1、河北省鸡泽县第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、项选择题:本大题共12小题，每小题5分，共600分. 1. 已知集合，则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查集合交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，则故选C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分2. 已知复数（i为虚数单位），则z的实部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：，的实部为故选：【点睛】本题考查了复数代数形式
2、的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题3. 设向量，且，则（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得到，利用向量垂直的坐标形式得到.【详解】由题，得，由，从而，解得.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题.4. 在中，若 ，则=（ ）A. 1B. 2 C. 3D. 4【答案】A【解析】余弦定理将各值代入得解得或(舍去)选A.5. 已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ，选B.【考点】 双曲线的标准方程【
3、名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.6. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有()A. 50种B. 6
4、0种C. 70种D. 90种【答案】C【解析】【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，选法有种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，选法有种，不同的选法共有种，故选C.【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题7. 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关
5、系，设其回归直线方程为已知，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由已知,， 故选C.8. 要得到函数的图象，可将的图象向左平移（ ）A. 个单位B. 个单位C. 个单位D. 个单位【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.【详解】，因此，将的图象向左平移可得到函数的图象.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.9. 已知数列的前项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
6、由题意得， ，则 ，即 ，故选A.10. 现有四个函数：；的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到【详解】解：为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，在上的值为负数，故第三个图象满足；为奇函数，当时，故第四个图象满足；，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题11. 设函数，若互不相等的实数满足，
7、则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出函数的图象，不妨令，则结合图象可得，从而可得结果【详解】画出函数的图象如图所示不妨令，则，则结合图象可得，故选B【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质12. 已知为常数，函数有两个极值点，（），则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C
8、【解析】 因为 ，令，由题意可得有两个解，即函数有且只有两个零点，即在上的唯一极值不等于0，又由，当时，单调递增，因此至多有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，因为，函数单调递增；，函数单调递减，所以是函数的极大值点，则，即，所以，所以，即，故当时，的两个根，且，又，所以，从而可知函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减，所以，故选C点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数的极值的方法，解答中先求出，由题意可得有两个解，转化为函数有且只有两个零点是解答的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 的展开式中的系数是 .（用数
9、字填写答案）【答案】【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.考点：1.二项式定理的展开式应用.14. 函数满足，且在区间上，则的值为_【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 15. 已知为
10、偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】试题分析：当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为16. 已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=_.【答案】6【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，设出点坐标，利用中点坐标公式求得点的坐标，代入抛物线方程并化简，由此计算出的值.【详解】依题意可知，抛
11、物线的焦点，设，由中点坐标公式得，代入抛物线方程得，即.所以.故答案为：6.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查中点坐标公式和两点间的距离公式，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列an满足：a3=7，a5a7=26，an的前n项和为Sn.（1）求an及Sn；（2）令 (nN*)，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由已知等量关系可求出等差数列的首项与公差，进而可求等差数列的通项公式与前项和公式；（2）将等差数列通项公式代入已知等式中得出数列的通项公式，可用裂项相消法求数
12、列的前项和.【详解】（1）在等差数列中，解得，；（2）由（1）得，【点睛】本题考查给出等差数列等量关系，求等差数列通项公式和前项和公式，同时也考查了用裂项相消法求与等差数列相关的数列的前项和，考查运算求解能力，是基础题.18. 在中，、分别是角、的对边，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得出关于的二次方程，由的取值范围可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理可求得的值，进而利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）在中，则由，得，即，可得，所以，因此，；（2）由余弦定理，得，即，
13、解得，因此，的面积为.【点睛】本题考查利用诱导公式、二倍角的余弦公式求三角形的内角，同时也考查了利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19. 某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次按以往多次比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为，.（1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对
14、抗结果？（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分，设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）16种；（2）见解析，【解析】【分析】（1）每个同名次的对抗有2种结果，共有4个名次的对抗，所以有种结果；（2）由条件可知共5种情况，分别计算概率得到分布列和数学期望.【详解】（1）由于甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生，所以一共有（种） （2）X的可能取值分别为4，3，2，1，0，则 ； ； ； X的分布列为X43210P.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，意在考查分析数据，解决问题的能力，本题的难点是求分布
15、列中的概率时，需分类准确，不要漏掉某一类.20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，AB/CD，AD=DC=AP=2，AB=1，BC=.（1）证明:AB平面PAD；（2）若E为棱PC上一点，满足BEAC，求二面角E-AB-P的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分别证明和即可；（2）以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用向量法可求解.【详解】（1）PA底面ABCD，PAAB，取CD中点F，连接BF，AB/DF且AB=DF=1，四边形ABFD是平行四边形，则BF=AD=2，BF2+CF2=22+12=5=BC2，BFCF，
16、四边形ABFD是矩形，ABAD，PAAD=A，AB平面PAD；（2）由（1）及已知得AB，AD，AP两两垂直，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，=(-2，-2，2)，=(2，2，0)由E点棱PC上，设=(-2，-2，2)(01)，则E(2-2，2-2，2).故=+=(1-2，2-2，2)，由BEAC，得=2(1-2)+2(2-2)=0，解得=，即=，设平面ABE的法向量为=(a，b，c)，由，得，令c=1，则=(0，-3，1)，取平面ABP的法向量=(0，1，0)，设二面角E-AB-P的
17、平面角为，则，由图知二面角E-AB-P为锐二面角，故二面角E-AB-P的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及二面角的求法，属于中档题.21. 已知离心率为的椭圆，与直线交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为.(1)求椭圆方程;(2)若，则三角形的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值且为，详见解析.【解析】【分析】（1）根据题设可得关于的方程组，解出后可得椭圆的标准方程.（2）当直线的斜率存在时，设其方程为,联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得可得，再利用韦达定理把面积表示成关于的代数式，利用前者化简可得面积为定值.注意斜率不
18、存在时的讨论.【详解】(1)由题意可知，解得，所以椭圆方程为.(2)设，当直线的斜率存在时，设其方程为,联立椭圆方程得，则，点到直线的距离，所以，由，化简得，整理得到，入上式得.若直线斜率不存在易算得.综上得，三角形的面积是定值.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.22. 已知函数（1）讨论
19、的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
