1、数学试题 A 第 1页 共 4 页绝密启用前试卷类型：A2023 届高三年级第二次阶段测试数学命题审题：刘明俊 刘锋本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原
2、来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合4Mxx，31Nxx，则 MN A02xxB123xxC316xxD1163xx2已知数列na的通项公式为23nann，则“1”是“数列na为递增数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3在ABC 中，点 D 在边 AB 上，2BDDA，记
3、CA m，CD n，则CB A32mnB 23mnC32mnD 23mn4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148 5 m时，相应水面的面积为2140 0 km；水位为海拔157 5 m时，相应水面的面积为2180 0 km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148 5 m上升到157 5 m时，增加的水量约为(72.65)A931.0 10 mB931.2 10 mC931.4 10 mD931.6 10 m5已知函数 sin 2f xx满足 2ff 且 6f xf，Rx，则 fx 的单调递增区间是A,36kk
4、，Zk B,2kk，Zk C2,63kk，Zk D,2kk，Zk 数学试题 A 第 2页 共 4 页6已知过点(2,2)P的直线与圆225(1)xy相切，且与直线10axy 垂直，则 a A12B1C 2D 127正三棱锥 SABC的底面边长是 2，E，F，G，H 分别是 SA，SB，BC，AC 的中点，则四边形 EFGH 面积的取值范围是A0,B3,3 C3,6 D 1,2 8设函数 exf xxa，若曲线sinyx上存在00,xy使得00ffyy，则 a的取值范围是A1,eB1e1,1C1,e 1D1e1,e 1二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项
5、中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9下列结论中，所有正确的结论是A若0ab，0cd，则 acbdB若3x ，则函数13yxx的最大值为 1C若0 xy，234xyxy，则 2xy的最小值为23D若 x，y 0,，223xyxy，则 xy 的最大值为110记数列na的前 n 项和为nS，若23a，12nnSSn，则A1nnaS B1na 是等比数列C2nnSaD2 nnS是单调递增数列11已知圆 M：22680 xyxy，则A圆 M 关于直线10 xy 对称B圆 M 被直线30 xy截得的弦长为 2 17C圆 M 关于直线10 xy 对称的圆
6、为2210440 xyxyD若点(,)P a b 在圆 M 上，则22(3)(4)ab的最小值为512已知函数()1xf x=x，下面结论正确的是A fx 的图象关于直线0 x 对称B()f x 的值域为1,1C若 2340f afa，则 a 的取值范围是(4,1)D若对任意1x，2Rx，且12xx，对任意0,1，存在012,xxx，使得0121f xf xf x成立数学试题 A 第 3页 共 4 页三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设复数 z 满足23iz ，则 z 的模为_14如图所示，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 P
7、C上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD 平面 PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)15已知，为锐角，且11sin14，1cos7，则cos _16九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在鳖臑 PABC中，PA 平面 ABC.已知6AB，8CB，10PAAC，请写出平面 PBC 的直角：_；若 P，A，B，C 都在球O的球面上，则球O的表面积为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别 a，b，c，且232coscossinsincos25ABBABBAC（
8、1）求cos A的值；（2）若4 2a，5b，记BCeBC，求向量 BA在 BC方向上的投影向量.(用 e表示)数学试题 A 第 4页 共 4 页18(12 分)设 na为各项均不相等的数列，nS 为它的前 n 项和，满足11nnnaS (*Nn).（1）若11a ，且1a，2a，3a 成等差数列，求 的值；（2）若 na的各项均不为零，问当且仅当 为何值时，2a，3a，4a，na，成等差数列？试说明理由19(12 分)如图，长方体1111ABCDA B C D中，2ADAB，11AA ，E 为11D C 的中点（1）在图中画出平面1ABD 与平面1B EC 的交线(不必说明画法和理由)；（2
9、）证明：1BD/平面1B EC；（3）求平面1ABD 与平面1B EC 夹角的余弦值20(12 分)已知函数 331fxaxx（1）1a 时，判断函数()f x 的零点个数；（2）若()0f x 对任意 1,1x 恒成立，求 a 的值21(12 分)已知圆心在 x 轴上的圆C 过点0,0 和1,1（1）求圆C 的方程（2）由圆 D：2244xy上的动点 P 向圆C 作两条切线分别交 y 轴于 A，B 两点，求 AB 的取值范围22(12 分)已知函数 1lnf xaxxx（1）讨论 fx 的单调性；（2）证明：222111ln11122nnn，*Nn第 1页 共 8 页2023 届高三年级第二
10、次阶段测试 数学 试卷解析一、单项选择题：题号12345678答案DCBCCCBA二、多项选择题：题号9101112答案ACDACDBCDBCD三、填空题:13214 DMPC(或 BMPC等)15 39 39816.PBC(或CBP)；200四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别 a，b，c，且232coscossinsincos25ABBABBAC（1）求cos A的值；（2）若4 2a，5b，记BCeBC，求向量 BA在 BC方向上的投影向量.(用 e表示)解：（1）由53)cos(si
11、n)sin(cos2cos22CABBABBA得53cossin)sin(cos1)cos(BBBABBA即53sin)sin(cos)cos(BBABBA则53)cos(BBA即53cosA（2）由53cosA，A0得，54sinA由正弦定理，有 sinsinabAB，第 2页 共 8 页所以Bsinsin22bAa由题知ba，则BA，故4B.根据余弦定理，有)53(525)24(222cc解得1c或7c(舍去)所以向量 BA在 BC方向上的投影为22cosBBA.故向量 BA在 BC方向上的投影向量为2cos2BAB ee.18(12 分)设 na为各项均不相等的数列，nS 为它的前 n
12、项和，满足11nnnaS (*Nn).（1）若11a ，且1a，2a，3a 成等差数列，求 的值；（2）若 na的各项均不为零，问当且仅当 为何值时，2a，3a，4a，na，成等差数列？试说明理由解：（1）令1n ，有211112aSa ，所以0 且22a.令2n，有3212121()12(1)aSaa ，所以321a.由123,aaa 成等差数列得2132aaa，即2411，解得352，故 的值为 352.（2）2n 时，1(1)1nnnaS，所以1(1)nnnnanaa，即1(1)nnnana .由题意知，0，所以11,2nnnaann.假设234,naaaa 成等差数列，则234,aaa
13、 成等差数列，即3242aaa.又3243222121211(21)(1),23326aaaaaa，所以22221(21)(1)2 26aaa，由 na的各项均不为零知20a，则21(21)(1)16，解得1 或12.当1 时，12,2naan 与 na中的各项均不相等矛盾，故舍去.当12 时，111122,212nnnnnaaannn，即1,21nnaannn.第 3页 共 8 页所以，3n 时，1212nnaaann ，所以3n 时，22nnaa.(也可用累乘法求通项)又2n 时，22aa满足上式，所以2,22nnaan.所以2n 时，122211222nnnnaaaaa(与 n 无关的常
14、数)，即234,naaaa 成等差数列.故当且仅当12 时，234,naaaa成等差数列.19(12 分)如图，长方体1111ABCDA B C D中，2ADAB，11AA ，E 为11D C 的中点（1）在图中画出平面1ABD 与平面1B EC 的交线(不必说明画法和理由)；（2）证明：1BD/平面1B EC；（3）求平面1ABD 与平面1B EC 夹角的余弦值解：（1）连1BC，记11BCB CF，连 EF，则 EF，即为平面1ABD 与平面1B EC 的交线，如图所示.（2）在矩形11BCC B 中，F 为1BC 中点，又 E 为11D C 中点，所以1/EFBD，1BD 平面1B EC
15、，EF 平面1B EC，故1BD/平面1B EC.（3）在长方体1111ABCDA B C D中，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，1DD为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则2,0,0A，2,2,0B，1 0,0,1D，1 2,2,1B，0,1,1E，0,2,0C.设平面1ABD 的法向量,mx y z，则 mAB，且1mAD，所以第 4页 共 8 页020yxz，取1x，得平面1ABD 的一个法向量1,0,2m.设平面1B EC 的法向量111,nxyz，则1nCB，且nCE，所以1111200 xzyz，取11x，得平面1B EC 的一个法向量1,2,2n.记平
16、面1ABD 与平面1B EC 的夹角为，则1 045coscos,514 144m nm nm n .所以平面1ABD 与平面1B EC 夹角的余弦值为55.20(12 分)已知函数 331fxaxx（1）1a 时，判断函数()f x 的零点个数；（2）若()0f x 对任意 1,1x 恒成立，求 a 的值解：（1）1a 时，331fxxx，求导得 233fxx.令 0fx 得1x 或1x.当 x 变化时，fx，fx 变化情况列表如下：x,1 11,111,fx00 fx极大值极小值 130f xf极大，110f xf 极小.又当 x 时，f x ，且当 x 时，f x .所以由函数的零点存在
17、定理知，()f x 有3个不同的零点.（2）当0 x 时，Ra；当0 x 时，()0f x 331axx32113axx，01x；当0 x 时，()0f x 331axx32113axx，10 x.记 323g xxx，下面只需求 g x 在1,)的最大值和(,1 的最小值.第 5页 共 8 页 23632gxxxx x ，令 0gx 得0 x 或2x.当 x 变化时，gx，g x 变化情况列表如下：x,000,222,gx00 g x极小值极大值所以当1x 时，max24g xg xg极大值，当1x 时，min14g xg.所以32113axx，01x4a，32113axx，10 x 4a.
18、综上所述，4a.21(12 分)已知圆心在 x 轴上的圆C 过点0,0 和1,1（1）求圆C 的方程（2）由圆 D：2244xy上的动点 P 向圆C 作两条切线分别交 y 轴于 A，B 两点，求 AB 的取值范围解：（1）方法一：设圆C 的方程为：222xayr0r，因为圆C 过点0,0 和1,1，所以22222,11.arar 解得1a ，1r 所以圆C 的方程为2211xy方法二：设0,0O，1,1A，依题意得，圆C 的圆心为线段OA的垂直平分线l 与 x 轴的交点C 因为直线l 的方程为1122yx，即1yx，所以圆心C 的坐标为1,0所以圆C 的方程为2211xy（2）方法一：设圆 D
19、 上的动点 P 的坐标为00,xy，则220044xy，即2200440yx，解得026x由圆C 与圆 D 的方程可知，过点 P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在，第 6页 共 8 页设 PA 的方程为：010yykxx，则点 A 的坐标为0100,yk x，同理可得点 B 的坐标为0200,yk x，所以120ABkk x，因为 PA，PB 是圆C 的切线，所以1k，2k 满足00211kykxk，即1k，2k是 方 程 2220000022110 xxkyxky 的 两 根，即0012200201220021,21.2yxkkxxyk kxx所以120ABkk x2200002200004
20、12122yyxxxxxx.因为220044yx，所以020562 22xABx设0020562xfxx，则00305222xfxx由026x，可知0f x在222,5上是增函数，在 22,65上是减函数，所以0max2225564fxf，min01 31min2,6min,4 84fxff，所以 AB 的取值范围为5 22,4方法二：设圆 D 上的动点 P 的坐标为00,xy，则220044xy，即2200440yx，解得026x设点0,Aa，0,Bb，则直线 PA：00yayaxx，即0000ya xx yax，因为直线 PA 与圆C 相切，所以0022001ayaxyax，化简得2000
21、220 xay ax同理得2000220 xby bx，由知 a，b 为方程2000220 xxy xx的两根，即00002,2.2yabxxabx 所以24ABababab200002422yxxx2000204422yxxx因为220044yx，所以020562 22xABx2001652 222xx第 7页 共 8 页令012tx，因为026x，所以 1184t 所以22 2165ABtt25252 2163264t，当532t 时，max5 24AB，当14t 时，min2AB所以 AB 的取值范围为5 22,422(12 分)已知函数 1lnf xaxxx（1）讨论 fx 的单调性；
22、（2）证明：222111ln11122nnn，*Nn解：（1）由题意知，fx 的定义域为0,.2221111xaxfxa xxx ，0 x.()当0a 时，0fx，0 x，此时 fx 在0,单调递减；()当0a 时，24a.当02a时，0，0fx，0 x，此时 fx 在0,单调递减；当2a 时，0，令 0fx，得12ax，22ax.当 x 变化时，fx，fx 变化情况列表如下：x10,x1x12,xx2x2,x fx00 fx极大值极小值综上所述，当2a 时，fx 在0,单调递减；当2a 时，fx 在10,x，2,x 单调递减，在12,xx单调递增.（2）由（1）知，当2a 时，fx 在0,单调递减，此时 10f xf，即12ln0 xxx，1x，故12ln xxx，1x.第 8页 共 8 页下证211ln nnnn，*Nn.因为211111nnnnnnn nnn，11ln2lnnnnn，用1nn替换 x 得21111ln2ln1nnnnnnnnnn，*Nn.故222231111lnlnln121122nnnn，整理得222111ln11122nnn，*Nn
