1、4.2换 底 公 式问题引航1.换底公式的表达式是什么?其满足什么条件?2.换底公式有何特点?如何应用换底公式对对数式进行化简求值?(1)形式：logbN=_.(2)适用条件：_.(3)变形：logba=_.a,b0,a,b1,N01.判一判：(正确的打“”，错误的打“”)(1)log75不能用ln 5和ln 7表示.()(2)等式成立.()(3)换底公式只能将对数转化为以10或e为底的对数.()(4)等式logab=logablogba=1.()2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)(1)log23log32=_.(2)=_.(3)已知log34log48log8m2，则m_.【解析】1.
2、(1)错误，因为由换底公式可知log75=(2)正确，因为所以正确.(3)错误.换底公式可以将对数转化为以任何大于0且不等于1的实数为底的对数.(4)正确.等式成立的条件是a,b0,a,b1，而等式logablogba=1成立的条件也是a,b0,a,b1.答案：(1)(2)(3)(4)2.(1)log23log32=答案：1(2)=log39=2.答案：2(3)log34log48log8m所以m329.答案：9【要点探究】知识点换底公式1.对换底公式的两点说明(1)成立的条件：公式是在左右两边对数式都有意义的情况下才能成立.(2)作用：换底公式可以将对数化成以10或e为底的对数,可以将不同底
3、的对数化成同底的对数,在不同底的对数之间建起了一座桥梁.2.利用换底公式化简求值的思想和注意点【知识拓展】由换底公式可得出的常用结论logablogbclogca=1;【微思考】(1)换底公式的新底是唯一的吗?提示：不是.这个底可以视情况而定,只要满足对数式的含义即可.(2)换底公式可以与对数的运算性质同时使用吗?提示：可以.换底公式只是一个桥梁,它可以把底数不统一的对数化成底数统一的对数,为充分利用对数的运算性质奠定基础.【即时练】利用换底公式求值：(1)log25log54.(2)log23log34log45log56log67log78.(3)(2014抚州高一检测)【解析】(1)lo
4、g25log54=(2)log23log34log45log56log67log78(3)【题型示范】类型一用换底公式表示对数式【典例1】(1)(2014九江高一检测)已知log73=a,log74=b,log4948=(用a,b表示).(2)已知log147=a,14b=5,用a,b表示log3528.【解题探究】1.如何建立log4948同a,b的关系?2.题(2)中如何求解b?log3528如何用a,b表示?【探究提示】1.借助换底公式统一底数.2.借助对数的定义求解b,然后利用换底公式把log3528换成以14为底的对数.【自主解答】(1)因为答案：(2)因为log147a,14b5，
5、所以blog145.所以【延伸探究】在题(2)条件不变的情况下，求log75的值.【解析】log75=【方法技巧】应用换底公式应注意的两个方面(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.【变式训练】已知2x=3,log4 =y,求x+2y的值.【解题指南】把指数用对数表示,再用换底公式化为同底的进行计算求值.【解析】因为2x=3,所以x=log23,所以x+2y=log23+2log4 =log23+log2 =log23+log28-log23=log223=3.【补偿训练】
6、设xa=yb=zc且,其中x,y,z均为正数.求证：z=xy.【证明】设xa=yb=zc=t(t0,t1),则a=logxt,b=logyt,c=logzt,而,所以,即logtx+logty=logtz,所以logt(xy)=logtz,即xy=z.类型二换底公式的实际应用【典例2】(1)(2014九江高一检测)一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过_年,该物质的剩余质量是原来的(结果保留1位有效数字)(lg20.3010,lg30.4771)?(2)根据建设有中国特色的社会主义的战略方针,我国工农业总产值从2010年到2030年经过20年将要翻两
7、番,问平均增长率至少应为多少?(lg20.3010,lg30.4771,lg1.0720.0301)【解题探究】1.题(1)建立等量关系的依据是什么?2.题(2)中“翻两番”的含义是什么?【探究提示】1.题(1)建立等量关系的依据是“每经过一年剩余的质量约是原来的75%”.2.题(2)中“翻两番”的含义是总产值变为原来的4倍.【自主解答】(1)假设经过x年,该物质的剩余质量是原来的,根据题意得：0.75x=,所以x=log0.75 =(年).故估计约经过4年,该物质的剩余质量是原来的.答案：4(2)设2010年总产值为a,平均增长率为x,由题意,得a(1+x)20=4a,即(1+x)20=4,
8、将上式化为对数式得lg(1+x)20=lg4,即20lg(1+x)=2lg20.6020.所以lg(1+x)0.0301lg1.072.所以1+x1.072,即x0.072.故平均增长率至少应为7.2%.【方法技巧】解有关对数应用问题的四个步骤(1)审清题意,弄清各数据的含义.(2)恰当地设未知数,建立数学模型,即已知ax=N(a,N是常数,且a0,a1),求x.(3)利用换底公式借助于计算器来解数学模型.(4)还原为实际问题,归纳结论,注意有时要检验结论是否符合实际意义.【变式训练】抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg20.3010)【
9、解析】设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,则a(1-60%)n0.1%a(设原先容器中的空气体积为a),即0.4n0.001,两边取常用对数得nlg0.47.5.故至少需要抽8次.【补偿训练】某化工厂生产化工产品,去年生产成本为50元/桶,现使生产成本平均每年降低28%,那么几年后每桶的生产成本为20元(lg20.3010,lg30.4771,精确到1年)?【解题指南】设x年后每桶的生产成本为20元,由题意列出关于x,50,28%,20之间的关系式,解出x.【解析】设x年后每桶的生产成本为20元.1年后每桶的生产成本为50(1-28%),2年后每桶的生产成本为50(1-28%)2,x
10、年后每桶的生产成本为50(1-28%)x=20.所以,0.72x=0.4,等号两边取常用对数,得xlg0.72=lg0.4.故所以，3年后每桶的生产成本为20元【巧思妙解】“指数式和对数式”问题的换底技巧【典例】设3a=4b=36,则=.【教你审题】【常规解法】由3a=4b=36得log336=a,log436=b,由换底公式可得a=log336=,b=log436=.所以=2log363+log364=log369+log364=log3636=1.答案：1【巧妙解法】等式3a=4b=36两边都取以10为底的对数,得lg3a=lg4b=lg36,即alg3=blg4=lg36,所以=log3
11、69,=log364,所以=1.答案：1【方法对比】常规方法切入点简单,但步骤有点复杂,倘若对对数的运算性质不熟,则会导致运算错误,而巧妙解法直接统一底数,思路清晰,方便快捷.【教你一招】处理“指数式和对数式”问题的换底技巧题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化,为了便于运算,常借助换底公式把题目中不同底数的对数化成同底数的对数,如本例中直接取常用对数,然后应用对数运算性质进行计算.【类题试解】设3a5b，则_.【常规解法】将3a5b的两边取以15为底的对数得，alog153=blog155=,所以所以答案：2【巧妙解法】将3a5b的两边取常用对数得，alg 3blg 5lg 15，所以所以答案：2
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