以,所以.故选:D【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮5
9、0次，X表示投进的次数，则_.【答案】【解析】【分析】根据二项分布方差计算公式计算出结果.【详解】由于满足二项分布，故.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查二项分布方差计算公式，属于基础题.14.已知实数，满足条件，则最大值为_【答案】【解析】【分析】先画出可行域，然后把zx+2y变形为直线，通过平移直线发现当这直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决【详解】画出可行域又zx+2y可变形为yx，所以当该直线经过点A时z取得最大值，联立得点A的坐标为（2，3），所以zmax2+238故答案为8【点评】本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，考查数形结合，确定最优解是关键，是中档题
10、15.化简： _.【答案】1【解析】原式)(.故答案为 【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16.已知四面体中，为等边三角形，且平面平面，则四面体外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，取的三等分点为，可证得为四面体外接球的球心，再结合长度关系可求得r,利用球的表面积公式即得解.【详解】取的中点，连接，取的三等分点为，使得，则为等边的中心.由于平面平面，且交线为，平面.而，所以为等腰直角三角形，且为的外心，所以，又，所以为四面体外接球的球心，其半径.故四面体外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了四面体的外接球的表面积，考查了学生空
11、间想象，综合分析，数学运算能力，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和试题解析：（1）设等差数列公差为，由题意得，解得 （2）由（1）得 18.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理
12、.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.【答案】（1）（2）分布列见解析；（元）；应加工17个，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分别讨论和两种情况，即可得出结果；（2）先由（1）计算出的可能取
13、值，结合题中条件，即可得出分布列，进而可求出期望与方差；根据题意求出的可能取值，得出期望，与比较大小，即可得出结论.【详解】（1）由题意，当时，利润；当时，利润；综上，当天的利润关于当天需求量的函数解析式为；（2）由（1）可得，当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以的分布列为：所以（元）；由题意，加工个蛋糕时，当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；的分布列如下：66078090010200.10.20.160.54则从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.【点睛】本题主要考查函数模型，以及离散型随机变量的分布列，期望与方差等，熟记离散型随
14、机变量分布列的概念，期望与方差的计算公式即可，属于常考题型.19.如图，在三棱台中，G，H分别为，上的点，平面平面，.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，得到平面，得到答案.（2）分别以，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，H为的中点.同理G为的中点，所以，因为，所以，又且，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以. 又，平面，所以平面，又平面
15、，所以平面平面（2），所以.分别以，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，因为，则，取，得.设平面的一个法向量为，因为，则，取，得.所以，则二面角的大小为【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可；（2）由（1）知的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域
16、为，.当，即时，函数在上单调递增. 当时，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当函数有最大值时，且最大值， 此时，即.令.故在上单调递增，且等价于，故a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数对含参函数的单调性进行讨论，以及利用导数求解不等式.属导数综合题.21.已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）（1）试求抛物线的方程；（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点直角三角形求证：直线恒过定点；过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线【答案】（1）；（2
17、）证明见解析；，是以为直径的圆（除去点.【解析】【分析】（1）设A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|OB|，可得2pxA2pxB，化简可得：点A，B关于x轴对称因此ABx轴，且AOx30可得yA2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出；（2）由题意可设直线PQ的方程为：xmy+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）与抛物线方程联立化为：y2mya0，利用PMQ90，可得0利用根与系数的关系可得m，或（m），进而得出结论；设N（x，y），根据MNNH，可得0，即可得出【详解】（1）解依题意，设，则由，得，即，因为，所以，故，则，关于轴对称，所以轴，且，所以.因为，所以，所以，故，故
18、抛物线的方程为.（2）证明 由题意可设直线的方程为，由，消去，得，故，.因为，所以.即.整理得，即，得，所以或.当，即时，直线的方程为，过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.解 设，则，即，得，即，即轨迹是以为直径的圆（除去点）.【点睛】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22.【选修4-4：极坐标与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方
19、程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）把曲线的极坐标方程化成，利用可得其直角坐标方程.（2）把直线的参数方程改写为，利用的几何意义求出的长度，再把直线的参数方程化为普通方程，计算到直线的距离后可计算的面积.详解：（1）因为，所以曲线的直角坐标方程为；（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，得，设两点对应的参数分别为，则，于是，直线的普通方程为，则原点到直线的距离，所以.点睛：极坐标方程转为直角坐标方程的关键是利用公式，必要时需要对极坐标方程变形使得方程中尽量出现.另外在计算弦长时注意利用直线的参数方程 （为直线的倾斜角，为参数）来简化计算，因为的几何意义是、之间的距离.23.已知为正数,且,证明:(1)；(2).【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）将a+b+c2平方，然后将基本不等式三式相加，进行证明；（2）由，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a+b+c2平方得:，由基本不等式知:，三式相加得:，则所以，当且仅当abc时等号成立(2)由，同理则，即当且仅当时等号成立【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.