1、 1对有理数乘法法则的教学思考 珠海市斗门区城东中学 卢群兴 【摘要】要提高学生运算能力，运算法则的理解是关键。然而，学生在有理数乘法法则的理解上，多数是一知半解；在做乘法运算时，机械地套用法则，运算缺乏准确性和灵活性。研究表明，“教材对有理数乘法法则教学内容的处理”和“教师对有理数乘法法则教学处理的认识”是影响学生对有理数乘法法则理解的主要原因。本文通过对教材的教学处理的研究和思考，提出了“线性”和“约定”两种教学处理方式，来解决有理数乘法法则的教学困难。【关键词】教学处理；教学研究；教学思考；线性；约定 曾经看到一个案例：在学习有理数的乘法运算时，一位学生通过计算，得到（3）（4）=9 的
2、结论。这个结果显然是错误的。教师不假思索就否定了这个学生的结果，并批评这个学生计算不用心【1】。这是一位负责任的教师，课后他与这位同学进行了交谈，了解到学生的思考方法：在数轴上的3 这个数开始，以 3 为单位，向数轴负方向的反方向（即正方向）数 4 个单位，刚好数到+9 的位置。显然，学生的思考是有道理的，学生已懂得借助数轴解释有理数乘法运算法则的思考方法。然而，学生对利用数轴判断时的理解出现了一点偏差，忽略了题目中的条件：以原点为起点。其实，这种错误的现象在教学中不止这一种。例如：在数轴上，从原点出发，反方向移动 4 次，每次移动 3 格，恰好到12 的地方，故得（3）（4）=12。我想，这
3、些错误现象，教师肯定归咎于学生粗心，没把题目看清。其实，我们进行深层分析就知道，错误不在学生，而是在教师对教材处理的认识上，就如学生提出的疑问：“在解释加法运算时，是从数值所在位置开始的。但在解释乘法运算时，为什么就必须从 0 的位置开始呢？如果从 0的位置开始、与数值所在的具体位置无关，那么用数轴解释还有什么意义呢？”遇到这样的问题，那我们该如何给学生作出合理有力的解释？2一.对有理数乘法法则教学处理的研究 对有理数乘法法则的教学处理，主要有两种方式：一种是“匀速直线运动状况分析”，另一种是“从正数正数出发的归纳推理”【2】。在现行的教材中，主要有两种版本教材：“数轴版”和“推理版”。1.“
4、数轴版”指的是借助数轴进行“匀速直线运动状况分析”的教学处理方式。在现行的教材中，这种版本主要包括新课标人教版（2007 年版）、新课标浙教版和新课标华师版。它们的共同特点是从情境引出“直线变化”的问题，接着引导学生借助数轴理解运算过程和结果，最后通过观察算式，归纳出有理数乘法法则。例如新课标人教版（2007 年版）：从具体背景引出，一只蜗牛沿直线 l 爬行，它现在的位置恰好在直线 l 的点O 上。如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分后它在什么位置？如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分后它在什么位置？如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分前它在什么位置？
5、如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分前它在什么位置？为区分方向，我们规定：向左为负，向右为正，为区分时间，我们规定：现在前为负，现在后为正【3】。（接着利用数轴引导学生列出等式，并引导学生观察思考，利用填空的形式得到有理数乘法四种情况的结果正负性以及乘积与各数绝值的关系，最后归纳出有理数乘法法则。）2.“推理版”指的是从正数正数出发的归纳推理的教学处理方式。在现行的教材中，这种版本主要包括新课标人教版（2012 年版）和新课标北师大版。它们的共同特点是从“正数正数”这个特例出发，借助一连串的问题，引导学生通过观察、对比、分析、讨论、归纳等思维活动得出有理数乘法法则。例如新课标人教
6、版（2012 年版）：问题：与加法类似，引入负数后，将出现 3（3），（3）3，（3）（3）这样的乘法。该怎样进行这一类的运算呢？思考：观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？333=9，32=6，31=3，30=0.总结规律：随着后一乘数逐次递减 1，积逐次递减 3。要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：3（3）=3，3（2）=_，3（1）=_【4】.（接着用同样的方式处理“负数正数”，归纳出“正正得正”和“负正得负”的运算法则；然后以思考的方式让学生根据结论得出“正数负数”和“负数负数”两种类型都具有“随着后一乘数逐次递减 1，积逐次递减 3”的规律，最后总结有理数乘法法则。）然而，
7、两种版本对有理数乘法法则的教学处理在实际的教学过程中，都存在不同程度的困惑：第一种版本教学方式的本质是一个用有理数知识建立模型解决实际问题的过程，尽管引入比较直观形象，教学编排也注意了有理数乘法法则的来龙去脉，强调了法则的应用，相对而言学生比较容易接受，但问题情景涉及的因素太多，问题较复杂，对抽象思维能力的要求较高，学生的思维经受着严竣挑战，反而对学习造成干扰；第二种版本教学方式是一个用有理数知识培养合情推理的过程，尽管这些问题串能激发学生的求知欲和学生参与学习活动的积极性，发展了合情推理能力，但要求学生的合情推理能力较高，知识的由来“权威性”较大，说服力不够，对有理数乘法法则的认识也不够直观
8、和感性。二.对有理数乘法法则教学处理的思考 数学是一门系统性很强的学科，知识间的内在联系十分紧密，任何新知识都有它的发生、形成和发展过程。教学中，如果压缩掉这种过程，就知识教知识，那么学生只能得到零散的、孤立的知识，只知其然，而不知其所以然；只能是知识的积累，而不能使学生原有的知识结构得到扩充和改造。针对现行教材对有理数乘法法则教学处理的不足，结合自己的教学实践，提出两种较为合理、有效的教学处理方式。1.“线性”的教学处理方式 有理数乘法法则的实质是“先定性，再定量”，也就是说在做有理数乘法运算时，先确定结果的正负性，再确定两数绝对值相乘的总值。若是在“匀速直线运动状况分析”的教学方式中，就是
9、先确定运动方向，再确定运动距离。所以，4在现行的教材中，我认为“数轴版”对有理数乘法法则的教学处理最为确切，但由于在情境问题的设计上规定太多，追求过于严谨，从而影响学习效果。因此，我在教学实践中，将“数轴版”的教学处理稍作改良，形成了“线性”的教学处理方式。我设计是这样的：问题情境 一只蜗牛沿一条东西方向的直线 l 爬行:如果蜗牛向东爬行，每分钟前进 2cm，3 分钟后它在原来的哪个方向，有多远？如果蜗牛向东爬行，每分钟前进2cm，3 分钟后它在原来的哪个方向，有多远？如果蜗牛向东爬行，每分钟前进 2cm，3 分钟前它在原来的哪个方向，有多远？如果蜗牛向东爬行，每分钟前进2cm，3 分钟前它在
10、原来的哪个方向，有多远？若规定 3 分钟后表示+3，你能借助数轴，表示它们的运动过程吗？其他的环节，就按新课标人教版（2007 版）的教学处理进行。这样的设计，将问题的复杂性大大降低，教学规定只有一个，学生比较容易区分；结合“正负数具有相反意义”的知识，使前后知识的联系密切，体现数学是一门系统性很强的学科特点。借助思维定势的积极因素，解决了一些繁琐的规定，虽不够严谨，但对学生来说，学习的内容是简单的，有趣的，直观的，理解法则也是容易的。2.“约定”的教学处理方式 乘法，指的是几个相同的数的加法运算。记得在小学学习乘法运算时，我的数学老师是这样教我的：首先让我们把乘法运算转化为加法运算，当乘法运
11、算熟练到一定程度，就让我们从乘法口诀中直接说出结果。所以，我对小学的乘法“法则”特别理解。然而，到了初中，这种教学处理就不用了。其实，有理数的乘法，还是可以看作几个相同的数进行加法运算的，关键是乘数是负数时，我们该如何转化成乘法意义进行运算。从这个角度思考，我们可以设计一个教学约定，将有理数乘法运算都统一为“相同几个数的加法运算”来考虑，这样就可以利用学生原有的知识水平，对新知进行同化，使得原有的知识结构得到扩充，认知体系得 5到完善。从这个角度上考虑，我在有理数乘法法则教学的处理时，做了“约定”教学的尝试，收到了显著的教学效果。我的“约定”教学设计是这样的：（1）思考：乘法运算与加法运算有什
12、么关系？你能利用 23 进行解释吗？根据乘法与加法的关系，你能将式子（2）3 化成加法的形式吗？根据乘法与加法的关系，你能将式子 2（3）化成加法的形式吗？教学约定：做乘法时，当乘数为负数，我们把乘法运算看作是几个被乘数的减法运算【5】。例如：2（3）=222=6。根据上面的教学约定，你能将式子（2）（3）化成减法的形式吗？（2）根据乘法意义和教学约定，填空：33=_；（3）3=_；3（3）=_；(3)（3）=_.（3）观察上面的式子，猜想：正数乘以正数积为_数；负数乘以正数积为_数；正数乘以负数积为_数；负数乘以负数积为_数；归纳有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
13、这样的设计，降低了学习的难度，加大了知识间的联系，使学生的认知水平在原来的基础上进一步扩充和完善；同时突出了增加负数后，乘法运算与小学学习是有区别，需要考虑两种情况，结果是要从两个角度去思考的。也许这种教学处理不够准确，也许不够严谨，但它没有复杂的背景，不需反复对比和场景转换，利用思维定势的积极因素，顺其自然地形成知识，同时这种处理对整个知识体系起到一个连贯的作用。有理数乘法法则的教学处理，一直是备受关注的，特别是“负负得正”的教学是“世界性难题”【6】。因此，在有理数乘法法则的教学中，我们需要做的就是根据学生原有的知识基础，结合课程标准的理念，设计合理的教学情境，让学生自然流畅的感知“负负得
14、正”，理解有理数乘法法则。【参考文献】6 1董林伟，倾听学生的思考：例谈运算能力及其培养途径J，数学通报，2009 年第 9 期.2义务教育教科书教师教学用书，数学，七年级上册S，人民教育出版社，2012 年 8 月.3义务教育课程标准实验教科书，数学，七年级上册S，人民教育出版社，2007 年 3 月.4义务教育教科书，数学，七年级，上册S，人民教育出版社，2012 年 5月.5卞少云，“负负得正”，为何总是遭遇尴尬对有理数乘法法则教学设计的反思与改进J，中学数学杂志（初中版），2010 年第一期.6义务教育教科书教师教学用书，数学，七年级上册S，人民教育出版，2012 年 8 月.用切合生
15、活的数学之火燃点学生学习数学的激情 珠海实验中学 梁洪源 摘要：中学数学，一门与生活息息相关而又十分实用，充满美感与魅力的学科。由于过往不少教材内容的设计和编写过于理论化，且与现实生活严重脱节，让不少学生，甚至家长都在质疑学习数学的意义与作用，这一切无不让数学教师们感到“挫伤”。本文试从创设切合生活的教学情景，引导学生学习运用数学知识解决现实生活中各类问题，让他们感受数学的力量，发现数学魅力之光，从而激发他们学习数学和应用数学的热情。关键词：中学数学 切合生活 教学情景 解决实际问题 中学数学，牵动着无数学生、家长和教师的心！不少中学生认为数学只是一大堆冷冰冰的数字与字母，图形与公式，让他们望
16、而生畏；部分家长也认为，中学数学只是一门枯燥难学而毫无实际应用价值的学科，正不断质疑学习中学数学的意义与作用，甚至渐闻“小学数学就完全足够应付日常生活了，中学以上的数学毫无用处”等言论。他们的误解，是因为他们还没体会到中学数学与生活息息相关，还没感受到中学数学在解决实际困难中的神奇力量。要消除他们的误解，唯一的方法就是：7让中学数学更切合生活！陶行知先生曾说“教育只有通过生活才能产生作用并真正成为教育。”因此，我们可根据教学目标与内容，大胆取舍和重新整合教材，“因地制宜”甚至“就地取材”，创设与学生日常生活更为贴近的生活情景，让学生在“身临其境”中，真切体会到数学解决实际问题的力量与乐趣，从而
17、激发他们学习和应用数学的热情。那么，如何创设切合生活的情景呢？我们得先了解什么是“生活”？广义上的“生活”是指人们的各种活动，包括日常的行动、工作、休闲、社交等；大体上可划为三类，即“社会生活”、“职业生活”、“家庭生活”。一、创设社会生活情景，让中学数学更切合生活。“社会生活”是指人们衣、食、住、行的日常生活，以及政治宗教、文化艺术生活等。目前不少商家都乐于搞“折扣促销”活动，其实这就为我们引导学生学习“解一元一次方程”，提供了熟悉而直观的社会生活情景。“商品 5 折促销，商家能赚钱么？”一个简单的质疑就能激发学生对问题的探究与解决的热情。再如，在“统计与概率”教学内容中，我们可模仿电视台举
18、办的“竞猜隐藏在门后面的汽车”的“三扇门”游戏，设计出“三个纸箱游戏”。让学生如同身处电视台综艺节目中，快乐而热烈地参与着竞猜游戏，并用表格形式逐一记下汽车模型在不同纸箱出现的次序及次数；然后再进行小组合作探究，让他们自行尝试总结归纳简单的统计方法和计算简单事件概率的方法。如此贴近生活的数学应用，不但把复杂的理论简单化，而且能让学生在体会到“数学源于生活，又应用于生活”的同时，更感受到学习数学的乐趣。并通过其成功运用数学知识，解决实际生活问题的体验，增强了他们学习数学和运用数学的信心。二、创设职业生活情景，让中学数学更切合生活。“职业生活”是指人们从事不同职业的工作活动。每个青少年都有自己的梦
19、想，当中也不乏“老板梦”者。那么，我们可以创设这样的职业生活情景。在教学“一元一次不等式”时，我们可设计一个这样的问题：某公司生产的产品每件单价是 70 元，直接生产成本是 50 元，该工厂每月其他开支是 80000 元，如果该公司计划每月至少获得 300000 元的利润，假定生 8产的全部产品都能卖出（产量=销量），请问每月的产量得是多少？巨额的利润吸引着无数人为之拼搏，同样，如此有趣的中学数学也可以吸引学生为之勤奋学习并刻苦钻研。以上是为一个未来的“工厂老板”设计的实用数学题，那么对于未来的“农业巨头”呢？我们也可以设计出这样的情景：假设某学生承包了一块山坡地进行经济作物种植，现在要购买一
20、台扬水泵以实现全园浇灌，目前从剖面图看到，已知斜坡与水平面所成的A 可用测角器测出，水管 AB 的长度也可直接量得，当水管辅到 B（坡顶）处时，如何测得 BC（即 B 处离水平面）的高度？才能买到一台合用的扬水泵？这就很自然地引导学生学习运用“解直角三角形”知识去解决了：BC=ABsinA(AB、A 均已知)。如此种种看似难以解决的实际问题，通过中学数学的学习与应用，不就毫不费劲地立马“迎刃而解”了？三、创设家庭生活情景，让中学数学更切合生活。“家庭生活”包括人们的休闲生活及个人生活等。随着居民收入的不断提高，人们十分重视“物质生活水平”的改善。在教授“中心对称和中心对称图形”时，我们可以运用
21、多媒体创设一个家居布置情景：色彩鲜艳的圆形、平行四边形等图形的灯具，或是优美绚丽的对称图案，或是高贵典雅的家具等，然后再以闪亮的圆点及闪亮色块显现出对称中心和对称面，让学生直观形象掌握了中心对称图形的特点，并通过小组合作探究的方式，自行归纳出“中心对称和中心对称图形”的定理及逆定理。生活水平的改善，人们除了对“物质生活水平”的要求不断提高外，更日益重视“精神生活”的追求，旅游也成为人们主要的休闲方式之一。那么，我们可以创设一个旅游情景：从甲地（住处）到乙地（景点）有 A、B 两条公路相通；通常情况下，由甲地去乙地我们都会选择最短的一条路 A；但一到节假，A 那条路太拥挤，若需在约定时间内由甲地
22、赶到乙地，我们就得选择另外的一条路 B。在这个探究学习中，让学生们学会了“时间、路程与速度”之间的正反比关系。因此，只要我们稍稍留心，我们就可以发现“生活处处有数学”。心理学研究表明：学习内容与学生熟悉的生活越贴近，学生自觉接纳知识的程度就越高。因此，我们在开展数学教学活动中，可以通过精心创设切合学生日 9常生活的教学情景，有机地与教学目标和内容相结合，引导学生学习和运用数学知识与方法，不断地成功解决现实生活中各类问题，让他们在获得成功愉悦的同时，感受数学的力量，发现数学的魅力，从而激发他们学习数学和应用数学的热情，并以此激励学生探索数学奥秘之路。论文题目 知己知彼，百战不殆中考试题特点及有效
23、复习的措施 作者单位 珠海市实验中学 姓 名 徐 磊 论文内容摘要（200 字以内）作为兼有学业水平考试和升学考试性质的中考，其试题客观上也承载了对初中数学教学的导向功能。而初三复习是初中教育普遍存在的一种应试现象，存在许多问题。从学习心理学的角度来看，科学的复习方法对深化理解知识理解、思想方法、完善认知结构、训练思维能力等是有益的。但不当的复习方法会加重学生负担、浪费学习时间、降低复习效率。正所谓知己知彼百战不殆，本文首先分析了中考数学试题的特点，然后提出了一些有效复习的措施，不当之处，请予以斧正。关键词：中考试题 特点 有效复习 措施 一、中考试题特点 纵观近几年广东省的中考数学试卷，不论
24、从试卷的结构、考察的的内容，还是试题本身的效度、信度等方面都较好的体现了中考的性质。具体地说，试题的 10内容关注数学的基本核心内容与教学基本能力，关注学生的数学素养，重视学生数学思想和数学方法的考察，题目的呈现形式与情景设计不断创新和发展。具体来说有如下特点：1、重视基础知识 近几年中考试卷整体体现了“考查基础知识”的命题指导思想，试题设置上特别重视对基础知识的考查，且占很大比重.试卷的起点题以及每种题型的起点题都属基础知识,只要学生掌握了基本概念、基本性质或基本运算就可得到答案；解答题对学生的能力要求也仅局限在数学中基本性质的应用；概率概念及计算的基本考查，题目内容涉及都是学生非常熟悉的，
25、容易上手，运算也非常简单.这样的命题思想，既能保持数学考试中的稳定性和连续性，又能引导好初中数学教学的良性发展 2、重视数学应用，情景贴近学生生活实际 数学来源于社会生活实际，又应用于指导实践活动数学教学能促使学生用数学的眼光认识世界，并用数学知识和数学方法解决具有实际意义的问题，近几年中考试卷中加强了对应用性问题的考查力度，这种做法有利于引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学，培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力，促进学生形成学数学、用数学、做数学的意识 3、注重考察了学生动手操作能力 4、重视了数学思想和数学方法的考察 注重考查学生必要函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、数
26、学建模思想、数学类比思想等。5、重视综合运用，合理体现选拔功能 新课标要求教师提高课堂教学的质量，在培养学生的数学素养、提高学生的数学能力上下功夫；应从数学应用、探究的角度，对数学知识、数学能力、数学理解和运用等方面加以引导和培养，使学生逐步发现和提出问题、分析和解决问题，并进行表达、交流和反思每年的数学中考试卷,总会在主干知识和重要的数学思想方法方面设置数学问题,对考生的数学能力与素养进行综合考查,体现为高一级学校输送优良学生的选拔功能.11二、中考复习策略 1、认真学习课程标准和考纲 中考命题依据是课程标准和考纲。试题一般都紧紧围绕课程标准，严格执行考纲的要求。这要求我们在平时教学中要认真
27、研读课程标准，了解课程标准的基本理念和对学生的一些基本要求。通过对考纲罗列知识点考试要求的的分析，可以明确中考的考点有哪些，那些是中点，那些是难点，哪些知识点是了解、是理解、是掌握、是会用等。所以中考复习时要认真研读考纲，把握考试要点，把握知识的考查深度。这样才能做到有的放矢，事半功倍 2、重视基础知识和基本技能，掌握“好题”，避免题海战术 考查基础知识，基本能力是数学中考的基本思想。中考的数学命题总的趋势是降低难度，试题会日趋平稳。我们在平时的教学中要重视基础知识和基本技能。充分以课本为依据，用好课本，努力让学生掌握课本中每一个概念，理解每一个定理，弄懂每一个例题，会做每一道习题。尽量不钻题
28、海，不出偏题，不做怪题，不死记硬背习题 战胜“题海”，必须掌握“好题”标准。如果老师不会判断一道中考考题是不是“好题”，好在哪里，不会欣赏中考数学创新题，其创新点是什么，那么他就难以在茫茫题海中精选出具有特点和富含思维价值的典型问题，从而使复习效率低下甚至无效，这样的教学效果可能是老师讲十个例题不如讲一个例题，学生做十个题目不如做一个题目，考学生十套试题不如一套试题。因此，掌握“好题”对提高教学效率、练习效率、考试效率都是重要的。依据李士琦教授的理论：“孰能生厌”、“熟能生笨”【1】，也就是说过度的强化训练、套路演练不但不会熟能生巧，相反会生厌、会生笨，生厌就会讨厌数学、远离数学，生笨就会形成
29、思维定势、降低思维水平，因此老师可以下题海，但学生不能。老师在“题海”中寻觅、学习、思考和研究“好题”，可以为学生节约大量的时间，让学生去思考疑惑、探究问题、查漏补缺。3、重视数学思想和数学基本方法 能力考查是中考的命题方向。学生除了应具有较扎实的基础知识，还应熟练掌握分析判断、尝试探索、猜想论证、合理决策等多种数学思想方法。数学是培养学生思维的科学，它能提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力。在教 12学中，我们不能以解决问题作为教学的终结点，而应将数学思想方法渗透在教学的全过程中，使学生在学好基础知识的同时掌握数学思想方法，并通过不断的积累运用内化为自己的知识经验 中考数学命题除了着重
30、考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如配方法，换元法，判别式法等操作性较强的数学方法。同学们在复习时应对每一种方法的实质，它所适应的题型，包括解题步骤应熟练掌握。其次应重视对数学思想的理解及运用，如函数思想，在初中的试题中，明确告诉了自变量与因变量，要求写成函数解析式，或者隐含用函数解析式去求交点等问题，同学们应加深对这一思想的深刻理解，多做一些相关内容的题目；如方程思想，它是已知量与未知量之间的联系和制约，把未知量转化为已知量的思想。应牢固树立建立方程的思想，比如要求两个量必须根据已知条件建立关于这两个量的方程（或等式）；再如数形结合的思想，例如 12 年广东中考“压轴题”把圆、二次
31、函数放到直角坐标系中利用它们图形上的相互关系，熟练进行代数知识与几何知识的相互转换。许多同学解这类问题时往往要么只注意到代数知识，要么只注意到几何知识，不会把它们相互转化。如坐标系中点的坐标与几何图形中线段的长的关系；坐标系中 x 轴与 y 轴相互垂直与几何图形中的直角、垂直、对称及切线等的关系；函数解析式与图形的交点之间的关系等。4、注意语言的规范化和计算的准确性 语言是“对语言文字的正确、敏锐、丰富的感受力，是由语言文字而引起的复杂的心理活动和认知活动的过程”3，数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言，它是数学思维和数学交流的工具。阅卷时我们发现有部分同学因看不懂题干而无法做题；有部分同
32、学因解题不规范，证明时语言不准确、思维混乱而失分，这十分可惜。在教学中我们要加强学生数学语言的训练，让学生能够进行各种数学语言间的转化，能够用数学语言准确、简洁地表达自己的观点 数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学离不开计算。阅卷时我们发现有许多同学能从问题的实际背景中抽象出正确的数学模型，但由于计算不过关而解答不出正确答案，由此失分真让人遗憾。为此，在教学中我们应该加强计算训练，提高计算的准确率 135、突出应用意识，注重操作与实践 现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。面对实际问题，我们要能够主动尝试从
33、数学的角度运用所学的数学知识方法来解决问题，体会数学的应用价值。近几年我省还出现了一些操作性试题和实践性试题。这要求我们在平时的教学中加强这方面的练习 6、注意综合性试题与开放性试题 综合性试题与开放性试题是近几年中考数学的热点问题。这类试题的难度值较大，有一定的区分度，并且考题的形式灵活多样，常考常新，值得大家重视。综合性试题主要考查学生的综合素质，开放性试题主要考查学生的探究能力，考查学生思维的灵活性。这些不是一朝一日之功，我们在平时的教学中要重视数学知识间的联系，对学生进行一些必要的综合知识的训练。同时鼓要励学生分小组直觉地开展一些课题学习，让学生初步学会研究问题的一些方法，提高学生的实
34、践能力和创新意识。在学生学习知识的过程中，教师不能光注重结果，更要注重学生的学习过程，要让学生自主思考，自主探索，自己发现问题，这样学生会逐渐养成自觉思考、直觉探索的习惯 7.加强心理辅导，激活非智力因素 现代心理学认为，认得发展包括认知和非认知的协同发展，其中认知发展的内核是思维，非认知发展的内核是情感体验，促进思维发展和情感体验是数学教学成功的关键。认知的发展离不开非认知的发展，非认知的发展需要认知的参与。非认知发展是认知发展的力量源泉。脑科学研究发现，人脑可以分为智能脑和情感脑。智能脑主要指大脑智能中心；情感脑指大脑的边缘系统，它控制许多情感反应，与大脑中处理记忆存储的部分连接得很紧密，
35、是学习活动的兴奋和抑制中心，起催化剂和抑制剂作用。非智力因素的主要成分，如需要、兴趣、动机、情绪、情感等与情感脑密不可分。【2】桑代克的效果律认为，当刺激与反映之间连接的形成伴有愉快的情绪体验时，这种联结就会增强（即反应者就会乐于重复这种反应），否则就会减弱（即反应者就会力求避免这种反应）。桑代克的效果律其实我们，在初三教学和考试时应尽力创造条件使学生获得成功和自信，为学生带来愉快的情绪体验。初三考试太频繁，并且题目难度超过很多学生考试时的知识水平，很多学生每考一次就失败一次，久而久之，学生的成功体验就越来越少，学 14生的自信心就越来越差，学生对数学的兴趣就越来越淡，并导致一些学生产生考试焦
36、虑甚至出现心理障碍。因此，无论是初三的复习教学，还是各种各样的考试，都应尽力创造条件让学生多产生愉快的情绪体验，尽力让学生在问题解决后感到成功与自信。1张奠宙，李士琦，李俊。数学教育学概论M北京：高等教育出版社，2003 2沈德立。高效率学习的心理学研究M北京：教育科学出版社 2006 3王庆人译。数学家谈数学本质M北京：北京大学出版社 数学例、习题的选编策略 珠海市斗门区教育科研中心刘案清 初中阶段的中考复习，时间少，容量大，任务重，如何做到既能全面系统的复习，又能提高学生的综合能力，要在短期内达到这一目的，采用什么样的复习措施将直接影响复习的效果。其中，教师在选择复习题时要抓住课本的一些典
37、型的例、习题，进行训练，创设富有启发性、应用性和创新性的问题，使学生在获得较系统的数学知识的同时，形成有效的思维策略，提高学生灵活运用知识和综合解决问题的能力。一、夯实基础知识、加强基本训练 数学复习不应是教材知识的简单再现，教师要着重引导学生沿纵向加深对概念、公式、法则、方法等的理解，沿横向加强不同知识间的互相联系，深化对课本知识的认识。如何夯实基础知识，在复习题的选编上既要考虑到知识的覆盖要广、突出重点，又要有利于强化基础知识、基本技能和基本的数学思想方法的综合运用，帮助学生把所学知识系统化。如：数和式的知识贯穿于整个初中阶段的教学，如何更好地复习这部分内容，可编选下面的题目：例 1：下列
38、运算正确的是（）A、（a+3）2=a2+9 B、-2-(-2)=4 C、（a4）3+a3a4=2a12 D、tg300+tg450=333+分析：此题主要检查学生对乘法公式、有理数的减法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项、特殊角的三角函数值、通分、二次根式的加减等基础知识的掌握情况，题目要求基础，知识覆盖面广，如果学生没有很好地掌握基本的运算法则、运算性质以及一些重要公式，解答起来就容易出错。例 2：下列说法不正确的是（）（A）、只有当 x=1 时，分式112+xx的值才为零 （B）、33 是分数，也是整式 15（C）、12 与313是同类二次根式 （D）、坐标平面内的点与序数对是一一对应的 分
39、析：此题包含知识点多，覆盖面广，同时检查了学生从初一到初三学过的数与式的重要知识点，要求学生考虑问题要全面，基础知识要扎实，同时以训练一些基本的数学思想方法（分类思想、数形结合思想、化归思想）为目的，题目并不难，学生容易掌握。这类选题，可以起到以点带面，以少胜多的复习目的。二、挖掘教材的潜能，注重能力的培养 著名数学家 G波利亚说过：“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”在总复习中，例题的编选要以“课本”为“本”，引导学生将某些典型的例题、习题进行深入的挖掘、提练、引申、
40、加工改造，克服消极的定势思维，从中培养学生思考问题的灵活性、开拓性、多向性和创造性，做到一题多解，一题多变，收到以少胜多，事半功倍之效。1、寻找一题多解，培养学生的发散思维能力 思维是能力的核心，观察是思维的外壳，应变是技巧的法宝。拿到一道题目，必须通过仔细的观察分析，理清已知与待求（证）式的关系，纵横联想知识、方法和技巧，从多角度去思考探究，才能形成多彩的思维空间。例 3：如图，PA 切于O 点 A，直线 PO 交O 于 B、C 两点，ODPC，AD与 PC 相交于点 E。求证：PE2=PBPC 分析一：连结 OA，利用直角三角形的两个锐 角互余及等角的余角相等、对顶角相等可证得EAP=AE
41、P，故 PA=PE，再利用切割线定理证得 PE2=PBPC。分析二：若延长 DO 交O 于 F，连 AF，通过证 F=OED，由弦切角定理得PAD=F，进而有 EAP=AEP，所以仍可证得 PA2=PBPC。分析三：如图，连结 AC、DC，可知 1=3，再证明 PA=PE 即可。分析四：如图，若连结 AB、AC，证法基本相同，不再重述。说明：从以上分析证明可以看出，通过这样一题多证，引导学生从不同角 度去分析、寻求证明思路，达到了异曲同工之妙用，不仅拓展了学生的思维空间，培养了学生的发散思维，而且进一步地培养了学生思维的深刻性。课本的例习题很多是经实践检验的典型数学问题，蕴含有深刻背景，复习中
42、挖掘它们的智能价值，既能激发学生学习的激情，又能使学生从新的高度掌握知识、运用知识。2、寻求一题多变，培养探索问题的能力 思维的创造性表现在善于抓住事物的规律与本质。能够深入地分析、思考问题，进而把具体思维对象的本质属性揭示出来，使学生的思维能力进一步得到提高。EoFAopCDBDBEOAPC12345DBOAPCE31 254 16例 4：已知：ABC 中，BAC 的平分线与边 BC 和外接圆分别交于 D 和 E，求证：ABDAEC。分析：易见此题证法较为简单，但在保持原 命题条件不变的情况下，可继续引导学生深入的 探讨新结论，进一步培养学生的思维的广阔性和创造性。变 1：结论改为求证：（1
43、）、ABCD=ADCE （2）、ABAC=ADAE（3）、ABEC=AEBD （4）、ACBE=AEDE（5）、ABAC=AD2+ADDE （6）、ABAC=AD2+BDDC 变 2：如图，已知 A、B、C、D 在同一个圆上，BC=CD，AC 与 BD 交于 E。（1）、求证：CBE CAB （2）、若 AC=8，设 BC=x，AE=y，试求出 y 与 x 的函数关系式，并画出该函数的图像的示意图。（3）、在（2）的条件下，若 CD=4，且线段 BE、ED 为正整数，求 BD 的长。析解：（1）易证CBE CAB 得BCACCECB=，即xyx8)8(=，所以可求得 y 与 x 的函数关系式为
44、：y=-81 x2+8（0 x 8）。（2）、因 BC=CD=4，所以 AE=6 即 CE=AC AE=2 因 BEDE=AEEC=12，BD=BE+ED BC+CD=8，且有 BE、ED 为正整数，所以 BE=DE12，加以分类讨论，判断分析，确定符合条件的 DE、BE 的值，从而求得 BD 的长是 7。在复习中，教师精心选编课本中的典型命题，并努力创设出问题解决的各种情境，激发学生主动参与到问题解决活动的过程中来，让学生在发现、猜想、探索、验证等思维活动过程中受到不同层次的思维训练，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力。三、编拟开放题，培养学生创新思维能力 九年义务教育数学教学大纲指出：
45、“创新意识主要是指对自然界和社会中的现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度提出问题，并用数学的方法加以探索、研究和解决。”编拟条件、结论开放题是培养学生创新思维能力的一种重要途径。开放性问题是相对于给出条件和结论的封闭性问题而言，其条件或结论不明确、有待于进一步探索的问题。这类问题形式新颖，解答时需要综合运用基础知识、基本技能和基本的数学思想方法，有利于检查学生分析问题和解决问题的能力。例 5：如图：在 ABCD 中，P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7 是对角线 BD 的八等分点。你是否可以从这七个分点中选取两个点，使得以这两点及点 A、点 C 为顶点的四边形是平行四边形
46、？如果可以，请写出一个这样的平行四这形，并给予证明；如果不可以，请说明理由。分析：这是一道以平行四边的判定作为背景的 ABCDEABCDp1p2 p3p4p5p7p6ODCBAE 17结论开放的题目，通过探索分析，可以得出四边形 AP1CP7，AP2CP6，AP3CP5 都是平行四边形，但其 基本的证明思路、方法是相同的，这里包含着一种 辩证的统一思想。例 6：如图，已知A=D，AB=DE，仔细观察图形，再加一个条件_就可使ABCDEF。（填上一个正确条件即可，不必考虑所有可能）分析：本题是一道条件开放的题目，背景学 生很熟悉，能较好地复习全等三角形的判定定理。解答中要求学生能精心观察、发现、
47、运用发散思维去判定两个三角形全等，从而找到“AC=DF 或 AF=DC 或B=E 或ACB=DFE”等不唯一的答案，有利于培养学生的探索能力和创新意识。四、选编设计多重选择题，培养学生综合数学素质 多重选择题一般以填空题的形式出现，这类题检查的知识容量大，综合性强，对运算、推理、应用等提出更高的要求，从而加大了问题的难度，要求学生必须对每一个问题逐一研究其真伪性并加以判断，才能探索出正确答案，作答要求上也比较高，对错填、多填或漏填都不能得分，同时也排除了“唯一性”中“猜”的成份，对这类问题不能有丝毫的疏忽。例 7：已知下列四个命题：、圆的切线上任意一点到圆心的距离都不小于圆的半径；、圆周角相等
48、，它们所对的弧相等；、与已知角两边都相切的圆的圆心在这个角的平分线上；、如果两圆相交，那么连结两圆圆心的直线垂直平分它们的公共弦。其中正确的命题的个数是_。分析：这是一道以圆的基础知识为主要内容的多重选择题。学生必须逐个地分析，只有头脑中有清晰的概念才能准确地判断每一种说法的正误，这一要求是较高的。正确的个数是 3 。（）例 8：已知点 P（n，2n）是第一象限的点，下面四个命题：、点 P 关于 y 轴对称的点 P1的坐标是（n，-2n；）、点 P 到原点 O 的距离是n5；、直线 y=-nx+2n 不经过第三象限；、对于函数xny=，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小。其中真命题是_。
49、（填上所有真命题的序号）分析：这道题以函数的知识作为考查目标，包含了点的坐标的对称性、坐标系中点到原点的距离、一次函数、反比例函数等的性质，考查知识覆盖面广，对学生的要求也很高。正确答案是。数学样例迁移设计初探 珠海市第八中学杨晓辉 ACDEFB 18摘要“迁移学习”和“样例学习”是教学研究的热点，通过样例实施教学是一种重要的教学手段，在数学教学中样例教学更显重要。首先，样例学习是学习者通过直接的样例来对概念、原理形成一个直接的感官，减轻认知的负荷；第二，样例中的具体内容能够帮助学习者掌握比较抽象的规则和原理。因此，数学教学中样例设计的影响是多方面的，包括对数学教学效率的影响、对学生理解和吸收
50、知识的影响、对学生迁移学习的影响。本文作者在阅读关于“迁移学习”、“样例学习”以及“变式教学设计”等这一类文章后，结合具体数学教学经验，对数学教学中的样例设计以及迁移影响作一些探讨。关键词：数学教学 迁移学习 样例学习 1.引言 数学有效教学的重要指标，是学生的数学学习能否从一个问题迁移到另外一个问题，从一个情境迁移到另外一个情境，从学校课堂迁移到社会生活1。学生对数学知识的学习及数学技能的掌握一般是从数学样例的学习开始，学习者遇到一个新题目或新内容时，最先考虑的办法就是运用与要解决的问题类似的例题，通过模仿或类比，使得学习者能够顺利解决问题。也就是说通过样例来学习使学习者在具体的事例中归纳出
51、隐含的抽象知识，实现自我解释，从而达到知识的迁移2。在众多与“样例设计”和“数学迁移”相关的文章当中，研究重点不同，各自在特定的方面做了较深入的探究。涂荣豹的重在探究引起数学迁移的因素，文章中明确指出，引起数学学习的迁移与以下几方面有关，首要因素是促进数学的初始学习，具体包括注重理解、投入足够的时间和利用变式把握关键特征；其他相关因素，如学习的情境、问题的表征、学生的迁移 19指向影响着学生向新情境的迁移。耿秀荣、汤服成在中分类阐述了在变式教学中的样例设计的重要性，文章中通过改变样例的条件、问题提问方式、样例的情境和同一样例运用不同的设计过程，来达到增强学生的学习效果的目的。阅读相关的文章，可
52、以总结得出，数学学习中的迁移，可以理解为知识和能力的扩展及数学思维从一种情境迁移到另一种情境；数学学习中的迁移需要在样例的设计中得到体现。因此，在数学教学中，不能只把学习者的学习重点放在练习和训练上，还应重视学习者的个性特点，创设可以激发学生求知欲的情境；教学过程应由已知到未知、由浅入深，培养学生思维的流畅性、变通性和独创性2。在阅读先前学者们有关“样例设计”和“数学迁移”的文章之后，发现样例设计与迁移关系的研究主要以教学理论为主，或者涉及高等数学和小学数学的较多，针对中学数学教学和教学过程中具体样例设计模式的则较少。本文在先前学者的研究基础上，通过阅读中学数学教材中的样例设计，结合自身实践经
53、验，根据学生的一般特点，采取分类讨论的方法探讨中学数学教学过程中的样例设计，并对这些样例可能对学生产生的迁移影响，具体为学生对知识的吸收以及知识的扩展性作一个简单的分析。2.样例的迁移设计应该渗透教学思想 样例又称例子或范例，是一种能够例说或表征较为抽象的概念原理的相对的具体实体，能够展示同一类事物的样本，或值得模仿的榜样3。通过样例来学习，是人们自主学习的重要方式之一，它在获取知识技能的早期阶段起着关键的作用。样例在中学数学教学过程中发挥着重要的示范作用，样例作为教学的重要桥梁，直接影响学生数学知识的形成及相关知识的迁移。因此，要在教学实践中有效地利用样例这一教学手段，应对样例进行有针对性、
54、有迁移性的设计，提高样例在教学中的效用4。20样例设计在教学设计中的安排方式会影响其有效性，从单项训练的样例到综合训练样例的过渡，较容易引导学生进行自我解释5。课本中的例题往往过于单一、基础，而且现在的中学数学教科书中的例题较少，学生一般在弄懂课本例题后就会有一种自我满足感，单纯地记忆解题步骤方法及解题规范，很容易忽略甚至不了解例题中隐含的知识，从而会轻视例题的作用。因此，要充分实现例题的功能，应该从知识的迁移性来考虑样例设计。在数学教学中，往往只依靠课本简单的样例是很不足的，为了帮助学生理解知识，并进一步帮助学生理解知识如何运用，需借助较为复杂、更有阶梯性的样例，并采取各种变式设计，改变样例
55、的非本质特征，将样例中的条件、问题形式进行更改，插入各种实际应用情境，呈现出问题的本质特征以及内在的联系，使学生真正把握概念、数学原理的本质6。3.样例的迁移设计应该在各类问题中体现 在中学数学教学中，样例一般是在新概念、解题思想、数学原理之后阐释其本质以及应用方法，来帮助学生理解和理解数学知识6。在具体的教学中，将样例的类型分为概念型、原理型、方法型以及问题解决型，每一类的样例设计中都围绕着同一数学本质，通过变式的设计，体现着迁移的思想。3.1 概念型样例的迁移设计 概念型的样例是用来说明和表述某一个概念的例子。在给出一个概念之后，通过具体的例子让学生理解概念，并且通过渐进性的样例设计，使学
56、生到达概念性知识的扩展8。概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。样例 1：错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。都是二元一次方程组7。用具体的样例来阐述概念，让学生直观了解。之后，还可以给出一些特例：21 样例 2：（1）错误!未找到引用源。,（2）错误!未找到引用源。都是二元一次方程组。这个样例的（1）是要求学生理解二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，而不是一定要含有两个二元一次方程所组成的一组方程；（2）则是样例 1 的一个变式。样例 3：（1）当 m、n 为何值时错误!未找到引用源。是二元一次方程组 （2）当 m、n 为
57、何值时错误!未找到引用源。是二元一次方程组 样例 1 的设计给出了二元一次方程组的概念的具体例子，让学生得到初步的了解；样例 2 则通过变式教学设计，引导学生自主思考，让学生对概念及相关知识得到更深入的理解。样例 3 则是从概念出发，让学生理解构成二元一次方程组的具体条件,包括方程组中的系数和指数。上面的样例设计中，样例各有变化，但都不离其宗，而且逐层深入，这样的样例设计，让学生更好地理解二元一次方程组的概念，同时在熟悉、理解概念的时候，有助于学生形成知识的迁移。3.2 原理型样例的迁移设计 原理型的样例是指用来解释一个数学原理的例子8。例如我们给出勾股定理的概念：直角三角形两直角边的平方和等
58、于斜边的平方。如果用 a、b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么错误!未找到引用源。7。涉及该定理的应用时，可以用简单的例子来说明：样例 1：求出下列直角三角形中未知边的长度7.（1）（2）y 6 x 5 13 8 22(图 1)（图 2）解：（1）由勾股定理：错误!未找到引用源。所以 错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。（2）由勾股定理：错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。上面样例中的两道计算，是勾股定理的应用，学生可以直接套用公式得出结果，简单明了。之后，根据上面的例子，可以用以下样例来引导学生：样例 2：求出下列直角
59、三角形的未知边的长度.（1）（2）A A 6 8 12 13 D B D C B C （图 3）（图 4）求 AD 的长度 求 BD 的长度 解：（1）在错误!未找到引用源。中，由勾股定理：错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。AD 是直角错误!未找到引用源。斜边 BC 上的高，利用等面积法可以求出 错误!未找到引用源。（2）在错误!未找到引用源。中，由勾股定理：错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。,即 BC=12 BD 是直角错误!未找到引用源。斜边 AC 上的高，利用等面积法可 23以求出 错误!未找到引用源。再对样例 2 实施一些变式，得到下面样例：样例 3：如图，已知腰三
60、角形错误!未找到引用源。的面积为 12，底边长为6，求腰的长度 C A 6 B （图 5）首先，在此之前，学生已经学习了等腰三角形三线合一的性质，老师所需要做的就是引导学生往这个方向去思考。解：过 C 点作出等腰三角形错误!未找到引用源。的高 CD C A D 6 B （图 6）因为错误!未找到引用源。的面积为 12，底边 AB=6,所以底边上的高错误!未找到引用源。又因为等腰三角形三线合一，所以 CD 也是三角形错误!未找到引用源。的中线，即 BD=AD 在错误!未找到引用源。中，由勾股定理：错误!未找到引用源。所以 BC=5,即等腰三角形错误!未找到引用源。的腰长为 5 这三道样例都是勾股
61、定理的应用，要求学生能够根据不同情境运用定理来求解问题。样例 1 是初中教材讲述勾股定理时的一类例题，学生可以通过样例 1 24直接理解勾股定理如何应用。样例 2 与定理形式略有差异，要求学生在理解定理基础上结合已学知识来解决问题。对于样例 3，考查学生综合理解能力，需要学生理解勾股定理的本质和三角形的一般性质，但如果直接给出样例 3，学生会觉得很唐突甚至无从下手。因此，通过样例 1 和样例 2 来嫁接一个桥梁，缩短了认知距离。3.3 方法型样例的迁移设计 方法型的样例是指用来表明某种数学思想方法应该如何运用的例子。在中学数学教学中，方法型样例占了很大的比重，这一类样例可以让学生通过学习来模仿
62、解题的思路和方法。教材一次函数性质中的增减性：“在一次函数错误!未找到引用源。中，当错误!未找到引用源。时，y 值随着 x 值的增大而增大，当错误!未找到引用源。时，y 值随着 x 值的增大而减小”7，下面给出几个例子来示范其应用及迁移设计。样例 1：一次函数错误!未找到引用源。中，y 值随着 x 值的增大而增大 一次函数 y=-2x-2 中，y 只随着 x 值的增大而减小 这是一次函数性质的增减性的直接形式，学生很容易对比来了解性质概念，为了让学生深入理解，需要实施变式。样例 2：在一次函数错误!未找到引用源。中，y 值随着 x 值的增大而增大，那么 m 取值范围是多少？解：因为一次函数错误
63、!未找到引用源。中，y 值随着 x 值的增大而增大 根据一次函数的性质概念,所以有错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。先给出结论，要求学生求解在什么样的条件下才有该结论，采取逆向思维法，加强学生对性质的理解。但为了加强知识的扩展性，可以作出较复杂的变化。样例 3：一次函数错误!未找到引用源。中，y 值随着 x 值的增大而减小，求m 的值 25解：因为错误!未找到引用源。是一次函数 所以错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。又因为一次函数错误!未找到引用源。中，y 值随着 x 值的增大而减小 因此有错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。综上所述，得错误!未找到引用源。这里的条
64、件“这个是一次函数”很容易被忽略而直接求解 m 的取值范围，相对上一样例而言，这道题是“扩展”了。学生要让这个式子成为一次函数，就需要确定指数的次数和自变量的系数，寻找一个同时满足两个条件的未知数“m”，再根据自变量系数的符号判断增减性。从样例2 到样例3是一个上升状的阶梯设计，学生在理解样例 2 之后，样例 3 就不会觉得难以理解。3.4 问题解决型样例的迁移设计 问题解决型样例是原理或者方法型样例的拓展，它用来展示一个或一类问题的解决思路或者过程8。通常，为了达到迁移的目的，需要对样例实施各种合理的变式设计。样例 1：解下面的二元一次方程组（1）错误!未找到引用源。（2）错误!未找到引用源
65、。错误!未找到引用源。限于解题篇幅较长，解题思路单一，这里不详细作答。对样例 1 作出下面的变化。样例 2：二元一次方程组错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。有同样的解，求 a、b 的值。解：因为错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。有同样的解，所以我们可以作下面的变化，把这两个方程组化为错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。解第一个二元一次方程组，得错误!未找到引用源。，将这组解代入第 26二个二元一次方程组，得到：错误!未找到引用源。，解这个二元一次方程组得：错误!未找到引用源。样例 2 要求学生理解二元一次方程组解的性质：二元一次方程组的解满足每一个一次方程，所以，可
66、以改变这两个方程组的组合方式，求出解再代入另一个未知的方程组。还可对样例 1 添加实际背景，使它成为实际应用题：样例 3：为了倡导节约用水，某城市规定：每户居民每月的用水标准为 8 立方米，超过标准部分加价收费.已知某户的居民某两个月的用水量和水费分别是11 立方米，28 元和 15 立方米，44 元。标准内水价和超过标准部分的水价分别是多少？（解题过程略）二元一次组方程的应用是一类关于解方程和列一次函数表达式的综合应用问题，在学习这部分内容时，除了给出具体的解方程样例（样例 1），结合适当的变式训练（样例 2）来提高学生的思维能力；还应该加入适当的实际应用题。4.结束语 综上所述，数学知识的
67、迁移在一定程度上依靠于样例的设计，在教学水平和教学要求不断提高的今天，我们应该积极探求知识迁移与样例设计之间的关系的相关问题，在数学教学过程中有序地、阶梯性地设计样例，从单一到发散。改变样例的条件、问题方式和加入适当的情境，既能激发学生的学习积极性，还可以刺激学生对新知识的渴望，引发学生的自我解释，真正达到数学教学的目的。参考文献 1.涂荣豹.数学学习与数学迁移J.数学教育学报，2006，（15、4）：1-5 2.张爽、罗晓琳.样例及相关因素对学习的影响.J.通化师范学院学报，2010（31、3）273.倪浙淦.也谈初中数学中的变式迁移训练J.新课程研究，2010（203）4.马俊青.数学样例
68、学习与学生知识形成关系的研究J.数学教育学报，2009（18、4）：68-70 5.付廷琼.样例教学的设计原则与教学策略J.时代教育，2009（5）6.邵光华.数学样例学习的理论与实证研究D.华东师范大学，2003 7.义务教育课程标准实验教科书八年级数学（上）M.北京师范大学出版社，2005 8.耿秀荣、汤服成.体现数学变式教学方法的样例设计J.甘肃联合大学学报（自然科学版），2010(24、4)：107-110 问题是数学的心脏 论“问题教学法”在数学教学中应用实践 珠海市第五中学 吴森雄 【摘要】问题，是思维的起点,是数学的心脏。问题教学，是一种有效促进学生思维活动和提升自主学习能力的课
69、堂策略。本文从分析“问题教学”在初中数学教学中实施的原因，并在数学教学中实施的过程以及问题教学法中应遵循的原则、实施模式等方面进行阐述，从而使问题教学法更好地运用到数学课堂教学当中来。【关键词】问题 问题教学法 数学教学 美国数学家哈尔莫斯曾经指出，定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中任何一项都不是数学的核心，问题才是数学的心脏。数学教学中所讨论的一切数学事实都是围绕着发现问题、分析问题和解决问题而展开的。只有在不断的“生疑识疑释疑”过程中才可能使抽象的数学定义、定理、公理变得具体而有价值，并随着“生疑识疑释疑”的不断深入，学生的自主学习的动机和欲望越发强烈，进而逐渐形成提出问题和解决问
70、题的能力，而这种能力无疑对于学生的学习乃至生活都是大有裨益的。可见，问题教学法与数学课堂教学有着天然和必然的联系。一、问题教学法的定义 问题教学法，即通过创设特定的问题情境，引导学生在解决问题的过程中，主动获取和运用知识、技能，激发学生的学习主动性、提高自主学习能力和创造性解决问题的能力的课堂教学方式。这种教学方式有三个基本特征：（1）以问题的提出和解决为中心。即数学教学过程不是简单的知识传递、讲解过程，而是根据课本知识要求和学生的知识经验，把教学内容问题化。把问题作为一根主线，以问题导出，以问题归结，又以新的问题引入新的学习，问题贯穿于课堂教学的整个过程之中。（2）以发展学生运用知识综合解决
71、问题能力和创新意识及自主能力为重点。（3）教师引导学生自主、合作、探究学习为关键。即教师是教学过程中问题情境的创设者，问题解决过程的指导者，学生学习的鼓励者。二、问题教学在初中数学教学中实施的原因 28（一）问题是学习的根源“课标”指出：从本质上讲，感知不是学习产生的根本原因，产生学习的根本原因是问题。没有问题也就难以诱发和激起求知欲，问题可以激发学生强烈的学习欲望。“生疑”不但是学生产生学习的诱因，而且还是促使学生发奋学习的动力。有了“疑”，学生产生了强烈的求知欲，就会变被动接受为主动追求，从而进入“愤”、“悱”的境界。（二）问题是学习的载体 现代教学特别强调问题在学习活动中的重要性。它一方
72、面强调通过问题来进行学习，把问题看成是学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线；另一方面强调通过学习来生成问题，把学习过程看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。所以，问题是学习的工具，是学习的载体，应当贯穿于学习的全过程。学生在体验问题学习的过程中，在获得知识和技能的同时，发现问题、探究合作的意识和能力等各方面都得到了培养。(三)问题是创新的源头活水 问题是思想方法、知识积累和发展的逻辑力量，是生成新知识、新方法、新思想的种子，是创造性学习、创新思维的源泉。现代教学特别重视问题意识的培养，因为问题意识不仅可以激发学生强烈的学习愿望，从而积极主动地投入学习，更可以激发他们勇于探索、创造
73、和追求真理的科学精神。三、问题教学法的实施模式 常规的授课模式是教师先行把问题咀嚼，消化之后再把它转变成知识塞给学生，而问题教学中，教师是先把知识以问题的形式打包、组块传递给学生，让学生自己去咀嚼、品味、消化吸收，让学生自己去汲取营养，锻炼能力。我们可以借鉴巴班斯基的模式：步骤 教师角色 学生角色 创设问题情境 创 设 者 提 出 问题，置学生于问题情境中，布置任务 处于问题情境中，接受任务，唤起早期经验与知识激发学习兴趣，形成学习的责任感 组织集体讨论 组织者，随机有效地检查该进程 讨论解决问题的可能方法，概括先前的经验和知识，查明现象的原因，说明它们的经过，选出解决问题的最合理方案 证实结
74、论 帮助 证实结论 提出问题作业 提出问题作业 进行新的问题解决过程 巴班斯基的模式注重让学生深入掌握知识，掌握科学思维的方法及创造性活动的经验、特点和程序。四、在数学教学中实施问题教学的过程（一）问题是教学活动的开端 首先必须通过创设问题情境，激活学生的思维，使学生的头脑中存在大量的问题。因为开展教学活动的首要任务并不在于直接给学生传授现成的知识，而在于引导学生发现各种各样的问题，问题是思维的“启发剂”,它能使学生的求知欲由潜伏状态转入活跃状态，有力地调动学生思维的积极性和主动性。例 1 在学习相似三角形的判定前，我先给学生讲一个故事：古希腊有个哲学家泰勒斯旅行到埃及，在一个晴朗的日子里，埃
75、及伊系神殿的司祭长陪同他 29去胡夫参观胡夫金字塔，泰勒斯问司祭长：“有谁知道这金字塔有多高？”司祭长告诉他：“没有人知道，古书中没有告诉这个。”泰勒斯说：“我可以根据自己身高测出塔的高度。”众人感到惊讶。说完，泰勒斯随即从白长袍下取出一条结绳，在他助手的帮助下很快测出塔高 131 米。（讲故事时候利用多媒体展示情景图片）故事讲完了，学生都产生了疑惑的眼光，兴致很高。接着老师问：“谁能说出他是怎样测出塔的高度的？”学生面面相觑，回答不出，这时教师顺势利导，告诉学生：下面将要学习的“相似三角形的判定方法”就能帮助你回答这个问题，等学完新课后，师生共同回过头来思考泰勒斯测量金字塔高度的原理。这样一
76、个持续的问题情境贯穿与整个课堂教学，激发了学生的思维，提高了学生学习的兴趣，同时也培养了学生应用数学知识解决实际问题的意识。（二）问题是贯穿整个教学过程的主线 问题教学活动自始至终都应围绕问题而展开。问题不仅应是教学活动的开端，而且在整个教学过程中都应有问题的存在。问题不仅是激发学生求知欲的前提。知识只有围绕问题而展现出来，才真正成为其内在精神实践的有机组成部分。因此，只有使问题存在于整个教学过程之中，是教学时时处处都有问题，才能保证教学过程的连续性和有效性。根据波利亚的“怎样解题”表，可从以下几方面提问：已知条件是什么？要求的问题是什么？你以前见过它吗？能否提出一个相似的问题？你能否提出一个
77、更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能解决问题的一部分吗？是否需要辅助问题？等等。问题变式是为了实现一定的教学目的，变化问题条件、情景、思考角度而形成新问题的一种教学策略。如在上轴对称这个内容时，根据初中学生的螺旋式思维特点，做了一个循序渐进的教学设计：原题：已知直线l 及同侧两点 A、B，试在直线 L 上选一点 C，使点 C 到点 A、B 的距离和最小。l 略解：利用对称思想，将 A 或 B 对称到l 的另一侧，相连即可求出答案。变式 1：如下图(左)，已知 1l、2l 表示两条相交于点 A 的公路，P 点是员工宿舍，现想从 P 点出发，先到公路 1l 取点货品，然后再到
78、公路 2l 取点货品，最后回到 P处，怎么走会使得路程最短呢？此处要引导学生积极讨论，如学生甲说：“我从P 点垂直走向公路 1l，取好水后再垂直走向 2l，然后回到点 P。”请同学们想想，对不对？B A 30 略解：作点 P 关于 1l、2l 的对称点 p1、p2，连接 p1p2，与公路 1l、2l 相交于点 B、C（在该图的条件下是有两个交点的），则 PBBCCP+即为所求线路（红色折线）。变式 2：如下图（左），在高速公路的两侧有 A、B 两个工厂，现要在公路上修一座桥，规定桥必须与高速公路垂直，并要使 A 厂到 B 厂的路程最短，问桥应修在何处？(设河宽为定长 m)略解：(1)B 作 B
79、Ca，且使 BC=m；(2)连接 AC 交 b 于 P；(3)过点 P 作 PQa，垂足为点 Q，那么 PQ 就是桥所在的位置。其实还可以启发学生去总结：若求直线上一动点到直线外两定点的距离之和的最小值，如何作图呢；若求直线上一动点到直线外两定点的距离之差（绝对值）的最大值，那又该如何作图呢？（三）问题是教学活动的归宿 如果教学活动以问题开始，以无问题而结束，那么问题仅仅只是作为获得现成知识的一块跳板。教学的最终结果绝不应当用所传授的知识完全消灭问题，更重要的是为了促使学生超越现有的知识，在获得新知识的基础上引出更多、更广泛和更深刻的新问题。这些新问题出现的意义，不仅在于它能够使教学活动进行下
80、去，而且更重要的是它能激发学生对未知领域的探索，最终把学生引上创新之路。如课堂学习完相似三角形的几种基本类型后，可出示这样的一道题目：在矩形 ABCD 中，AD=20,AB=8,在 BC 边上有一动点 E（不包括 B、C 两点）。DABCE(1)当点 E 运动到某一位置时，恰使090=AED,问 ABE和 ADE相似吗？请说明理由。(2)当点 E 运动到哪个位置时，ABE和 ADE相似？(3)如果设 AB=a，AD=b，当 a 与b 满足什么关系时，能使图中三个三角形两两相似？五、实施实施问题教学法的原则 问题教学法中问题是贯穿于学生学习过程始终的一条主线，正是在问题的发现、确立、探索、解决的
81、过程中，学生由被动的接受者、服从者、执行者变成了主动的研究者、探索者、发现者。在这一实施过程中，要遵循以下原则：（一）指向性原则。“指向性”是指问题的设计要针对本节课的教学目标，更要指向本节课的重点和难点。利用指向性原则设计问题，可帮助学生明确学习目标，使学生的学习更具时效性和针对性。譬如说，在新课导入时，教师应设计一些既针对本节课的目标，又能提出本节课任务的激趣性问题。这样，在很短的 31时间内既调动了学生的学习的积极性，又很自然地引出了新课的学习任务。（二）循序渐进原则。问题教学法在实施的过程中，教师创设问题情景，引导学生提出问题，解决问题，要有一个由浅入深，由易到难，循序渐进的过程。因为
82、学生的思维总是从具体到抽象、从个别到一般、从简单到复杂的，教师循其“序”而引导，可以使学生课堂思维活动富有节奏感和逻辑性。（三）适时原则。实践证明，教师准确地把握好教学时机，有利于在思维的最佳突破口点拨学生，启迪学生智慧的火花。所谓不愤不启，不悱不发，即是要求教师当学生心愤求通、口悱难达，急需教师启示开导的时候，适时而教，便如时雨化之，可收到良好效果。同时，教师启发思维的问题的深度的难易要适中，速度的快慢要得宜，广度的大小要恰当，量度的多少要相应，恰到好处地引发学生积极思维，跳一跳，摘桃子，使学生的思维提高到最近发展区的水平。（四）散序性原则。“散序性”是指问题本身要体现发散性和开放性，而问题
83、之间要尽可能地体现渐变性和有序性。一般来说，开放性的问题能使课堂氛围活泼一些，更能激发学生的发散性思维和创造性思维。但发散性的问题如果零乱而突兀的话，就会使学生感到无所适从。实践证明，发散性问题的设计最好建立在一两个原型题的基础之上，然后对原型题设置多个小问题进行横向扩展和纵向加深，而这种变化不能离开其渐变性和有序性。这样的问题设计可以实现课堂上的高密度和快节奏，培养学生思维的有序性和敏捷性。六、实施问题教学过程中应注重学生的主体性（一）体验数学与实际生活的密切联系 数学问题，不论是实际问题还是源于数学内部的问题，都具有情境性。在实际问题的情境中，学生借助已有的生活经验，融通各方面的知识，探寻
84、解题的途径，从而体验到抽象的数学与火热的生活之间的密切联系，形成正确的数学观。（二）体验解决问题策略的多样性 解题策略的开放性，经常被认为是好问题的标准之一。通过问题解决策略，让学生体验到解题策略往往不止一种，解决问题的策略在某种程度上就是寻找多种解法并判断各种解法优劣的过程。（三）体验与人合作解决问题的必要性 合作交流是问题教学法的重要方式，而引起并维持学生合作交流的最直接因素，是对所面临的问题渴望解决而友不能独自解决的情绪状态。在教学中设置适度障碍的问题可让学生感受到交流带来的愉悦，体验到合作交流的成功感。在合作交流解决问题的过程中，认识自我，接纳他人，逐步提高合作能力。（四）在解决问题过
85、程中体验成功 教学中问题的情境设置在学生的最近发展区，使学生在探索中遭遇障碍，在克服障碍之后获得的体验。这种成功的体验是学生数学学习兴趣的内在源泉。问题，是思维的起点,是数学的心脏。问题教学，是一种有效促进学生思维活动和提升自主学习能力的课堂教学策略。实施问题教学，一定要注意培养学生的问题意识，培养学生独立思考和合作学习的习惯和能力，只有这样，才能使学生的科学精神和人文素养和谐发展，把新课程的课堂教学改革真正落到实处。参考文献：1 史宁中 数学新课程标准解读 M 北京师范大学出版社 2012 2 涂荣豹，宁连华 中学数学经典教学方法M 福建教育出版社 2011 323 曾大洋主编如何上好一堂数
86、学课 M 华东师范大学出版社 2009 4 波利亚主编 怎样解题 M 上海科技教育出版社 2011 数学课堂教学的艺术就在于能否很好地调动学生的非智力因素参与学习 珠海市斗门区城南学校邝 新 庆 内容摘要学生是课堂学习的主人，教师是课堂学习的组织者、引导者与合作者。学生的课堂学习是受智力和非智力因素相互影响的，而又以非智力因素起决定作用的过程。教师如何提升自己的课堂教学艺术，给学生创造一个宽松、和谐、快乐的学习环境，让学生更好、更多地掌握知识，这是新课程课堂教学的基本要求。本文是笔者在新课程数学课堂教学中如何调动学生的非智力因素学数学的几点体会和感悟，供同行参考。关键词 兴趣 情感 意志 信任
87、 信心 爱因斯坦有句名言：“成功=智力因素+非智力因素”。所谓非智力因素是指智力因素（知觉、记忆、思维等）以外的能作用于学习的条件，它包括动机、兴趣、情感、毅力、性格等方面的心理因素。从人类智慧行为的心理结构看，非智力因素属于非认知性心理机能系统，即动力系统，在学习上发挥着动力、定向、强化和创造等方面的功能。可以这么说，一个学生学习成绩的优劣除了与记忆能力、观察能力、思维能力等智力因素有关外，还在很大程度上与动机、兴趣、情感、意志等非智力因素有关。所以，我们在重视学生智力发展的同时，也必须重视非智力因素对智力的“催化”作用。下面结合初中数学课教学实践，谈谈在教学中充分调动非智力因素的几个策略。
88、一、发挥趣味数学奥秘的魅力，激发学习兴趣 兴趣是最好的老师。它能使人集中精力去获得知识，是学习活动的强大动力。古今中外，许多教育理论家都阐述了兴趣对学习过程的重要作用。孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”（论语）。教育学家乌申斯基也说：“没有兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。”我们现代的教育实践也充分说明，培养良好的兴趣是减轻学生的负担、促进学生人格健全发展的重要环节。反过来说，没有兴趣的学习无异于一种苦役。但兴趣的产生，往往要靠外界的刺激和诱发。这就要求教师经常全面、细致地观察学生兴趣的倾向性，从而激发学生形成良好的学习动机，以确保教学目的的达到。1、精心设计导入，激发
89、认知好奇心 富有挑战性、启迪性、鼓动性的新课导入是教师孜孜追求的一种境界。新颖别致的导语设计，趣味横生的新课导入，对激发学生主动探新，维持持久的探新兴趣将产生重要作用。如在直线的教学中，我首先向学生演示了一根能伸长的教鞭和一根拉紧的细线，然后以低声缓慢的语气向学生描绘：“这是一根神奇的线，它能向两方无限延伸以至无穷。同学们可以想象，它能穿过教室的墙壁、校园、田野、村庄，穿过高山、大海，以至茫茫的宇宙而到达无限远处。这根神奇的线就是直线。同学们有兴趣与我一起来进一步探究它的有关知识吗？”通过生动形象的描绘，学生主动探索新知的兴趣已被激活，收到了良好的教学效果。332、创设教学情境，激发探究认知兴
90、趣 数学课堂教学中通过创设情境来引起学生强烈的求知欲望，驱动学生自觉去探究新的知识，形成数学认知的良性循环，具有很好的推动作用。如在学习有理数乘方一节时，我首先向学生提出这样一个问题：一张报纸，如果将它连续对折 20 次，会有多厚？出示题目后，同学们都纷纷猜测，有的说 1 米高，有的说有 10 米高，同学们各抒己见，争论不休，但没有能说出正确答案。后来，我说出了正确答案（有 10 层楼那么高），同学们都很惊讶，他们感到不可思议，简直是天方夜谭。好奇心驱使他们产生了探索知识的欲望，也为学生下一步的探究活动提供了有效的途径和桥梁，有力地激发了学生认知的兴趣。3、精心设计练习，拓展探究兴趣 数学课程
91、标准指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。事实上教师通过一定量的创新练习的设计，让学生去主动探索问题的解决方法与结论，有利于激发学生潜在的创造意识，有利于开发学生的智力，有利于学生主动探索、主动创新意识的自觉形成。数学来源于生活，是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。生活中不少数学奥秘对学生最有吸引力，是大部分学生兴趣的倾向所在，最容易激发起学生的好奇心和求知欲，从而
92、表现出对数学知识的渴求，培养起对数学学科的兴趣。因此，以上激发学生兴趣的几点最好从生活中寻找素材。二、运用语言的情感诱导功能，创造良好的心理情境 心理学认为，情感过程是心理过程的一个重要方面，它对认识过程和意志过程都有重要影响。而且情感教育贯穿于智力教育的始终，对促进学生智力发展有着不可忽视的作用。所以，每个教师都应在教育、教学实践中重视对学生进行情感诱导，充分发挥其教育功能。数学教师的语言、表情、目光、行为等，都是情感传递的媒体，对学生学习数学的学习态度有着深刻的影响。实践证明，一个干净利落的手势，一个信赖的眼神，一句情绪激昂的话语，可以激起学生学习数学的积极性和自信心。情感诱导，包括语言诱
93、导、目光诱导、身教诱导等方面，这里结合平时的教学实践，重点谈谈语言诱导的做法。有“万能信息的载体”之称的语言，在实施情感诱导方面具有举足轻重的地位。在教学活动中，教师的语言起着情感诱导的重要作用，它不仅用于传播知识，而且还是交流思想感情，影响学生思想、品格、道德的工具。在教学中教师要非常注意自己的语言修养，力求简练、准确、生动、形象、通俗、直观、风趣、幽默，增强语言的表达力和感染力，从而达到增强教学效果的目的。教师若能在课堂教学中深入浅出、绘声绘色、生动形象、风趣幽默，再配合恰当的手势，那就会创造一种引人入胜，生动活泼的教学情境，就能引起学生的情感共鸣，唤起学生的学习动机，增强学生的注意力、想
94、象力、思维能力和记忆能力。假如在教学中语言平淡，动作呆板，照本宣科，甚至词不达意，学生就很容易疲倦甚至心烦意乱，其结果一定是事倍功半。在用公式法解二元一次方程的教学中，我首先会低声、显有神秘地说“同学们，今天我们要学习的是一条特别的公式，这条公式在数学上有美姑娘之称，十全十美。”，引得学生都笑起来了，觉得奇怪，纷纷讨论起来。这样，学生带着好奇在轻松、愉快的课堂上更好的接受了知识。因此，教师要善于以生动形象、风趣幽默语言，实施情感诱导，创造良好的 34心理情境，从而激发学生的学习情感，这样对提高学生的记忆力、思维能力和接替能力都有着积极的影响。三、利用名人为榜样，培养坚强的学习意志 意志是指人们
95、自觉地确定目标，并根据目标的支配，调节自己的行动，克服各种困难和挫折，从而实现目标的心理活动。意志是意识能动的反映，它无论对改造客观世界、改造人体内部的生理活动以及提高人的心理品质等无不起着重要的作用。前苏联教育家马卡连柯说：“意志、勇敢和目的性的培养问题，是具有头等意义的问题之一”。学生对某学科知识的学习，不可能不碰到困难，要克服这些困难，不能不靠意志来支撑。数学给很多初中生的感觉是抽象难懂、内容枯燥无味，公式、定理又多，是一门很伤脑筋的学科。所以，在这个阶段里学生没有树立坚强的学习意志，是不可能学好初中数学这门学科的。如何帮助他们克服畏难心理成了摆在数学教师面前的一个重要课题。榜样的力量是
96、无穷的。我认为在开学初的教学活动中，除了要及时培养学生对数学教师的信任和对数学学科的兴趣外，还要在教学中经常介绍科学家的成功例子，鼓励学生以科学家为榜样，在智慧活动中，始终保持自信、向上的积极心态。介绍中外科学家献身科学的事迹时，要联系书本上学到的内容。用科学家们在逆境中坚持学习，刻苦钻研和创造发明的事迹，来增强学生的学习意志，激发学生克服困难的信心和决心。例如，结合圆知识的学习，介绍祖冲之父子在数学上的伟大成就；结合学习三角形或二次根式时介绍数学家海伦，对数学的执着追求，终于发现了海伦公式等等。四、给予学生最大的信任，树立学生学习信心 自信心就是对自己实现个人理想、目标的坚信程度。它表现为接
97、受任务以后，对完成任务充满信心，并能提出完成任务的方法、步骤，有克服困难的决心。所以有人说自信是使人走向成功的第一要素。每个人只有相信自己，才能激发进取的勇气，才能最大限度地挖掘自身的潜力。而信任是培养学生自信心的前提，尊重、赞许与鼓励是对孩子最大的信任。这就要求我们在教育、教学活动中对学习成绩差的学生，要多一点鼓励，少一点冷漠，以情育人，不讽刺挖苦，而是多注意观察、分析、了解他们。一经发现优点，及时表扬，同时指出他们的智力水平、能力与学习好的同学相比较并不弱，而是他们的学习方法及学习意志比较薄弱，并善于观察，力求在学生遇到学习困难时予以及时的帮助和鼓励。当学生有失误时，应及时提醒，耐心指导，
98、并提供适当机会让他再尝试。例如，在课堂提问时，发现某学生答错或不会回答，这时切忌恶言批评，或讽刺挖苦，而应该及时启发，帮助他获得正确或接近正确的答案，下次再提问时，如果该生回答正确，应给予肯定和表扬。总之，人的学习和成才过程，是一个智力与非智力因素相互影响，而又以非智力因素起决定作用的过程。所以，我们在数学教学的过程中，要集思广益，努力调动学生的非智力因素，这是大面积提高数学学习成绩的有效办法，同时也是素质教育的一项重要内容，值得我们每位教师在教学中不断探索、不断改进。参考文献：1、中国教育学会主办的中国数学教育2012 年 9 月版，朱广科所著的且把金针度与人谈如何引导学生积极参与教学活动；
99、2、中国教育学会主办的中国数学教育2010 年 12 月版，李天舟所著的以 35学生发展为本，构建数学课堂有效教学；3、中国教育学会主办的中国数学教育2010 年 11 月版，顾广林所著的课堂教学中数学文化教育价值的挖掘。实施情感教学 引领数学学困生走出困境珠海市第七中学 戴修亚摘要：在初中数学存在一定比例的学困生，且随年级增长比例日趋增大，严重影响了学生的健康成长.在教学中尝试通过:创设和谐融洽的教学环境，设置梯度分层的学习目标，优化灵活有效的教学策略，渗透理想教育等实施情感教学,帮助学困生走出困境,提高学习数学的积极性和主动性，从而提高数学成绩,达到让每个学生都得到发展的目的.关键词：数学
100、学困生；情感教学 数学学困生，就是指那些智力正常，没有感官障碍，而在数学学习上出现困难，暂时不能达到数学教学大纲的基本要求，学习成绩明显低于同年级的学生究其原因,通常并不是他们的智力低下，不够聪明，而是情感发生了障碍，贪玩、胆怯、缺乏自信、没有乐观向上、积极进取的良好态度、无法与同伴及老师密切合作等.经过教学实践发现:除了个别天生愚钝的学困生，绝大多都是在后天成长中逐步形成的这一类孩子通过情感教学都可以有效地改善他们的学困状态.即情感教学，就是指教师在教学过程中，在考虑认知因素的同时，充分发挥情感因素的积极作用，使认知目标、操作目标、情感目标熔为一体，完善教学目标，增强教学效果的教学 一、创设
101、和谐融洽的教学环境，建立学习的信心 古语说：“亲其师而信其道”要学生亲其师，教师必先爱其生热爱学生是实施情感教学的前提和基础，有是数学教学能否取得成功的关键所在所以在教学过程中，教师应对学生倾注满腔的爱心和热情，建立亲密、友善、民主的师生关系，促使师生心理和谐统一，并在交往中调动学生学习情感（一）建立真诚互信的师生关系 教师要真诚的对待每一位学生，对学困生要更如此要转化、帮助学困生就要深入地理解他们的内心世界，以诚相待，不仅使自己成为他们学习进步、素质发展的引导者的角色，更要成为他们信任的朋友消除了教师与学困生之间的心理障碍，师生之间真心沟通，才有 36可能发掘“亮点”，引发他们各方面的积极性
102、对学生的举动，老师要设身处地站在学生的角度认真分析，处处为学生着想，使得教为学服务 例如：学生作业未交或上课不专心，就要分析是什么原因：学生身体好否家中有何事故？然后予以教育教育时也多表扬鼓励，尊重学生对每个学生还要多给予期待，例如：位平时发言木纳的学生，第一次举手回答错了，要表扬他：虽然回答错了，但很有勇气还要给他更正的机会，更正对了，更要大力表扬这样，使每个学生都“抬起头来”必然产生良好效果（二）营造轻松愉悦的课堂氛围 轻松愉悦的课堂氛围有利于调动学生的学习的积极情感，激发学生学习兴趣由于数学课比其它课更沉重也更单调，而且学困生在上课时对于知识结构的不熟悉更容易分散注意力，所以在教学中，教
103、师更应该全身心投入，充满热情，保持愉悦心情，并将愉快传递给学生，让教学在和谐、宽松气氛中进行，让学生因爱你而爱你所教的学科 例如：讲授“方差”时，可把一尺子带入课堂预先指定三个身高中等的学困生为一组，另一组则由一位特高、一位中等高、一位特矮的三学困生组成然后让他们上来量身高，在黑板上记下结果两组学生的平均身高差不多，方差却大不同 学困生通过自身的参与，调动了他们的积极性，轻松愉快的体会出方差的意义，得到老师的充分肯定和赞扬这样，不仅能活跃课堂气氛，还能提高学习效果赞可夫曾说：“我们要努力使学习充满无拘无束的气氛，使儿童和教师在课堂上都能够自由地呼吸如果不能造就这样的教学气氛，那任何一种教学方法
104、都不可能发挥其作用”二、优化灵活有效的教学策略，享受学习的美感“数学是思维的体操.”数学是逻辑学也是美学，不但培养人的思维形式，还能磨炼一个人克服困难、解决问题的毅力，锻炼并强化大脑的思维能力，发展思维是提高学生素质的重要方面能让学生体验享受这种体操的韵律美、艺术美、创造美 通常学困生的思维通常是只会沿着一个方向思考，只能套用固有的知识机械模仿，而不会创新因此，要开发学困生的思维就要教育学困生逐渐养成独立思考问题的习惯，要善于独立分析问题和独立解决问题，不要盲从，不要依赖，不要轻信，凡事要问个为什么作为教师在课堂上要优化灵活有效的教学策略,要千方百计地为学生创设促进思维的情境，叩开学生数学思维
105、的心扉（一）巧设课堂导入，激发学困生探求欲望 37新课标强调，“数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的规律”数学新课的导入,要求具有趣味性,能激起学生的学习兴趣,激起学生的求知欲;具有鼓动性,能调动学生的课堂情绪,使之跃跃欲试，吸引学生的注意力.导入这一关把握得当，可以为整堂课的成功教学奠定良好的基础.因此,初中数学在“导入”新课这一环节中,必须根据教材内容和学生的具体实际设计不同的导入方式 例如，在讲“生活中的立体图形”时，可以先布置学生去制作简单的几何体，如三棱锥、四棱锥、长方体，正方体等，上课开始，由学生来展示他们的成果，由于学生已经通过动手具体的了解了这些简单几何体，
106、对它们有感官上的认知，也有了往后探求的欲望,所以在课堂上进行的讲解就很顺利，学生也能很快的接受新课的知识 动手操作的效果是使数学基础知识薄弱的同学，通过动手操作实验，可以提高学习的求知欲同时，在今后的知识运用中，可以避免不该出现的错误.动手操作是激发学生创新思维的源泉，能帮助学生巩固数学知识，促成教学的良性循环因此上课时应适当组织学生动手操作和实验，通过动手动脑去探索新知识，主动发现欲学新知识的奥秘，引发学生探索的兴趣 （二）学会归纳总结,提高学困生自我成就感 新课标的基本理念是积极倡导学生自主、合作、探索的学习方式学生是学习的主人，教师是学习活动的组织者和引导者在组织和引导的过程中，教师要注
107、意引导学生，让学生自己发现规律，总结规律，这才符合新课标的基本理念.如在讲解乘法公式时，可以利用图示法让学困生形象地掌握公式中的字母可以表示任何整式如对于平方差公式可形象地用 22()()+=来表示，教会学困生用多种方式及不同的角度进行信息加工这样可以扩展思维通道，而使学困生克服惰性和惯性心理，使思维变得灵活、新颖,使学生很有成就感 又如在学习反比例函数的概念时，可结合正比例函数、一次函数等相关知识，以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解.在黑板上依次出示辨析题目：下列哪个等式中的函数中 y 是 x 的反比例函数？,4xy=3=xy，16+=xy，123=xy 此时学生进入思维运作状
108、态，开始琢磨那一个是反比例函数，作为教师要注意引导学 38生对反比例函数概念的理解，总结看形式xky=，等号左边是函数 y，等号右边是一个分式。最后，总结反比例函数xky=（k0）还可以写成1=kxy（k0）或 xyk（k0）的形式。这样的教学设计，使学生完全掌握了基本概念，提高解题能力，又培养了“归纳”这一基本技巧 这样即强调了学生的自主学习，又让学生在学习活动中学会自己归纳，自己总结规律，既符合了新课标的基本理念，又让学生学到了知识，得到体验成功的机会感受到学习带来的成就感.（三）丰富教学方式，增强学困生学习情趣 经常变换教学方式，改变数学教学呆板、单调的缺陷，让学生时常有新感觉，以增强学
109、习数学的情趣 传统的数学教学形式基本上是：老师讲，学生听，老师提问，学生回答教学方式单一而呆板，课堂教学气氛严肃、紧张又充满压抑感，效果不理想，久而久之，学生易产生厌学情绪.在教学中，若能经常变换教学方式，充分利用学生的手、脑、眼，调动其积极性和主动性，学习过程将变得轻松愉快，生动活泼 比如在讲解相似三角形的知识时，可先让学生解下面的题目：如图 1，在ABC 中，DEBC，AD：DB=1：3，DE=5，则 BC=.故意让学困生上来做在黑板上，让其他同学明辨真伪.结果错解：ABC 中，DEBC，ADEABC，DBADBCDE=，即315=BC，故 BC=15.这时我让其他同学明辨真伪.不少学生一
110、时琢磨不定，疑惑顿生，也就要求解惑.教师抓住时机，启发和帮助学生特别是学困生找出错解的根源：三角形的对应关系考虑不清，没有找准对应边.错解中ADE 边 AD 的对应的是ABC 的边 AB.此时给出正确的解法：ABC 中，DEBC，ADEABC，ABADBCDE=.而 AD：DB=1：3，AD：AB=1：4，即415=BC，故 BC=20.并且告诉学困生解决这类题型的策略：两个相似三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；反过来，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角 A D B E C 图 1 39这样在学
111、困生生力所能及的范围巧设悬念，使他们能从错误的解法中，领悟到正确的解法，并能愉快地接受一些解题方法和技巧.（四）减少过多课业负担，提高学困生幸福指数 减少学困生过多课业负担，对提高学困生的学习效率起着不容忽视的作用学困生课业负担过重，每天只是为了应付老师的作业，整天疲倦、困乏，昏昏沉沉，更有甚者为了完成任务而抄袭作业，这也是导致学生厌恶学习数学的一个重要原因.所以，数学教师在教学中，要注意减轻负担，布置作业时，可以进行分层教学，对学困生尤其要精选典型题目.在批改作业时，不要一看到答案不对就打“”，应指出对的部分，划出错的地方，待其改正后，再给予评分.如果改对了，还可以打满分给予鼓励.为了激励学
112、困生，还可以在他们之间展开竞赛，看谁进步快.让他们感到试一试就能行，拼一拼就能赢.让他们获得幸福感，这样避免抄袭作业，也培养了他们学习的主动性和自觉性 三、设置梯度分层的学习目标，体验学习的成功 心理学的研究成果表明：兴趣的产生和保持有赖于成功当学生在某一方面获得了一次的成功后，即使他们的“成功”只不过是解决了一些不很复杂的习题，学生也会像完成了一个重大的科研一样，感到高兴，继而对数学产生亲切之感此时必然会反馈出巨大的内驱力，驱使他们向着第二次、第三次的成功迈进，从而形成了稳定持续的兴趣所以，教学中教师要努力创造条件，使每一个学生都能在不同的基础上取得不同层次的成功，使他们体味到通过自己努力所
113、取得的成功的快感如在韦达定理的教学时，先让学生解下列方程：x25x6=0；2 x27x+5=0；x2+px+q=0 （p24q0）；a x 2+bx+c=0 (b24ac0).再引导学生求出两根之和与两根之积，最后再启发他们寻求方程两根与方程系数的关系经过设置梯度分层的学习目标，让学生动脑动手，最终推导总结出了韦达定理的表达式同学们高兴地说：“我们也能像韦达那样发现定理了”学困生在学习数学时，因为强烈的挫折感，对数学感到无奈，失去兴趣从而不愿意学习数学所以我们在设置学习目标时要根据学生的个体差异梯度分层使学困生得到积极的体验，并从学习中获得兴奋和快乐,从而体验到学习的成功 40四、寓理想教育于
114、教学中,提高学习的内在动力 数学的育人功能是隐含于数学教学中的，它以数学知识为载体，以数学思想方法、数学思维品质为突破口去揭示事物的本质属性.为了激发学困生求知欲，增强民族自豪感，教学中教师可以通过对教材的深入研究，充分利用数学问题的设计及课外数学活动的开展有目的地培养学困生的“爱国主义”思想，例如在比例教学中自给问题：例如：上海世博会已于 2010 年 5 月 1 日举行，这是继北京奥运会之后我国举办的又一世界盛事，主办机构预计这届世博会将在一张比例尺为 11000 的地图上，画一个三角形南非国家馆的面积为 202cm，那么这个南非国家馆的实际面积为 2m.通过这些涉及国家建设、地理知识、申
115、办奥运会、控制物价、发展生产、扶贫救灾等为民办实事的事例和数据的问题的分析和解决，使后进生在学习数学知识的过程中进一步了解祖国的锦绣山河，增强热爱祖国、热爱家乡的感情，关注国家大事和经济发展，富有感染力.经过问题的解决和活动的开展，进一步激发学生学习数学的兴趣和爱国热情，使后进生在热爱祖国、爱家乡的同时，潜移默化地把这份感情化为学习的内在动力 当然，对学困生实施情感教学的策略还有很多.教师作为培养学生全面素质的引导者，面对学困生，要积极思考与探索，给他们以充分的爱心、关心和耐心，寻找“应试教育”和“素质教育”的结合点，努力提高自身教育技艺，帮助学困生逐步走出困境 参考文献：1 唐少旺.数学课堂
116、中的情感教学J.湖南教育，2002，（9）.2 姜琳.数学教学中促进后进生转化的尝试J.黔东南民族师专学报，2001，（6）.3 胡雯.浅谈中学阶段对数学后进生的教育艺术J.龙岩师专学报，2002，（12）n 连 m 型内接图形面积的探索 初中几何问题探索实例 珠海市拱北中学 梁春 崔志锋【摘 要】本文展示了一个初中几何问题发现、研究、解决的全过程，并得到了相应的结论整个探索过程从简单到复杂，从现象到本质逐步深入，是数学问题探索的一个典型第一章和第二章独立成文已公开发表 【关键字】n 连 m 型 阴影面积 面积比 仿射变换 41第一章：问题的出现阴影面积改变的原因 1 问题的出现 初三复习课刚
117、好到了平移的内容笔者向学生出示了一个题目：如图 1，三个矩形（图 13），长都是 30m，宽都是 20m，横向的路口宽都是 4m，纵 向 的 路 口 宽 都 是 5m，则 这 三 个 图 的 阴 影 部 分 面 积 分 别是 ；（答案：200m2；200m2；200m2）通过平移把图 1 转化为图 2，因为在平移过程中两条路的面积没有变化，重叠部分面积也没有变化，所以图 1 等价于图 2，之后用总面积减空白面积易求得得阴影部分面积为 200m2同理图 3 也可以转化为图 2讲解完毕，笔者顺势提出：“即使两条路都倾斜，结果还是一样的（如图 4）”谁知，第二天就有学生拿了一个题目：如图 5，E，F
118、，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的 中点，正方形的边长为 2，则阴影部分的面积是（）（A）1（B）65 （C）54 （D）43 若按前一天的“说法”，图 5 可以转化为图 6，易得阴影部分的面积为 1，选A而正确的答案却选 C，这是为什么呢？仔细观察，图 5 实质是弦图的一种变形，能否用勾股定理求解呢？易证：ADGDCF(SAS)，从而APD=90，阴影部分图形是正方形 易证：APDDNC(AAS)DP=NC PG 为DNC 的中位线，PD=PN=NC(令其为 x)222DCDNNC=+，2222)2(=+xx 542=Sx 2 问题的解决 由此可知笔者教学时提出“即使两条路都倾斜，结果
119、还是一样的”的观点是错误的，那为什么两条路都倾斜时，阴影部分的面积会改变呢？该面积又如何计算呢？只需将图 7 与图 8，图 9 两种情况进行对比即可 如图 7，易得阴影面积为：S7=nabmab（1）（同向倾斜）若两条路都逆时针倾斜，设两条路路口宽为 a，b，倾斜角（这里指偏离垂直方向的角）分别为，如图 8，EG=m，EL=n，重叠部分是ABCD。过 A 点作 AMBC，ANCD，PQEK FEQ=，易得EPQ=，PQ=acos=AM，同理 AN=bcos 图 1 图 2 5m图 3 图 4 图 6 b a n 图 7 m A B C D E F G H N M P 1 3 图 5 2 42E
120、FB=90，ABC=EBF=90，CD=AB=ABCAMsin=)90sin(cos+a=)cos(cosa，SABCD=ANCD abab=)cos(coscos，S 阴影=ANFG+AMEKSABCD=coscoscoscosnamb+SABCD=bmanSABCD SABCD S7（2）（异向倾斜）若一条路逆时针倾斜，另一条路顺时针倾斜，如图 9，推导过程同上 不过，此时ABC=90，SABCD)cos(coscos+=abab，S 阴影=ANDH+AMEKSABCD=bmanSABCD SABCD ab SS7 在本文中，路口宽和路宽是不同的两个概念，前者是 a 或 b，后者是 aco
121、s或 bcos由上述公式可知，阴影部分面积只受到重叠部分面积的影响而重叠部分的面积除了受分子（实质是路宽）的影响，更重要的是受分母（实质是倾斜角）的影响所以，当两条路都倾斜的时候，重叠部分的面积不再与倾斜之前相同这就是图 4 与图 13 阴影部分面积不等的原因 3 问题的拓展 猜想：类似图 5 的阴影面积会不会有一定的规律呢？如图 10，在边长为 3 的正方形中，E、F 是 CD 边上的两个三等分点，连接EA过 F、C 分别作 FG/CH/AE，易证 G、H 恰好为 AB 边的两个三等分点取BC 边上的两个三等分点作同样的处理此时阴影部分的面积是多少呢？易证AMD 是直角三角形，阴影部分图形是
122、正方形，31=AMDM，设 DM=x，则2223)3(=+xx，1092=xS 如图 11，边长为 4 时，1716=S 当边长为 n 时，122+=nnS 综上所述，我们称以上小正方形为 n 连 1 型小正方形，其面积为 图 11 A M D C B D 图 10 M C B A H G F E b a A B C D E F G H M N P Q 图 8 K L a A B C E F P D N G M K H b Q 图 9 L 43122+=nnS（n2）类似地，如图 12，取边长为 3 的大正方形 ABCD 一边 CD 上的第二个三等分点 F，连接 AF，取 CD 边剩下的三等分
123、点及点 C，作 AF 的一组平行线对 CB边，BA 边，AD 边作同样的处理（这样会有一些线段是重合的）用类似的方法可以得到小正方形的面积139=S 如图 13，边长为 4 时，54=S 当边长为 n 时，422+=nnS 综上所述，我们称以上小正方形为 n 连 2 型小正方形，其面积为 422+=nnS（n3）同样，n 连 m 型的小正方形的面积为222mnnS+=（nm+1）为什么在同一种类型中，小正方形的面积都不一样，且都小于 1 呢？回看图 5 其实就知道原因了MP=AM，而 AM 是 RtAMH 的直角边所以AMAH=1，从而 S1 又 AM=HAM cos1，nHAM1tan=，1
124、cos22+=nnHAM122+=nnAM，因 n 值不同，AM 各不相同，从而导致边不同，面积不同 本章内容取自文献1.第二章：n 连 m 型小正多边形面积再探 笔者在第一章中，对边长为 n 的正方形内的 n 连 m 型小正方形的面积进行了研究，并得到了一般性的规律本章对 n 连 m 型内接小正多边形重新进行了定义和研究，得到了内接 n 连 m 型小正多边形与原正多边形面积之间的关系式该结论适用于任意正多边形和任意三角形这是对第一章结论的进一步丰富 1、正三角形的情形（1）如图 14，正三角形 ABC 中，D、E、F 分别为 BC、AC、AB 边顺时针的第一个三等分点，连接 AD，BE，CF
125、，内接成的三角形 A1B1C1称为 3 连 1 型正三角形，则71111=ABCCBASS（2）如图 15，把正三角形 ABC 各边 n 等分，AE=CD=BF=m 等分，连接 AD、BE、CF，记内接成的正三图 12(3 连 2 型)D C B A F E 图 13（4 连 2 型）D C B A F E C1A1B1EFACDB1 2 2 1 y x 1 x 2 x 图 14 44C1D1A1B1EFDAGCHB图 17 角形为A1B1C1，则222)2(111mmnnmnSSABCCBA+=，（2nm）简证如下：连接 AB1、BC1、CA1，易证AEA1CDC1BFB1，令其面积为 m，
126、又EA1CDC1BFB1A，其面积是 nm，又AA1B1CC1A1BB1C1，设其面积为 x，A1B1C1 的面积设为 y，由=DCADBAADCADBSmmnSSmmnS11，得+=+=+)()(22mxmmnmnyxmnxmmnmnyx，得=22)2()2(mmnnymmnnx，222)(mmmnnnS ABC+=，222)2(111mmnnmnSSABCCBA+=，（2nm）取 n=3，m=1，则得到 3 连 1 型的结论 这就是 n 连 m 型小正三角形与原正三角形面积的关系式 2、正方形的情形 如图 16，把正方形 ABCD 各边 n 等分，DE=CH=BG=AF=m 等分，连接 A
127、E，BF，CG，DH，内接成的正方形 A1B1C1D1称为 n 连 m 型小正方形设mxHCED=11，易得nxDD=1，C1C=D1D=nx，xmDH=，11DCxnmxm)(+=22121DEDDED=+，222)()(mnxmx=+，2222nmmx+=，ABCDDCBASS1111222)(nmmn+=，（2nm）注意到：1111DCBASABCDSnmmn+=222)(2222)(nmnmn+=若把 A1B1C1D1 的每一边都（n-m）等分，等分点以平行于正方形 A1B1C1D1 各边的方式连接，则形成2)(mn 个更小的正方形（如图 17），其面积为：S=2)(11111mnSD
128、CBA22222)(1)(mnnmnmn+=222mnn+=，B1C1A1FDACBEm(n-m)(n-m)my x m xx图 15 B1C1D1E1A1GHKLFBAEDCmnnm mmxnmxm)(+图 18 C1D1A1B1EFDAGCHBmnx nx m m mxnmxm)(+nm 图 16 45此即第一章中的结果 3、正五边形的情形 如图 18，把正五边形 ABCDE 各边 n 等分，EF=DL=CK=BH=AG=m 等分，连接AF、BG、CH、DK、EL，记内接正五边形为 A1B1C1D1E1则类似可得ABCDEEDCBASS111112222)(nxxmnm+=，（2nm）其中
129、o108cos22222mnnmmx+=4、正 k 边形的情形 类似的，对于边数3k的正 k 边形，n 连 m 型小正多边形与原正多边形面积比为：SS12222)(nxxmnm+=（*）其中kkmnnmmxo180)2(cos22222+=，k 是指多边形的边数，2nm 5、结论的进一步推广 以上结论对正多边形成立，对于任意多边形是否也有这样的结论呢？笔者发现对任意三角形，上述面积比不变证明如下：如图 19，在任意三角形 ABC 中，令 BC=na，AC=nb，AB=nc，A 到 BC 的距离为 nh，AE=mb，CQ=ma，BF=mc，连接 AQ、BE、CF，交点为 A1，B1，C1又DE/
130、BC 与 AQ 交于点 P，FG/BC 交 BE，AQ 于点 M，N，过 A1，B1，C1 作 BC 的垂线，垂足分别为 A2，B2，C2，反向延长线交 DE，FG 于 A3，B3，C3FG/BC，AFGABC，FG=(n-m)a MG/BC，EMGEBC，namnmnnambnbmbnbBCECEGMG=22，FM=FG-MG=namnmnamn2)(FMB1CBB1，)(22131mnnmBCFMBBBB=，1)(2212131+=+mnnmBBBBBB，)(2221mnnmnnmBBmh+=，hmnnmmnmnBB+=2221)(类似可得：hmnnmmnnAA+=22221)(，hmnn
131、mnmCC+=22221 NMPC2C3B2B3A2A3A1C1B1FDABCEGQn图 19 461111111CQCQCABCBBCACBASSSSS+=2121212121212121CCQCAAQCBBBCAABC+=ahmnnmmnn+=2222)2(21 ahnnhBCS ABC22121=，mnnmmnSSABCCBA+=222)2(111 这与正三角形的结论一致 本章内容取自文献2.第三章：n 连 m 型内接图形面积问题三探 经过第一章、第二章的探索，笔者发现，对于任意正多边形和任意三角形，其 n 连 m 型内接图形与原图形的面积比可以用一个统一的公式表示：22221)(nxx
132、mnmSS+=（*），其中kkmnnmmxo180)2(cos22222+=，k 是多边形的边数，2nm 本章先解释第二章中任意三角形成立的深层次原因，进而发现（*）式对平行四边形也成立最后还给出一个反例说明对其他四边形该结论不成立 1、深层次的原因 为什么任意三角形内接 n 连 m 型小三角形能满足（*）式呢？其深层次的原因是，从任意三角形到正三角形是一个仿射变换，而在同一个仿射变换下，两个多边形的面积之比不变 下面先来介绍仿射变换的基本概念及有关性质3：平面内的点之间的一个一一变换：xy=2111aa 2212aayx+21bb，2111aa 2212aa0，如果满足以下条件：(1)任何共
133、线点的象仍是共线点；(2)任何共线三点的单比不变，则此一一变换叫做平面内的仿射变换 图形经过仿射变换后不改变的性质称为仿射不变性质同素性、结合性、平行性是最基本的仿射不变性质图形经过仿射变换后，不改变的量叫做仿射不变量由基本的仿射不变性质与不变量还可以推导出一系列仿射性质：两条平行直线经过仿射变换后仍为平行直线；两相交直线经过仿射变换后仍为两相交直线；共点的直线经过仿射变换后仍为共点直线；两平行线段之比是仿射不变量；两个三角形的面积之比是仿射不变量；仿射变换不改变两个多边形的面积之比；仿射变换不改变两个封闭图形的面积之比 47现在给出第二章中任意三角形情况的解释：对于任意ABC，都有一个仿射变
134、换 把它变成一个正三角形。设ABC 中，AB=a，AC=b，如图 20 建立直角坐标系，通过变换 变成如图21的正CBA，aCABA=，=60CAB设变换 为+=+=yaxayyaxa22211211x，显然，只要能验证2111aa 2212aa0 就能判定变换 是仿射变换 设=BAC（0），则点 B(a，0)，C(bcos，bsin)分别对应点0)(B，a，)232(Caa，代入变换得，=+=+023sincos2sincos211122211211aaaaaababaababa 解得：=sin230sin2cos2122211211baaabbaaa 易得 01 )sin/(2)3()si
135、n2/()cos2(babba=sin23ba0 显然这是一个一一变换，并且满足仿射变换定义的两个条件，所以变换 是仿射变换故对于任意ABC，AB=a，AC=b，=BAC，都有一个仿射变换：=+=ybayybbaxxsin23sin2cos2把它变成一个边长为 a 的正三角形而由第二章知，对于正ABC，它的 n 连 m 型内接CBA的面积与原ABC 的面积之比为222)2(nmnmmn+再由仿射变换不改变两个多边形的面积之比得：任意ABC 的 n图 21xyCAB 图 20 xy C AB 48连 m 型内接CBA的面积与原ABC 的面积之比也为222)2(nmnmmn+这与前面证明所得结论相
136、符 类似地，对于任意平行四边形 ABCD，AB=a，AD=b，=BAD，都有一个仿射变换：=ybaytyxxsinco把它变成一个边长为 a 的正方形而由第二章知，对于正方形 ABCD，它的 n 连 m 型内接四边形DCBA的面积与原正方形 ABCD 的面积之比为222)(mnmn+再由仿射变换不改变两个多边形的面积之比得：任意平行四边形 ABCD 的 n 连 m 型内接四边形DCBA的面积与原平行四边形 ABCD 的面积之比也为222)(mnmn+2、一个其他四边形的反例 上述论证说明：（*）式对平行四边形仍然适用然而，对任意其他四边形是否也成立呢？答案是否定的以下给出了一个反例3连1型内接
137、四边形与原面积的比此时n=3，m=1，代入222)(mnmn+得到理论值为ABCDDCBASS111152=0.4，但下面反例的实际值与此有出入 如图22所示建立直角坐标系，已知A(-3，6)，B(3，12)，C(6，0)，O为原点点D、E、F、G分别为边BA、CB、OC、AO上的三等分点，可求得坐标D(1，10)，E(5，4)，F(2，0)，G(-2，4)连结AF、BG、CD、OE，利用直线解析式可求得 坐标)35156,712(A，)32834(，B，)724730(，C，)252456(，D文4给出这样一个结论：若三角形的 顶点为A(xl，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则|
138、)y(yx)y(yx)y(yx|21123312231+=ABCS 根据这个公式，我们可以求得四边形DCBA的面积1754408=S，而四边形ABCO的面积S=63故0.3998110254408=SS这与理论值0.4不相等 由此可见，（*）式对其他四边形不适用 3、总的结论 经过第一章、第二章以及本章的论述，对于边数为k的n连m型内接小面积与总面积的关系已经比较清楚了它们的比为 SS12222)(nxxmnm+=（*），其中，图 22yxCDABOBAGDEFC 492nm xf时，)(xf单调递增；当0)(xf时，)(xf单调递减此方法简单快捷而且适用面广。例 5 设函数,10,3231)
139、(23=af有,),(),0(0),(),0(0)(+aaxaaxxf 则 a 是函数)(xf的极大点（极小点），)(af是极大值（极小值）一般地，函数)(xf在闭区间ba,上可导，则)(xf在ba,上的最值求法：(1)求函数)(xf在()ba,上的极值点；(2)计算)(xf在极值点和端点的函数值；(3)比较)(xf在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值。例 6 讨论函数xxeexxf+=cos2)(的极值。解：()2sinxxfxeex=.令()0fx=，解得0=x。()2cos,(0)0 xxfxeex f=+=()2sin,(0)0 xxfxeex f=+=(4)(4)(
140、)2cos,(0)40.xxfxeex f=+=于是，0 是函数()f x 的极小点，极小值是(0)4f=。例 7 求函数xxxf3)(3=在23,3上的最大值和最小值。分析：先求出)(xf的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间23,3上的最大值和最小值。解：由于)1)(1(333)(2+=xxxxf，则 当1,3 x或(23,1x时，0)(xf，所以1,3，23,1为函数)(xf的单调 63增区间；当()1,1x时，0)(xf，所以1,1为函数)(xf的单调减区间。又因为89)23(,2)1(,2)1(,18)3(=ffff，所以，当3=x时，)(xf取得最小值 18
141、；当1=x时，)(xf取得最大值 2。参考文献 1、李秋凤导数在函数问题中的应用中国科技信息，2006 2、刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德薪，刘宁.数学分析讲义（M）（第五版）下册.北京：高等教育出版社.2008 3、王雪佳 浅谈导数在数学中的应用（A）,哈尔滨学院，2009 浅谈数学课堂中的导入艺术 珠海市斗门区横山中学黄启忠【摘 要】课堂导入是教学的基本环节，教师有创意的导入，有利于引发学生的学习兴趣，有利于形成学生积极热烈的学习情感。在数学课堂教学中，可从以下几方面导入：1.创设情景，激发兴趣；2.学生活动，建构新知；3.联系实际，灵活运用；4.设障导入，引起重视。通过这样的导入，可以达到唤
142、起学生的求知欲,促进学生主动投入、积极思维的目的。【关键词】导入 兴趣 活动 实际 设障 导入新课，就是通过各种方法引出要讲述的课题，把学生领进学习的“大门”。如果一堂课的开始教师生动活泼、引人人胜地导入新课，学生就会兴趣盎然、精神集中地投入新课的学习，就会产生良好的教学效果。课堂教学是一门艺术,导入更是艺术中的艺术,对一堂课的成功与否起着至关重要的作用。美国教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣”，好的课堂导入能激发学生的兴趣和求知欲,提高整堂课的课堂教学效率。俗话说：“良好的开端是成功的一半”。导入关把握得当，课堂教学就成功的一半。因此，教师对新授内容的巧妙的导入，对培养
143、学生的学习兴趣，激发学生的学习求知欲，有着十分重要的意义。下面，笔者从四个方面来谈谈对七年级课堂导入艺术的认识。一、创设情景，激发兴趣教师在教学中要善于联系教材与学生的实际，设置生动有趣的教学情景，提出富有启发性的问题，激起学生的好奇心，激发创造思维的火花。课堂实录一：正数与负数 授课时间：2009 年 9 月日 师：时间：2008 年冬天的一个早晨 地点：北京天安门 事件：寒假到了，小明一家从珠海到北京来旅游，正冒着雪花观赏雪景。（停留数秒，让学生感受此时创设的情境）师：如果你是天气预报员，请问，此时此刻的温度是多少？学生甲：零度以下 10 摄氏度 学生乙：零下 7 摄氏度 虽然“天气预报员
144、”的误差较大，但在同学的模仿中，用了“零度以下”或“零下”的字眼，这就比较自然地引出负数的概念。如此引入，给学生以新、64奇之感，以“趣”引路，以“情”导航，把僵化的课堂教学变成充满活力的学习乐园，让学生展开想象的翅膀，吸引学生的参与，变“苦学”为“乐学”。二、学生活动，建构新知 活动是个人体验的源泉，在数学活动中学习数学，建构新的知识、新的信息，因势利导，帮助提高学生的思维能力。课堂实录二：七年级数学 同类项 授课时间：2009 年 10 月日 教师拿出一小袋硬币。师：哪位同学能帮我数一下这一共有多少钱？（学生争先恐后，非常积极）（学生甲）把硬币一个一个从口袋拿出来，边拿边数。5 角，1.5
145、 元，2 元，三分钟后答：一共 8.3 元 （还有学生在举手）（学生乙）把 1 角的硬币 10 个 10 个地拿出来，把 5 角的硬币 2 个 2 个地拿出来。二分钟后答：一共 8.3 元（学生丙）把桌上的硬币分堆。一堆全是 1 元的，一堆全是 5 角的，一堆全是 1 角的。然后分别数出每一堆的数量。一分二十秒答：8.3 元。师：请问，如果这满满的一罐，你会怎样数，选择哪位同学的数法？下面很多声音在说会选择第三位同学的数法。师：为什么？又有声音在说是因为分类。也有部分同学（预习过新内容）说是同类项。师：很好。在数学中，对整式也有一种类似的分类。这就是同类项。课后，有同学说:原来合并同类项和数钱
146、是一个道理。不错，数学就是从实际生活中来的，并不是凭空捏造出来的。“数学教育，源于现实，富于现实，应用于现实”。作为数学教育工作者，我们理应让学生意识、体会到这一点，让学生对数学有“源头”意识。三、联系实际，灵活运用 生活中处处有数学的存在。培养学生数学的应用意识，教会学生去观察生活，领悟生活中的数学因素，要注意课堂中实际生活的渗透，巧妙设置情境。课堂实录三：七年级数学 有理数的加法 授课时间：2009 年 9 月日 出示投影：“（-3）+（+2）=？能否根据自己已有的经验探索结果？”（学生讨论）学生甲：（-3）+（+2）=-1。如：以正东为正。向西走 3 米，记作-3，再向东走 2 米，记作
147、+2 米。整个过程向西走了 1 米，记作-1。因此，（-3）+（+2）=-1。学生乙：我欠小王 3 元钱，记作-3。第二天，小王向我借了 2 元钱，记作+2。结果我还欠小王 1 元钱，记作-1。因此，（-3）+（+2）=-1。师：刚才两位同学根据自己的实际经验探索出（-3）+（+2）=-1。同理，我们也可以探索其它有理数的加法运算的结果。65由此枯燥的法则引出课题，一则学生有兴趣，二则让学生觉得数学公式也是有来历的，三则让学生自信，因为自己也可以推导法则，过一把探索、创新的瘾。四、设障导入，引起重视 教师在导入教学过程中，还可以设置障碍的方式，激发学生的求知欲望，引起学生的好奇心。课堂实录四：
148、七年级数学 代数初步知识的活动课 授课时间：2009 年 9 月日 师：我们初一（5）班一共有 30 位同学。请问，如果每两位同学均相互问候，握手致意，有多少同学知道你们一共要握多少次手？学生思索，似乎摸不着门，有同学比划一阵后，微微摇头，用渴求知识的眼睛看着老师。（由此激发学生的求知欲）师：如果只有两位同学，握多少次手？“1 次。”大家异口同声地回答。师：如果增加 1 位同学，是 3 个同学呢？增加几次？“增加 2 次。”师：再增加 1 个，是 4 个呢？增加几次？“增加 3 次。”师：能找出规律吗？几乎所有的同学同时开始在作业本上兴奋地比划着。由同学们的书写速度可以知道，他们逐渐接受了将一
149、道“难题”一点一点“啃”下来的思维方式，化难为易，效果很好。这样，不仅教给了学生数学知识，而且还揭示了整个思维过程。如果仅仅用由易到难的教学模式，学生当时掌握的程度可能没有区别。但下次遇上同类的问题，设置障碍再化难为易、深入浅出会让学生回忆此时的情景，这样解答自然不在话下，思维能力由此也逐步提高。类似地，还可由天平的平衡问题导入等式性质的教学，由对温度计构造的观察导入数轴的教学，由银行存款、借贷问题导入一元一次方程的应用等等。总之，数学教学的开场白是为了整个数学课堂教学服务的，为整个课堂教学做铺垫，是为了让学生“收心”，为了解决问题而来的。因此，导入教学不是“孤立”的，整个课堂教学应该前后呼应
150、。教师善“导”,学生方能易“入”。导入的技巧远远不止以上几种,但无论哪种导入都要重视学生的年龄特点、认知规律及数学实际,并根据具体教学内容科学设计、灵活运用。比如,对生源比较弱的班级可以实施游戏导入、故事导入等,而对于基础比较好的学生可多用问题导入。另外,不是每一节课的内容都有十分巧妙的导入,所以不必每一节课都要绞尽脑汁去设计,有时可以开门见山“上节课我们学习了,这节课我们学习”一开始就明确目标,单刀直入。无论是设计情境以刺激学生的动机,还是提出问题以启发学生的思维,目的都是启发引导,唤起学生的求知欲,促进学生主动投入、积极思维,所以要短小精悍,达到目的即进入正题,切忌拖拉,影响新课教授。另外
151、,预设的导入方案要通过教学实践得到反馈信息,及时进行调整,提高实际效果。在导入教学的设计中，还应注意：1.自然合理。导入既是前面知识的继续，又是后续知识的开端，以一定的积累为基础。2.能引起学生的兴趣，使他们聚精会神地投入进来，在情感上与教师、教材贴得更近。3.使学生初步了解本节课的 66教学任务，无论在操作层面上，还是在思维层面上，做好迎接挑战的准备。4.教师情感的投入。只有教师全身心地投入到教学中，才能带动学生，引起学生对整个课堂的关注。【参考文献】1、鲁彬：:注重主体性教学的一个案例，中学数学教学参考，2009 年 2期。2、杨麦秀：数学教学中学生创新思维的培养，中学数学教学，2008
152、年第4 期。3、陈明芬：初中数学课堂导入的艺术及应用，2011.12 让创新来得更猛烈些吧 中学数学课堂创新教育之我见 珠海市第十中学陈晋 创新是一个亘古不变的话题，它以发掘人的创造潜能，弘扬人的主体精神，促进人的个性和谐发展为宗旨。创新教育一直是当今教育教学改革研究与实验中一个炙手可热的话题，就学校教育而言，数学教育是创新教育的主阵地之一。在中学数学课堂中如何进行创新教育呢？这是一直困扰并且激发我们创造力的一个问题。创新教育本身就不具有某种固定的模式，它本身就是一个开放的、创造的过程。但创新教育要体现在教育观念上，渗透在所有教育教学活动中，培养学生的一种创造能力将成为一种基本指向。如何在课堂
153、教育教学中实现创新教育？以下是我结合自身教学所做的一些探讨。一、更新思想观念，做个创新型教师（一）认识数学教育的全新观念 传统教育把“传道、授业、解惑”作为教师的基本使命，认为教育就是把基本的知识和技能传授给学生，知识就是目的。但随着知识的不断扩容、各种知识的多元化。作为跟随时代脚步的教师，已经不允许我们只是单纯抱着课本、参考书在那里埋头苦干。而是需要更多的通过各种途径去了解学生所喜欢的内容，善于接受的方式以及时下更为炙手可热的话题。然后通过挖掘教材，把与时代发展相适应的新知识、新问题引入课堂，使得它们和教材内容有机结合，引导学生对这些问题的深入探究。让学生掌握更多的方法，了解更多的知识，培养
154、学生的创新能力。（二）转变教师的教育思想 数学创新的能力主要体现在三个方面，即知识形成的能力、知识发展的能力和知识应用的能力。“创新教育”是以培养人的创造精神和创造能力为基本价值取向的教育，其核心是创造能力的培养。以前的教育模式过于看重学生学到多少知识上面，现在者放到了学生的学习能力上，让“学会”变成“会学”，“教，是为了不教”。创新教育的目的是培养学生的自学能力，让他们有能力在今后的学习生活中以创新精神和实践能力从容面对新知识和新挑战。（三）与学生成为朋友，学成一片 67在学习上成为他们的朋友，而不是学生心目中人人敬畏的老师，这是在教学的同时我们需要完成的角色转变。日常生活中的点点滴滴无不透
155、露着我们对孩子们的爱，每一堂课、每一次作业、每一次对话这让学生和我们的距离无不亲近。孩子们和我常常学成一片，我经常把题目中的小明、小强换成班里同学的名字，有些问题也拿自己开涮，这些处理都让他们非常的开心和有兴趣。同时经常转变自己的角色，我不是老师，而是学生中的一员，我们一起共同学习，很多时候站在讲台上的老师就是学生，而我则成为了在台下认真听课却又时常“刁难”他们的学生。通过对学生的引导和影响，促使他们去认识数学领域的新发现、新方法、新思想等。二、营造创新氛围，打造创新课堂（一）以新观念打造新课堂 在学习销售中的盈亏这节课时，课本先给了关于进价、利润、利润率的基本概念，最后以“卖出两件衣服售价均
156、为 60 元,其中一件盈利 25%,另一件亏损 25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?这样一道例题把所有知识点揉捏进去，以达到深化的目的。但单纯的上课模式会导致跳跃过大，很多学生从进价、利润、利润率的基本概念很难直接就升华到这道题目的理解。于是，我决定打造一个开放式的课堂。首先我让学生们自己仿照大型的商场超市拍多关于降价、打折、促销等标价签，然后每组设立一个商品展示环节并提出相应问题。对于初中学生而言，进价、利润、利润率这些单纯的概念是难不住他们的，我们设计了 3 个实物展示环节就把这些概念梳理得清清楚楚，同时因为都是学生们感兴趣的实物，大大提高了他们自我学习的兴趣。最后把课堂
157、变成商场，学生变成售货员和顾客，而课堂时间则成为他们自主思考的时间。售货员 1、展示商品“美好时光海苔”问题：售价 3 元，利润 1 元，进价_元。进价=售价利润 并引导得到等量关系的变形:利润=售价进价 售价=进价+利润 售货员 2、展示商品“德芙巧克力”问题：进价是 6 元，利润率是 50，利润是_元，售价应定为_元 售价进价进价利润率 并引导得到等量关系的变形:利润率-=售价 进价利润进价进价 售货员 3、展示商品“泰迪熊公仔”（1）标价 80 元，五折出售，现售价_元 售价=标价*打折的系数（2）若进价为 60 元，是盈利还是亏损？引出盈利和亏损这样的概念 学生通过这样的环节充分理解并
158、及时运用了这些概念知识后，再顺利成章的引出刚才的例题。“卖出两件衣服售价均为60元,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?68为了方便同学们思考，我安排了 2 名售货员分别拧着 2 件衣服展示，其他顾客很快就分别算出每一位售货员的盈利情况，再一整合就得到了最后的结果。学生们印象很深刻，随即对售货员另外展示的 2 件商品很快就算出了答案。这样的上课方式让学生们有了自主意识，他们通过社会上普通的生活演示就把数学理论与实际联系了起来。我也成功的把商场搬到了课堂，让课堂融入了生活。（二）以“请帮帮我”、“美丽的错误”让学生进行自主探索 在教学中我经常让学生
159、帮帮忙，故意给他们一个题目，让他们小组讨论完成设计解决方案、问题的发展、问题的解决几个环节的任务。最后，让学生在成就感中完成自主探索的过程，激发他们思考的兴趣。（老师）第一步:提出问题 有一堆足够多的 1 元与 2 元，现在我手里有 10 元的整钞想换成零钞，请帮我看看有多少种换法？（学生）第二步：设计解决方案 设换 1 元的 x 张，换 2 元的 y 张,得到方程 x+2y=10.(老师)第三步：问题的发展 这样对满足以上条件的 x、y 有何限制？（学生）第四步：问题的解决 由学生最后讨论出满足这个方程的非负整数解有 6 组（老师学生一起）第五步：总结 对二元一次方程有了更深一步的理解并总结
160、出当一个二元一次方程在某些特定（非负解等）条件下也能够算出特定的值。偶尔，我也会故意犯下一个错误，然后等自相矛盾时向学生寻求解决的办法。在讲利用求根公式法求一元二次方程的实数根中，设计了这样一道题：求一元二次方程230 xx+=的实数根.我和学生一起利用刚学会的一般形式:02=+cbxax推导出来的求根公式aacbxb242=，代入具体数字得：22(1)4*1*3411 1211122*122(-1)bacxab =求出的判别式是小于零的，那代入求根公式即要对一个负数开二次方，做到这里矛盾了，学生开始交头接耳“开不了啊！”于是学生的自我探索又开始了，很自然的就引出了当判别式小于零时候原方程无实
161、数根，这样的学习也让学生们印象深刻，学生在遇到认知冲突后对问题进行的质疑与探索引人深思。（三）运用多媒体平台，丰富创新色彩 先进的教育技术是创新的关键，是实现教育创新的必要前提。尤其是网络、多媒体的应用，极大的丰富了教学的表现手法和表现形式。形象的卡通人物、悦耳的声音、精美的课件都能够更好的激发学生听课的兴趣。课堂容量更大了，还能够及时的更新或者链接一个学生们感兴趣的课题来进行探索。尤其在学习数学中一些比较抽象的内容时，这些知识仅靠口头描述是很难勾起学生的想象、激发学生的思维的。这时让多媒体进入课堂，可以更直观的创设课堂教学效果，例如在讲二次函数2=(a0)ybxcax+图像与性质的教学中，可
162、以利用几何画 69板全方位、立体的、动感的展示图像的变化过程，这样加深了学生们对这些抽象化图形及变化的理解。还能运用多媒体展示几何图形的侧面展开过程、最短距离变化等这些抽象型的问题，这些效果都是传统的教学方式无法媲美的。这样的学习可以让学生化抽象为形象、化枯燥为乐趣，让学生由苦学变为乐学。三、让创新走进生活 生活是创新的根本，创新来源于生活。很多人认为多变化上课形式，搞点小发明、小制作就是创新。其实，创新来源于生活，每一个合乎情理的新发现、每一个观察事物的新视角都是在创新。我们可以从生活中遇到的很多问题为课题充分调动学生对自主性问题进行探索。如:飞机的螺旋桨用几片，这样用的好处是什么？跳伞时开
163、伞的最后时间怎么决定？搬家时大衣柜能否进得了电梯？彩票值得买吗?大西瓜和小西瓜谁的瓤占得比例大？还可以通过所学知识进行社会调查，如学校课间操最佳通行方案过山车中包含的数学问题水稻种植中的几何问题等等，这些与生活紧密联系的各种现象才是创新的根本来源，也是创新走向多元化的基础。综上所述，数学教育是实施创新教育的主渠道。看似平常单调的数学教学中也充满了探索创新带来的神奇、力量和美。在教学中要多培养学生的思维能力、应用能力、实践能力以及创新精神。就要求我们改革传统的教育模式，实现以“学生为主导、教师为引导”的生本课堂。并积极的进行探索和创新，以行动培养出适应未来发展所需求的创新人才。【参考文献】：1.数学教学论罗增儒、李文铭，陕西师范大学出版社，2003 2.新课程理念下中学数学教师行为观念的转变邱信华，2006 3.教育走向生本郭思乐 人民教育出版社 2001
