1、1.4 生活中的优化问题举例能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型 1解决实际应用问题的基本步骤 一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：(1)阅读理解，认真审题就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化(2)引入数学符号，建立数学模型一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关
2、的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型(3)运用数学知识和方法解决上述问题(4)检验结果的实际意义并给出答案 2求最优化问题的步骤 求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求出函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值 1解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由和确定，当定义域是且函数只有一个时，这个 也就是它的 2生活中经
3、常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为通过前面的学习，我们知道是求函数最大(小)值的有力工具，运用可以解决一些生活中的极值端点的函数值开区间极值极值最值优化问题导数导数优化问题 例1在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？分析根据所给几何体的体积公式建模 解析设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)(602x)2x(0 x30)4x3240 x23600 x.V(x)12x2480 x3600，令V(x)0，得x10，或x
4、30(舍去)当0 x0，当10 x30时，V(x)0.当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值 答：当 箱 子 的 高 为 10cm，底 面 边 长 为40cm时，箱子的体积最大 点评在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数值进行比较 已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值 解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，例2 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50k
5、m，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？分析 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置 解析解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则 BD40，AC50 x，令y0，解得x30.当0 x30时，y0；当30 x0.因此函数在x30(km)处取得最小值，此时AC50 x20(km)供水站建在A，D之间距甲厂
6、20km处，可使水管费用最省 点评 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择 设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，
7、问如何设计使总造价最小？解析设圆柱体的高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y3mr2m(r22rh)答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小.分析 根据题意，月收入月产量单价px，月利润月收入成本px(50000200 x)(x0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元 点评建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方 现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益(注：收益销售额投入，答案数据
8、精确到0.01)解析设3百万元中技术改造投入为x百万元，广告费投入为(3x)百万元，则广告投入带来的销售额增加值为 y12(3x)214(3x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为 所以当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，公司将获得最大收益 一、选择题 1曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离为()答案A 2以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15 C25 D50 答案C 3用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为()A0.5m
9、 B1m C0.8m D1.5m 答案A 二、填空题 4如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为_ 答案11 5设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为_ 答案6%解析设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即ykx20.90.1kx2x0.09kx2kx3(x0)，y0.18kx3kx2，由y0，得x0.06或x0(舍去)当x(0,0.06)时，y0，当x(0.06，)时，y0得x140，令S0得20 x140.函数在(140，)上单调递增，在(20,140)上单调递减，S(x)的最小值为S(140)
