1、9.8排列、组合一、复习要点：1.两个原理：关键是分类计数原理与分步计数原理的共同点与不同点.2.两个定义：关键是它们的共同点与不同点，排列需要考虑顺序组合不需考虑顺序.3.两组公式：（1）排列数公式 （2）.组合数公式4.两个约定: ,！. 5性质： ，.二、例与练1233122311.将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有( B ). （A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）48种2、同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式共有多少种？3. 三封信投入到5个邮筒,有多少种投
2、法?由a,b,c,d到e,f的映射共有多少个?4、四名男生和三名女生排成一排（1）一共有多少种不同的排法？（2）甲站在正中间的不同排法有多少种?（3）甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？（4）甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？（5）甲不站在排头，也不能站在排尾，有多少种排法？（6）甲只能站在排头或排尾，有多少种排法？（7）甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？（8）四名男生站在一起，三名女生站在一起，有多少种排法？（9）男女相间的排法有多少？（10）女生不相邻的排法有多少种？（11）甲与乙、丙二人不相邻的排法有多少种？（12）甲、乙、丙自左向右顺序不变的排法有多少种？（13）男生顺序
3、一定，女生顺序一定，排法有多少种？5、从1到200的自然数中，各个数位上不含有数字7的自然数共有多少个？6、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？7、在A、B、C、D四位侯选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有多少种不同的选法？写出所有可能的选举结果。（2）如果选举班委3人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果。8、从3男7女共10个人中选出5人。（1）其中某2人必须选在内，有多少种选法？（2）其中某2人都不选出，有多少种选法？（3）至少有一个男生参加，有多少种选法？
4、（4）男生选2人，女生选3人，分别做五种工作，有多少种选法？9.把6本不同的书平均分给3人,有多少种分配方案?平均分成3堆,有多少种分配方案?分给甲、乙、丙三人，甲3本,乙2本,丙1本,有多少种分配方案?分给三人，其中一人得3本,一人得2本,一人得1本,有多少种分配方案?分成三堆，其中一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少种分配方案?10、（1）将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，那么恰有一个空盒的方法共有多少种？（2）. 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？（3）编号为1、2、3、4、5的五人入座编号也为1、2、3、4、5的五个座位，至多有2人对号的坐法
5、有几种？1110张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种分法？12、9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中安排5人参加5个不同的部门（每部门一人）从事外事活动，其中3个部门需要英语翻译，2个部门需要日语翻译，选派的方法有多少种？9.9二项式定理一、复习指导：二项式定理：1.特点:展开式共有n+1项. 在每一项中, a、b的位置不能颠倒，a、b的指数和为n且b的指数与组合数的上标相同. 二项式系数的上标从0增加到n，a的指数从n减少到0,b的指数从0增加到n.2.性质: 二项式展开式中,与首尾两端等距离的两项的二项式系数相等； 二项式展开式的二项式系数在中间位置取得最大值；如果二项式的
6、幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大。 ；注意某项的系数与二项式系数的区别.3.通项公式： 4.重点：利用通项公式解题二、例与练1.求展开式的 常数项 项的系数 各项系数的和 写出所有的无理项2、已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3。求展开式中的常数项。3、在的展开式中，试求（1）第几项的二项式系数最大？（2）共有多少项是有理数？4、在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若，试求实数的值。5.（1）求展开式中的系数.（2）求经过展开合并整理后，常数项的值。（3）在的展开式中，的系数是（ ）（A） （B
7、） （C） （D）6（1）设，求值 （2）若，试求的值。（3）已知（x+x）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_.（以数字作答）7.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（C ）（A）7 （B） （C）21 （D）8.（x）8展开式中x5的系数为_28_.9.若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n=_9_10. 若展开式的常数项为60，则常数的值为 .【解析】因为,所以r=2, 常数项为60,解得.统计概率知识结构9.10离散型随机变量的分布列及其数字特征复习要点1. 关于条件概率与事件的独立性条件概率是一种带有附加条件的概率是指若事件A与事件B是相
8、依事件，即事件A的概率随事件B是否发生而变化，同样，事件B的概率与随事件A是否发生而变化，则在事件A已发生的条件下，事件B出现的概率称为事件B的条件概率计算条件概率有时也可以用缩小样本空间的方法，用事件的独立性是指：若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即，（），则称事件A、B相互独立2.离散型随机变量的分布列、概率分布（分布列）.设离散型随机变量可能取的值为x1，x2，xi，取每一个值xi（i=1，2，）的概率P（=xi）=pi，则称表x1x2Pp1p2两个性质：pi 0,i=1,2,n；p1+p2+pi+pn=13.离散型随机变量的分布列的期望与方差，4.高中学习的离散型随机变量的分
9、布列的类型（1）.两点分布： （2）.二项分布：如果随机变量的概率分布为：则称服从参数为n,p的二项分布，记作B(n,p)，注：贝努里概型的特点： 试验总次数是有限的（即预先确定的常数）； 每次试验之间是相互独立的； 每次试验中事件A发生的概率是一个确定的常数； n次试验中，事件A发生了k次，但对哪k次发生没有要求（3）超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件概率为：PXk=（k=0,1,2,m），其中m=minM,n，且nN,MN,n,N,MN*例题与练习1.两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中
10、恰有一个一等品的概率为（A） (B) (C) (D)【答案】B【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则P(A)=P(A1)+ P(A2)=2. （2010湖北理数）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是A B C D 3（辽宁卷理）5从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（BA）=A B C D【解析】B4（湖南理）15如图4，EFGH
11、是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）= _; （2）P（B|A）= 【解析】15（1）5马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表。请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答 。6.（2010江西理数）18. （本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小
12、时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1） 求的分布列；（2） （2）求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6，1346分布列为：（2）小时7.（2010北京理数）(17)(本小题共13分) 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别
13、为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望。解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，（II）由题意知 整理得 ， 由，可得，.（III）由题意知 = = =9（2010四川理数）（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙
14、、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E.解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为6分（2）的可能值为0,1,2,3P(=k)=(k=0,1,2,3)所以中奖人数的分布列为0123PE=0+1+2+3=12分10. （2010天津理数）（18）.（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另
15、外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 = =（）解：由题意可
16、知，的所有可能取值为 =所以的分布列是11（2011天津卷理）16（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中， （i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；（）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 . 【解析】16本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I）（
17、i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的数学期望12. （2011北京理）17本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）【解析】（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可
18、知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19
19、+20+21=1913. （2011辽宁卷理）19（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙 （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望； （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种
20、甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数【解析】19解： （I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且即X的分布列为 4分X的数学期望为 6分 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.14. （全国新课标理）（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的
21、产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【解析】（19）解（）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用
22、B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,即X的分布列为：X-224P0.040.540.42X的数学期望值EX=20.04+20.54+40.42=2.6815. （山东卷理）18（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.【解析】18解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。因为由对立事件的概率公式知红队至少两人获胜的事件有：由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 （II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。又由（I）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此由对立事件的概率公式得所以的分布列为：0123P0103504015因此
