1、2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨市中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|1x2，B=x|x1，则A（RB）=（） A x|x1 B x|x1 C x|1x2 D x|1x22下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（） A y= B y=ex C y=x2+1 D y=lg|x|3等比数列an中，a3=7，前3项之和s3=21，则公比q的值是（） A B C 或1 D 或14已知向量=（x1，2），=（2，1），则“x0”是“与夹角为锐角”的（） A 必要而不
2、充分条件 B 充分而不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件5已知sin+cos=，（0，），则tan=（） A B C D 6函数f（x）=sin（2x+）|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则等于（） A B C D 7若函数f（x）=kaxax（a0且a1）在（，+）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（） A B C D 8若，且sinsin0，则下面结论正确的是（） A B +0 C D 229平面向量，满足|=1，=1，=2，|=2，则的最小值为（） A B C 1 D 210定义在R上的奇函数f（x），当x0时，则关于x的函数F（x
3、）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（） A 2a1 B 2a1 C 12a D 12a二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11已知向量|=|=2，且，则|=12在数列an中，已知a1=1，an+1=an+3n，则a9=13已知f（x）=ax5+bx3+1且f（5）=7，则f（5）的值是14已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（xR）x0，f（x）的值域15若实数x、y满足且x2+y2的最大值等于34，则正实数a的值等于16定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+），f（2014）=2，则f（1）=17定义在R上的函数f（x）满足条件：存在常数M0，使|
4、f（x）|M|x|对一切实数x恒成立，则称函数f（x）为“V型函数”现给出以下函数，其中是“V型函数”的是（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|成立三、解答题：（本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18在ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB（1）求角C；（）若c=4，求a+b的最大值19已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，）的图象与x轴交点为，相邻最高点坐标为（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）的单调增区间20已知数
5、列an的前n项和为Sn，Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=，记数列cn的前n项和Tn，若对nN*，Tnk（n+4）恒成立，求实数k的取值范围21已知函数f（）=sin24cos+4，g（）=mcos（1）对任意的0，若f（）g（）恒成立，求m取值范围；（2）对，f（）=g（）有两个不等实根，求m的取值范围22已知函数f（x）=x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间1，1上的最大值为M（）若b=2，试求出M；（）若Mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨市中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题
6、解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|1x2，B=x|x1，则A（RB）=（） A x|x1 B x|x1 C x|1x2 D x|1x2考点： 交、并、补集的混合运算分析： 根据补集和交集的意义直接求解解答： 解：CRB=X|x1，ACRB=x|1x2，故选D点评： 本题考查集合的基本运算，较简单2下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（） A y= B y=ex C y=x2+1 D y=lg|x|考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 根据
7、偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，可得结论解答： 解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，故选：C点评： 本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础3等比数列an中，a3=7，前3项之和s3=21，则公比q的值是（） A B C 或1 D 或1考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意易得q的二次方程，解方程可得答案解答： 解：等比数列an中，a3=7，前3项之和s3=21，a1+a2=217=14，+=14，整理可得
8、2q2q1=0，即（2q+1）（q1）=0，解得q=1或q=故选：D点评： 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题4已知向量=（x1，2），=（2，1），则“x0”是“与夹角为锐角”的（） A 必要而不充分条件 B 充分而不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 平面向量及应用分析： 结合向量数量积的应用，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答： 解：向量=（x1，2），=（2，1），当x=5时，=（4，2）=2，此时两向量共线，与夹角为0向量=2x2+2=2x，若“与夹角为锐角，则向量=2x，设与夹角为，则cos=0，即
9、2x0，解得x0，“x0”是“与夹角为锐角”的必要而不充分条件故选：A点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量数量积的应用是解决本题的关键5已知sin+cos=，（0，），则tan=（） A B C D 考点： 同角三角函数基本关系的运用专题： 计算题；三角函数的求值分析： 利用sin+cos=，（0，）结合平方关系，求出sin，cos的值，然后代入直接求出tan解答： 解：sin+cos=，（0， ），（sin+cos ）2=1+2sin cos，sin cos=0由根与系数的关系知，sin，cos 是方程x2x=0的两根，解方程得x1=，x2=sin0，cos0，sin=，c
10、os=tan=，故选：A点评： 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意三角函数的各象限的三角函数的符号，考查计算能力6函数f（x）=sin（2x+）|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则等于（） A B C D 考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+=k，kz，由此根据|求得的值解答： 解：函数f（x）=sin（2x+）|）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin2（x+）+=sin（2x+）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+=k，kz，=，故选：D点评： 本
11、题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7若函数f（x）=kaxax（a0且a1）在（，+）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（） A B C D 考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 由函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a1，由此不难判断函数的图象解答： 解：函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是奇函数则f（x）+f（x）=0即（k1）（axax）=0则k=1又函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上
12、是增函数则a1则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C点评： 若函数在其定义域为为奇函数，则f（x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（x）f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数减函数=增函数也是解决本题的关键8若，且sinsin0，则下面结论正确的是（） A B +0 C D 22考点： 函数奇偶性的性质；正弦函数的单调性专题： 计算题；压轴题分析： 观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故sin与sin皆为正，sinsin0可以得出|，故可以确定结论解答：
13、解：，sin，sin皆为非负数sinsin0，sinsin|，22故选：D点评： 本题考查函数值的符号，要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相关的不等式得出角的大小来，判断上有一定的思维难度9平面向量，满足|=1，=1，=2，|=2，则的最小值为（） A B C 1 D 2考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 设=（x1，y1），=（x2，y2）不妨取=（1，0）由于平面向量，=1，=2，可得=（1，y1），=（2，y2）由于|=2，可得=3只考虑y1y20不妨取y20，y10利用基数量积运算、本不等式可得=2+y1y2=2（y1）y2即可得出解答： 解：设=（x1
14、，y1），=（x2，y2）满足|=1，不妨取=（1，0）平面向量，=1，=2，x1=1，x2=2=（1，y1），=（2，y2）|=2，=2，化为=3只考虑y1y20不妨取y20，y10=2+y1y2=2（y1）y2=，当且仅当y1=y2=时取等号的最小值为故选：B点评： 本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题10定义在R上的奇函数f（x），当x0时，则关于x的函数F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（） A 2a1 B 2a1 C 12a D 12a考点： 函数的零点专题： 计算题；压轴题分析： 函数F（x）=
15、f（x）a（0a1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，为计算提供简便解答： 解：当1x0时1x0，x1x1，又f（x）为奇函数x0时，画出y=f（x）和y=a（0a1）的图象，如图共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则log2（1x3）=ax3=12a，可得x1+x2+x3+x4+x5=12a，故选D点评： 本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11已知向量|=
16、|=2，且，则|=2考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 不妨取=（2，0），=（x，y），由于向量|=|=2，且，可得=2，2x=2，解出即可解答： 解：不妨取=（2，0），=（x，y），向量|=|=2，且，=2，2x=2，解得x=1，则|=|=故答案为：2点评： 本题考查了向量的数量积运算、模的计算公式，属于基础题12在数列an中，已知a1=1，an+1=an+3n，则a9=109考点： 数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： 首先利用递推关系式求出anan1=3（n1），进一步使用累加法求出数列的通项公式，注意对首项进行验证，最后确定通项公式，进一步求出结果解答：
17、 解：，an+1=an+3n转化为an+1an=3n利用递推关系式：anan1=3（n1）（n2）an1an2=3（n2）a2a1=31以上所有式子相加得到：ana1=3（1+2+（n1）（n2）所以：当n=1时，a1=1适合上式所以（n1）故答案为：109点评： 本题考查的知识点：利用递推关系式和累加法求数列的通项公式，及相关的运算问题13已知f（x）=ax5+bx3+1且f（5）=7，则f（5）的值是5考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 令g（x）=ax5+bx3，则f（x）=g（x）+1，判断g（x）为奇函数，由f（5）=7求出g（5）的值，则f（5）的值可求解答：
18、解：令g（x）=ax5+bx3，则g（x）为奇函数，由f（5）=7，得g（5）+1=7，g（5）=6f（5）=g（5）+1=g（5）+1=6+1=5故答案为：5点评： 本题考查了函数奇偶性的性质，关键是由原函数分离奇函数g（x）=ax5+bx3，是基础题14已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（xR）x0，f（x）的值域0，3考点： 两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦专题： 三角函数的求值分析： 函数可化简为f（x）=1+2sin（2x+），因为x0，故2x+，从而可得f（x）=1+2sin（2x+）0，3解答： 解：f（x）=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+s
19、in2x=1+2sin（2x+）x0，故2x+，从而可得sin（2x+），即有f（x）=1+2sin（2x+）0，3故答案为：0，3点评： 本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题15若实数x、y满足且x2+y2的最大值等于34，则正实数a的值等于考点： 简单线性规划专题： 计算题；数形结合分析： 作出可行域，给目标函数赋予几何意义：到（0，0）距离的平方，据图分析可得到点B与（0，0）距离最大解答： 解：作出可行域x2+y2表示点（x，y）与（0，0）距离的平方，由图知，可行域中的点B（，3）与（0，0）最远故x2+y2最大值为=34a=（负值舍去）故答案为
20、：点评： 本题考查画不等式组表示的可行域，利用可行域求目标函数的最值首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义16定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+），f（2014）=2，则f（1）=2考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 首先，结合奇函数f（x），得到f（x）=f（x），然后，借助于f（x）=f（x）=f（x+），以x+代x，得到该函数周期为3的周期函数，最后，借助于函数的周期性进行求解解答： 解：奇函数f（x），f（x）=f（x），f（x）=f（x）=f（x+），以x+代x，f（x+3）=f（x）函数的周期为3，f（2014）=f（3671+1）=f（1）=
21、2，f（1）=f（1）=2故答案为：2点评： 本题重点考查了函数的奇偶性和周期性，属于基础题，寻求函数的周期是解题的关键17定义在R上的函数f（x）满足条件：存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x恒成立，则称函数f（x）为“V型函数”现给出以下函数，其中是“V型函数”的是（1），（3）（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|成立考点： 函数恒成立问题专题： 函数的性质及应用分析： 根据V型函数的定义对各选项进行判定比较各个选项，发现只有选项（1）（3），根据单调性可求出存在正常数M满足条件
22、，而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数M使之满足条件，由此即可得到正确答案解答： 解：对于（1）若f（x）=，则|f（x）|=|=|x|，故对任意的m，都有|f（x）|m|x|，故是V型函数，对于（2）当x0，要使|f（x）|m|x|成立，当x=0时，10，即|2x|m成立，这样的M不存在，故（2）不是V型函数；对于（3），f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）f（x2）|2|x1x2|得到，|f（x）|2|x|成立，存在M20，使|f（x）|M|x|对一切实数x均成立，符合题意故是V型函数；故答案为（1），（3）点评： 本题主要考查学生的
23、阅读理解能力知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，综合性较强三、解答题：（本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18在ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB（1）求角C；（）若c=4，求a+b的最大值考点： 正弦定理；余弦定理专题： 计算题；三角函数的求值分析： （1）由正弦定理可将已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB化简得a2+b2=c2+ab，从而由余弦定理求出cosC，求出角C的值（）若c=4，由（1）得，16=a2+b2ab=（a+b）23ab，又ab，所以16，从而a+b8解答： 解：（）由sin2A+s
24、in2B=sin2C+sinAsinB，得a2+b2=c2+ab，所以，cosC=，角C=（）因为c=4，所以16=a2+b2ab=（a+b）23ab，又ab，所以16，从而a+b8，其中a=b时等号成立故a+b的最大值为8点评： 本题主要考察正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题19已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，）的图象与x轴交点为，相邻最高点坐标为（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）的单调增区间考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；复合函数的单调性专题： 三角函数的图像与性质分析： （1）根据已知依次确定A，的值，即可求函数f（x）的表达式；（2
25、）由复合函数的单调性及定义域可求的单调增区间解答： 解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1 函数f（x）的周期为T=4=，而T=，则=2，又x=时，y=0，sin2=0，而，则=，函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）；（3）由复合函数的单调性及定义域可求的单调增区间：由得，所以的单调增区间为，kZ点评： 本题主要考察了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，复合函数的单调性的求法，属于中档题20已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=，记数列cn的前n项和Tn，若对nN*，Tnk（n+4）恒成立，求实数k
26、的取值范围考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （1）当n=1时，a1=S1，解得a1当n2时，an=SnSn1，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用对数的运算性质可得bn，利用cn=利用“裂项求和”即可得出：数列cn的前n项和Tn=由于对nN*，Tnk（n+4）恒成立，可得，化为=，利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：（1）当n=1时，a1=S1=2a12，解得a1=2当n2时，an=SnSn1=2an2（2an12）=2an2an1，化为an=2an1，数列an是以2为公比的等比数列，（2）bn=log2an=n，cn=数列cn的前n项和Tn=+=对nN
27、*，Tnk（n+4）恒成立，化为=n+5=9，当且仅当n=2时取等号，实数k的取值范围是点评： 本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题21已知函数f（）=sin24cos+4，g（）=mcos（1）对任意的0，若f（）g（）恒成立，求m取值范围；（2）对，f（）=g（）有两个不等实根，求m的取值范围考点： 三角函数的最值专题： 函数的性质及应用；三角函数的求值分析： （1）首先将解析式变形，将对任意的0，若f（）g（）恒成立转为cos+4m恒成立，只要求函数f（t）=t+
28、4在（0，1上的最小值；（2）将，f（）=g（）有两个不等实根，转为cos=t，则f（t）=t+4在1，0），和（0，1上有交点，利用其单调性求m的范围解答： 解：函数f（）=sin24cos+4，g（）=mcos（1）对任意的0，若f（）g（）即cos24cos+3mcos，cos0，1，cos+4m，设cos=t，则f（t）=t+4在（0，1上是减函数，函数f（t）=t+4在（0，1上的最小值为f（1）=0，对任意的0，若f（）g（）恒成立，m取值范围为m0；（2）对，f（）=g（）有两个不等实根，即cos24cos+3=mcos有两个不等实根，cos1，1，cos=0问题不成立，两边同除
29、以cos，得cos+4=m有两个不等实根，设cos=t，则f（t）=t+4在1，0），和（0，1上有交点，并且此函数在两个区间上是减函数，又函数f（t）=t+4在，（0，1上的最小值为f（1）=0，在1，0）的最大值为1，要使对，f（）=g（）有两个不等实根的m 的范围为m1或者m1点评： 本题考查了三角函数的变形以及恒成立问题的解决办法，注意本题利用换元法将问题转为对勾函数的最值问题22已知函数f（x）=x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间1，1上的最大值为M（）若b=2，试求出M；（）若Mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值考点： 函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值
30、专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： （）把b=2代入函数解析式，由函数在区间1，1上是增函数得到M是g（1）和g（1）中较大的一个，由此根据c的范围试求出M；（）把函数g（x）配方，然后分|b|1时，|b|1时由函数y=g（x）的单调性求出其最大值，又g（b）=|b2+c|，再分当1b0时和0b1时，求出最大值M，经比较可知对任意的b、c都有再求出当b=0，时g（x）在区间1，1上的最大值，由此可得Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为解答： 解：（）当b=2时，f（x）=x2+2bx+c在区间1，1上是增函数，则M是g（1）和g（1）中较大的一个，又g（1）=|5+c|，g（
31、1）=|3+c|，则；（）g（x）=|f（x）|=|（xb）2+b2+c|，（i）当|b|1时，y=g（x）在区间1，1上是单调函数，则M=maxg（1），g（1），而g（1）=|12b+c|，g（1）=|1+2b+c|，则2Mg（1）+g（1）|f（1）f（1）|=4|b|4，可知M2（ ii）当|b|1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间1，1之内，此时M=maxg（1），g（1），g（b），又g（b）=|b2+c|，当1b0时，有f（1）f（1）f（b），则M=maxg（b），g（1）（g（b）+g（1）|f（b）f（1）|=；当0b1时，有f（1）f（1）f（b）则M=maxg（b），g（1）（g（b）+g（1）|f（b）f（1）|=综上可知，对任意的b、c都有而当b=0，时，在区间1，1上的最大值，故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为点评： 此题是个难题，考查二次函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域解决该类问题一般应用赋值法特别是问题（）的分类讨论，增加了题目的难度，综合性强