1、2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质三维目标1知识与技能(1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用，掌握两个平面平行的性质定理及其应用(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”平行的转化，进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力2过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用3情感、态度与价值观(1)在推理和证明过程中，提高探究能力，逐渐养成严谨的科学态度(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，培养审美情趣(3)进一步渗透等价转化的思想重点难点重点：两个性质定理及其应用难点：两个性质定理的探索过程及应用重难点突破：以教材中的“思考”为切入点，引出直线和平面平
2、行的性质定理及平面和平面平行的性质定理接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出两个性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理最后可通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点教学建议 本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成相互统一的，故教学时，可采用引导发现法，采用以思导学的方式，从回顾两个判定定理出发，把探索两个性质定理的问题转移到线与线及线与面位置关系的问题上，然后教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通
3、过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明，最后通过典例训练使学生体会线与面之间的互化关系，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力教学流程创设问题情境，引出问题：如何判断线面平行与面面平行有哪些性质？课标解读1.理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义(重点)2.能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理(重点)3.能用直线与平面、平面与平面的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题(难点)直线与平面平行的性质【问题导思】1若直线l平面，则l平行于平面内的所有直线吗？【提示】不是2若a，过a与相交的平面有多少个？这些平面与的交线与直线a有什么关系？【提示】若a，则
4、过a且与相交的平面有无数个这些平面与的交线与直线a之间相互平行直线与平面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(2)符号语言：a，a，bab.(3)图形语言：如图所示图2213(4)作用：证明两直线平行平面与平面平行的性质【问题导思】观察长方体ABCDA1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？【提示】是的2若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则mn吗？【提示】不一定3过BC的平面交面A1B1C1D1于EF，EF与BC什么关系？【提示】平行平面与平面
5、平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(2)符号语言：，a，bab.(3)图形语言：如图所示(4)作用：证明两直线平行.图2214线面平行的性质定理的应用求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行【思路探究】先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解【自主解答】已知直线a，l，平面，满足l，a，a.求证：al.证明：如图所示，过a作平面交平面于b，a，ab.同样过a作平面交平面于c，a，ac.则bc.又b，c，b.又b，l，bl.又ab，al. 线面线线在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是
6、解决此类问题的关键若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行【解】已知：ab，a，b，l.求证：abl.证明：如图所示，ab，b，a，a，又a，l，al，又ab，abl.面面平行的性质定理的应用如图2215，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形ABCD所确定一个平面外，且AA、BB、CC、DD互相平行求证：四边形ABCD是平行四边形图2215【思路探究】先证平面AABB平面DDCC，再证ABCD，同理证明BCAD，进而证明ABCD为平行四边形【自主解答】在ABCD中，ABCD，AB平面CDDC，CD平面CDDC，AB平面CDDC.同理AA平面CDDC
7、.又AAABA，平面ABBA平面CDDC.平面ABCD平面ABBAAB，平面ABCD平面CDDCCD，ABCD.同理ADBC.四边形ABCD是平行四边形1利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交2面面平行线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化如图2216，已知，点P是平面、外的一点(不在与之间)，直线PB、PD分别与、相交于点A、B和C、D.(1)求证：ACBD；(2)已知PA4 cm，AB5 cm，PC3 cm，求PD的长图2216【解】(1)PB
8、PDP，直线PB和PD确定一个平面，则AC，BD.又，ACBD.(2)由(1)得ACBD，CD(cm)，PDPCCD(cm).平行关系的综合应用图2217如图2217，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点(1)求证：PQ平面DCC1D1.(2)求PQ的长(3)求证：EF平面BB1D1D.【思路探究】(1)或(2)利用PQD1C求解(3)或【自主解答】(1)证明：法一如图，连接AC、CD1.P、Q分别是AD1、AC的中点，PQCD1.又PQ平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1.法二取AD的中点G，连接PG、
9、GQ，则有PGDD1，GQDC，且PGGQG，平面PGQ平面DCC1D1.又PQ平面PGQ，PQ平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQD1Ca.(3)证明：法一取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1綊B1C1.又BE綊B1C1，BE綊FO1.四边形BEFO1为平行四边形，EFBO1，又EF平面BB1D1D，BO1平面BB1D1D，EF平面BB1D1D.法二取B1C1的中点E1，连接EE1、FE1，则有FE1B1D1，EE1BB1，且FE1EE1E1，平面EE1F平面BB1D1D.又EF平面EE1F，EF平面BB1D1D.1证明线面平行的三种常用方法：(1)定义法(2)线面平行的
10、判定(3)面面平行的性质2线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，其示意图为：直线与直线平行直线与平面平行平面与平平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质面平行如图2218所示，已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1、CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形图2218【证明】取D1D的中点G，连接EG，GC，E是A1A的中点，G是D1D的中点，EG綊AD.由正方体性质知AD綊BC，EG綊BC，四边形EGCB是平行四边形，EBGC.又G，F分别是D1D，C1C的中点，D1G綊FC，四边形D1GCF为平行四边形，D1FGC.由得EBD1F， E、B、F、D1四点共面
11、，四边形BED1F是平面四边形又平面ADD1A1平面BCC1B1，平面EBFD1平面ADD1A1ED1，平面EBFD1平面BCC1B1BF，ED1BF，由得，四边形BED1F是平行四边形因将平面几何中的结论直接应用到立体几何中致误如图2219所示，已知异面直线AB，CD都平行于平面，且AB，CD在的两侧，若AC，BD分别与相交于M，N两点，求证.图2219【错解】连接MN.因为ABCDMN，所以.【错因分析】错误的原因是在立体几何的证明中盲目地套用平面几何中的定理【防范措施】立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能使用平面几何知识解题【正解】如图所示，连接AD，交平面于点P，连接PM，PN.
12、因为CD，平面ACDPM，所以CDPM，所以在ACD中，有.同理，在DAB中，有，所以.1三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段1如果直线a平面，那么直线a与平面内的()A唯一一条直线不相交B仅两条相交直线不相交C仅一组平行直线不相交D任意一条直线都不相交【解析】根据直线和平面平行定义，易排除A、B.对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面内任意一条直线都不
13、相交，才能保证直线a与平面平行，D正确【答案】D2若平面平面，a，下列说法正确的是()a与内任一直线平行；a与内无数条直线平行；a与内任一直线不垂直；a与无公共点A B C D【解析】a，a，a与无公共点，正确；如图，在正方体中，令线段B1C1所在的直线为a，显然a与内无数条直线平行，故正确；又ABB1C1，故在内存在直线与a垂直，故错误【答案】B3已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是()A平行 B相交 C异面 D不确定【解析】根据面面平行的性质定理，A选项正确【答案】A4过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于
14、EE1.求证：BB1EE1.【证明】如图所示，CC1BB1，CC1平面BEE1B1(直线和平面平行的判定定理)又平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，CC1EE1(直线和平面平行的性质定理)由于CC1BB1，BB1EE1(平行公理)一、选择题1a，b，则a与b位置关系是()A平行B异面C相交 D平行或异面或相交【解析】如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交【答案】D2(2013郑州高一检测)已知直线l平面，P，那么过点P且平行于l的直线()A只有一条，不在平面内B只有一条，在平面内C有两条，不一定都在平面内D有无数条，不一定都在平面内【解析】如图所示
15、，l平面，P，直线l与点P确定一个平面，m，Pm，lm且m是惟一的【答案】B图22203(2013呼和浩特高一检测)如图2220，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则()AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能【解析】MN平面PAD，MN平面PAC，平面PAD平面PACPA，MNPA.【答案】B4(2013德州高一检测)设平面平面，A，B，C是AB的中点，当点A、B分别在平面，内运动时，所有的动点C()A不共面B当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、
16、B如何移动，其中点C到、的距离始终相等，故点C在到、距离相等且与两平面都平行的平面上【答案】D5过平面外的直线l，作一组平面与相交，如果所得的交线为a，b，c，则这些交线的位置关系为()A都平行B都相交且一定交于同一点C都相交但不一定交于同一点D都平行或交于同一点【解析】l，l或l与相交(1)若l，则由线面平行的性质可知la，lb，lc，a，b，c，这些交线都平行(2)若l与相交，不妨设lA，则Al，又由题意可知Aa，Ab，Ac，这些交线交于同一点A.综上可知D正确【答案】D二、填空题6过正方体ABCDA1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C
17、1的位置关系是_【解析】因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，由于正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知lA1C1.【答案】lA1C1图22217如图2221，四边形ABDC是梯形，ABCD，且AB平面，M是AC的中点，BD与平面交于点N，AB4，CD6，则MN_.【解析】因为AB平面，AB平面ABDC，平面ABDC平面MN，所以ABMN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，MN5.【答案】58如图2222，P是ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA、PB、PC于A、B、C，若PAAA23，则_.图
18、2222【解析】由平面平面ABC，得ABAB，BCBC，ACAC，由等角定理得ABCABC，BCABCA，CABCAB，从而ABCABC，PABPAB，()2()2.【答案】三、解答题图22239如图2223所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由【解】如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，MO，则截面MAC即为所求作的截面MO为D1DB的中位线，D1BMO.D1B平面MAC，MO平面MAC，D1B平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面10(2013嘉峪关高一检测)如图2224，平面平面，A，C，B，D
19、，点E，F分别在线段AB与CD上，且，求证：EF平面.图2224【证明】(1)若直线AB和CD共面，平面ABDC与，分别交于AC，BD两直线，ACBD.又，EFACBD，EF平面.(2)若AB与CD异面，连接BC并在BC上取一点G，使得，则在BAC中，EGAC，AC平面，EG，又，EG.同理可得：GFBD，而BD.GF，EGGFG，平面EGF.又EF平面EGF，EF.综合(1)(2)得EF.11(思维拓展题)如图2225所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD平面PBCl.图2225(1)求证：lBC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论【解】法
20、一(1)证明：因为BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为平面PBC平面PADl，所以BCl.(2)平行取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NEAM且NEAM.可知四边形AMNE为平行四边形所以MNAE，又因为MN平面APD，AE平面APD，所以MN平面APD.法二(1)证明：由ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.又因为平面PBC平面PADl，所以lADBC.(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQAD，NQPD，而MQNQQ，所以平面MNQ平面PAD.MN平面MNQ，所以MN平面PAD.如图，在正方体ABCDABCD中，点E在A
21、B上(靠近B处)，点F在BD上(靠近B处)，且BEBF.求证：EF平面BBCC.【思路探究】可根据线面平行的判定定理进行证明，也可利用面面平行的性质【自主解答】法一连接AF并延长交BC于M，连接BM.ADBC，AFDMFB.则.又BDBA，BFBE，DFAE.于是.因而EFBM.又BM平面BBCC，EF平面BBCC，EF平面BBCC.法二作FHAD交AB于H，连接HE.ADBC，FHBC.BC平面BBCC，FH平面BBCC，FH平面BBCC.由FHAD，可得，又BFBE，BDBA，.则EHBB.又BB平面BBCC，EH平面BBCC，EH平面BBCC.又EHFHH，且EH，FH平面FHE，平面F
22、HE平面BBCC.又EF平面FHE，EH平面BBCC.应用面面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化本题法一是利用线面平行的判定定理；法二是利用面面平行的性质，关键就是找到过直线EF与平面BBCC平行的平面如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过A1作与截面PBC1平行的截面，你能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积【解】能取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.因为A1NPC1MC且A1NPC1MC，所以四边形A1MCN是平行四边形又A1NPC1，A1MBP，A1NA1MA1，C1PPBP，平面A1MCN平面PBC1.过A1的截面是平行四边形，连接MN，作A1HMN于点H，A1MA1N，MN2，A1H.截面A1MCN的面积为2.
