1、20102014年高考真题备选题库第2章 函数、导数及其应用第10节 变化率与导数、导数的计算1.(2014陕西，5分)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A. yx3x2x Byx3x23x Cyx3x D. yx3x22x解析：法一：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为yx，在(2,0)处的切线方程为y3x6，以此对选项进行检验A选项，yx3x2x，显然过两个定点，又yx2x1，则y|x01，y|x23，故条件都满足，又B，C，D选项可验证曲线在
2、(0,0)或(2,0)处不与直线yx，y3x6相切，故选A.法二：设该三次函数为f(x)ax3bx2cxd，则f(x)3ax22bxc，由题设有解得a，b，c1，d0.故该函数的解析式为yx3x2x，选A.答案：A2(2014广东，5分)曲线y5ex3 在点(0，2) 处的切线方程为_解析：由y5ex3得，y5ex，所以切线的斜率ky|x05，所以切线方程为y25(x0)，即5xy20.答案：5xy203(2014江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_解析：yax2的导数为y2ax，直线
3、7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.答案：34(2014安徽，5分)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：() 直线l 在点P(x0，y0) 处与曲线C 相切； ()曲线C在点P附近位于直线 l的两侧，则称直线l 在点 P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0 在点P(0,0) 处“切过”曲线C：yx3直线l：x1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C：y(x1)2直线 l：yx在点P(0,0) 处“切过”曲线C：ysin x直线 l：yx在点P(0,0) 处“切过”曲线C：ytan x直线l：yx1 在点 P(1,0)处“切过”曲线C：yln x解
4、析：对于，y3x2，yx00，所以l：y0是曲线C：yx3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：yx3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，因为y2(x1)，yx10，所以l：x1不是曲线C：y(x1)2在点P(1,0)处的切线， 错误；对于，ycos x，yx01，在点P(0,0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C：ysin x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，yx01，在点P(0,0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C：ytan x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，yx11，在点P(1,0)处的切线为l：yx1，令h(x)x1ln x
5、(x0)，可得h(x)1，所以h(x)minh(1)0，故x1ln x，可知曲线C：yln x在点P(1,0)附近位于直线l的下侧，错误答案：5(2014江西，5分)若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_解析：由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)答案：(e，e)6（2013广东，5分）若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.解析：本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算能力y|x10，即当x1时，kk10，解得k1.答案：17（
6、2013江西，5分）若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.解析：本题主要考查直线与导数的几何意义由题意yx1，在点(1,2)处的切线的斜率为k，又切线过坐标原点，所以2.答案：28（2013北京，13分）已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解：本题主要考查导数的几何意义和函数的零点等问题，意在考查考生的运算求解能力、转化与化归能力由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(
7、a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.f(x)与f(x)的情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)7（2012新课标全国，5分）曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处
8、的切线方程为_解析：y3ln x13，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y14(x1)，即y4x3.答案：y4x39（2011山东，5分）曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9B3C9 D15解析：y3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y123(x1)，令x0得y9.答案：C10（2011湖南，5分）曲线y在点M(，0)处的切线的斜率为()A B.C D.解析：y，把x代入得导数值为.答案：B11（2010辽宁，5分）已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A0，) B，)C(， D，)解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则ky，因为ex0，所以由均值不等式得k，又k0，1k0，即1tan0，所以.答案：D12（2010江苏，5分）函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_解析：y2x，在点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)，又该切线与x轴的交点为(ak1,0)，所以ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比q，a34，a51，a1a3a521.答案：21
