1、泉州科技中学2020-2021学年度第二学期 高二数学试卷 （时间：120分钟，满分150分） 出卷老师：徐兴中 审核老师：赵志毅班级：号数姓名一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.某同学从3本不同的哲学图书、4本不同的自然科学图书、2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有()A. 24种B. 12种C. 9种D. 3种2.已知f(x)=x2+ex，则f(0)=()A. 0B. 4C. 2D. 13.函数y=(3x2)ex的单调递增区间是( )A. ,0B. 0,+C. ,3，1,+D. 3,14.已知曲线y=f(x)在点(6,f(6)处的切线方程为y=2x+3，则f(6
2、)+f(6)=( )A. 11B. 18C. 17D. 305.函数fx=x2+xsinx的图象大致为A. B. C. D. 6.函数f(x)=13x3+ax22x+1在x(1,2)内存在极值点，则()A. 12a12B. 12a12C. a12D. a12或a127.定义在R上的函数f(x)=x5+ex+1，若a=f(12)，b=f(ln2)，c=f(e13)，则比较a，b，c的大小关系为()A. abcB. acbC. cabD. bacA. 函数fx有两个不同零点 B. 在区间(0,e)单调递增，在区间(e,+)递减C. 函数fx的极值点是(e,e) D. fef1x恒成立B对x(0，)
3、，不等式ln(x1)x恒成立C对x(0，)，且x1，不等式ln x恒成立三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法种数是_.(用数字作答)14.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有_种15.函数fx=lnxx在a,a+1上单调递增，则实数a的取值范围为 16.定义在R上的函数fx满足：f(x)+f(x)=2x2，且当x0时，f(x)0的解集(12,1);f(x)ln2+121.（本小题12分）已知函数f(x)=ex2(a+1)x+32，aR(
4、1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)12x2+2(a+1)2对x0,+)恒成立，求a的取值范围22.（本小题12分）已知函数g(x)=exax2ax，h(x)=ex2xlnx.其中e为自然对数的底数(1)若f(x)=h(x)g(x)讨论f(x)的单调性；若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围(2)已知a0，函数g(x)恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x20，得x2+2x303x0时，f(x)0，即在y轴右侧单调递增，故排除C，D选项故选A6.【答案】A【解析】【分析】本题考查导数在研究函数极值方面的应用，属于中档题，转化为导函数等于零在(1,2)内有解是关键
5、【解答】解：f(x)=x2+2ax2，函数f(x)=13x3+ax22x+1在x(1,2)内存在极值点，即x2+2ax2=0在(1,2)内有解，2a=2xx内有解，因为y=2xx在(1,2)为减函数，所以2xx(1,1)，即a(12,12)故选A7.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)=x5+ex+1，其导数f(x)=5x4+ex0，即函数f(x)为增函数，又由ln2lne=121ab，故选：C根据题意，由函数的解析式对其求导，分析可得函数f(x)为增函数，进而由对数的运算分析可得ln2lne=121e13，结合函数的单调性即可得答案本题考查函数的单调性的判定以及函数单调性的应用，关键
6、是利用函数的导8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点问题，属于中档题根据相关知识即可确定各选项的正误【解答】解：选项A：由f(x)=0得：x=0，所以函数f(x)只有一个零点0，故A错误；选项B：由f(x)=lnx1lnx20解得：0x0只需要直线y=ax是fx=ex1的切线，且切点为(0,0)，然后利用导数的几何意义即可求解【解答】解：fx=ex1与gx=ax恒过定点0,0，如图：，当a0时，两函数图象恰有一个公共点，当a0时，函数fx=ex1与gx=ax的图象恰有一个公共点，则gx=ax为fx=ex1的切线，且切点为0,0，由fx=ex，所以a=f0=e0=1
7、，综上所述，实数a可能取值为0，1，1故选BCD11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，考查推理能力和计算能力，属于基础题利用f(2021)+f(2021)为偶数即可求解【解答】解：设g(x)=asinx+btanx+cx3，因为g(x)=asin(x)+btan(x)+c(x)3=(asinx+btanx+cx3)=g(x)所以g(x)为奇函数.则g(2021)+g(2021)=0，f(2021)=g(2021)+d，f(2021)=g(2021)+d，f(2021)+f(2021)=2ddZ，f(2021)+f(2021)为偶数故选ABD12.答案BCD解析由exx1对x
8、R恒成立，结合对称性可知，对xR，不等式ex1x恒成立，故A不正确；由exx1，且x(0，)，两边取对数，得xln(x1)，即ln(x1)0，当x(1，)时，f(x)0，f (x)maxf (1)0，则ln xx10，即ln x等价于，若x(0,1)，则0，g(x)在(0,1)上为增函数，则g(x)g(1)0，即ln x，令g(x)ln x，g(x)0，g(x)在(1，)上为增函数，则g(x)g(1)0，即ln x.不等式恒成立D正确故选ABCD.13.【答案】12【解析】【分析】本题主要考查分步乘法原理及其应用，考查学生推理能力，属于基础题首先第一步先从4幅画中选2幅，第二步，在将选出的2幅
9、画放在左、右两边墙上，利用分步乘法原理得到答案【解答】解：第一步先从4幅画中选2幅共有C42=6中选法;第二步，在将选出的2幅画放在左、右两边墙上有2种方法；所以根据分步乘法原理不同的挂法为62=12故答案为：1214.【答案】3【解析】解：f(x)=ax3+bx2，f(x)=3ax2+2bx，当x=1时，有极大值3，f(x)=0，f(1)=3，3a+2b=0，a+b=3，a=6，b=9，a+b=3故答案为：3求导函数，利用当x=1时，有极大值3，求出a，b的值，即可得出结论本题考查导数知识的应用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题15.【答案】480【解析】【分析】本题考查了两个
10、计数原理的综合应用，属于基础题根据题意分情况讨论，再相加即可【解答】解：用四种颜色涂A，B，C，D种数有A64=360；用三种颜色涂AD，B，C种数有A63=120，则共有120+360=480(种)故答案为48016.【答案】本题考查函数单调性的应用，涉及利用导数判断函数的单调性，关键是构造g(x)，并分析函数g(x)的奇偶性、单调性，考查了分析和转化能力，属于中档题根据题意，令g(x)=f(x)x2，分析可得g(x)为奇函数且在R上为减函数，然后将不等式进行转化即可求解解：根据题意，令g(x)=f(x)x2，若f(x)+f(x)=2x2，变形有f(x)x2+f(x)(x)2=0，即g(x)
11、+g(x)=0，故g(x)为奇函数，由g(x)=f(x)x2，则g(x)=f(x)2x，又当x0时，f(x)2x，则x0时，g(x)=f(x)2x0得x1或x0，求解f(x)的单调递增区间即可19.【答案】解：(1)a=4时，f(x)=x34x23x，f(x)=3x28x3，令f(x)=0，则x=3或13，f(x)在1,3上单调递减，在3,4上单调递增，f(1)=6，f(4)=12f(x)在x1,4上的最大值为F(1)=6，最小值为f(3)=18;(2)在x2,+)时，f(x)=3x22ax30，可得a3x232x在x2,+)上恒成立，只要求y=3x232x在2,+)的最小值即可，而y=6x2
12、+64x20恒成立，y=3x232x在2,+)上为增函数，ymin=94，a94【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数的最值，属于中档题目(1)将a=4代入，求出f(x)的导数，得出f(x)的单调性，求出f(x)的最值即可；(2)由题意可得f(x)0在2,+)上恒成立，分类参数a，转化为a3x232x在2,+)上恒成立，求出y=3x232x在2,+)上的最小值即可20.【答案】解：若选，当a=1时，f(x)=lnx+2x的定义域为(0,+)，f(x)=1x2x2=x2x2，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)=ln2+1，所以f(
13、x)ln2+1；若选，当a=1时，f(x)=lnx+2x的定义域为(0,+)，f(x)=1x2x2=x+2x2，则f(x)0得f(2x1)f(x)，所以02x1x，解得12x0的解集为(12,1)【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，分选和两种情况，利用导数研究单调性即可得证21.【答案】解：(1)f(x)=ex2(a+1)，当a1时，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a1时，令f(x)=0，得x=ln2(a+1)，当xln2(a+1)时，f(x)ln2(a+1)时，f(x)0，f(x)在(ln2(a+1),+)上单调递增；(2)设g(x)=f(x)12x22(a+1)2=ex12x
14、22(a+1)x2(a+1)2+32=ex12x+2(a+1)2+32，即g(x)0对x0,+)恒成立，g(x)=ex(x+2a+2)，令h(x)=g(x)，h(x)=ex10对x0,+)恒成立，h(x)在0,+)上单调递增，h(x)h(0)=2a1，当2a10，即a12时，h(x)=g(x)0，g(x)在0,+)上单调递增，g(x)min=g(0)=522(a+1)20，152a1+52，又a12，152a12，当2a112时，则存在唯一的x0(0,+)使h(x0)=0，ex0x02(a+1)=0，当x(0,x0)时，h(x)=g(x)0，即x(0,x0)时，g(x)单调递减，x(x0,+)
15、时，g(x)单调递增，故g(x)min=g(x0)=ex012e2x0+320，解得0ex03，0x0ln3，又2(a+1)=ex0x0，而exx在0,+)上单调递增，12(a+1)3ln3，解得120)，f(x)=2ax+(a2)1x=2ax2+(a2)x1x=(2x+1)(ax1)x(x0)，(i)当a0时，f(x)0时，令f(x)0，解得x1a；令f(x)0，解得0x0时，函数f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+)上单调递增；由知，若a0，函数f(x)在(0,+)上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a0；且当x0时，f(x)+；当x+时，f(x)+；故要使函数f(x)有两个不
16、同的零点，只需f(x)min=f(1a)=a(1a)2+a2aln1a0，即lna1a+10，又函数y=lnx1x+1在(0,+)上为增函数，且ln111+1=0，故lna1a+10的解集为(0,1)故实数a的取值范围为(0,1)；(2)证明：g(x)=ex2axa，依题意，ex12ax1a=0ex22ax2a=0，两式相减得，2a=ex1ex2x1x2(x1x2)，要证x1+x2ln(4a2)，即证x1+x22ln2a，即证ex1+x22ex1x21，令t=x1x2(t0，令h(t)=tet2et+1(t0)，则h(t)=et2et2(t2+1)，令p(t)=et2(t2+1)，则p(t)=12(et21)，当t0时，p(t)p(0)=0，h(t)h(0)=0，即tet2et+10，故x1+x20，分析可知只需f(x)的最小值小于0即可满足条件，进而得解；(2)依题意，将所证不等式转化为证明(x1x2)ex1x22ex1x21，再通过换元构造新函数即可得证本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查极值点偏移问题，考查转化思想，换元思想及化简运算能力，逻辑推理能力，属于中档题
