1、2019-2020学年第一学期第三次月考高二数学试题一、选择题（共12小题）1. 函数y=cos(2x+1)的导数是()A. y=sin(2x+1)B. y=-2xsin(2x+1)C. y=-2sin(2x+1)D. y=2xsin(2x+1)【答案】C【解析】y=-sin(2x+1)(2x+1)=-2sin(2x+1).2.已知为虚数单位，若复数，则（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简可得.由复数模的定义即可求得.【详解】复数，则由复数除法运算化简可得，所以由复数模的定义可得，故选:D.【点睛】本题考查了复数的化简与除法运算,复数模的定义及求
2、法,属于基础题.3.已知函数在处的导数为l，则（ ）A. 1B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义可得到， ，然后把原式等价变形可得结果.【详解】因为，且函数在处的导数为l，所以，故选B.【点睛】本题主要考查导数的定义及计算，较基础.4.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料：12345567810由资料可知对呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（ ）A. 26.2B. 27C. 27.6D. 28.2【答案】C【解析】【分析】先由表格中数据求出，的平均值，再由回归直线必过样本中心求出，进而可求出结果.【详
3、解】由题意可得：，因此这组数据的样本中心点是，由回归直线必过样本中心可得：，解得；因此线性回归方程为，所以使用年限为20年时，维修费用约为.故选C【点睛】本题主要考查线性回归直线方程，熟记线性回归直线必过样本中心即可，属于常考题型.5.已知椭圆的焦距为，则实数（ ）A. 或B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】分为椭圆的焦点在轴上和焦点在轴上两种情形，分别根据椭圆中所具有的性质列出关于的方程，解出即可.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，解得；当椭圆的焦点在轴上时，无解，所以故选:C【点睛】本题考查椭圆的标准方程，注意题目中椭圆的方程不是标准方程以及注意椭圆的焦点位置，属于中档题.6.过双曲
4、线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的左焦点，设出直线l的方程为，可得与轴的交点坐标，得到结合计算即可【详解】由题意设直线的方程为，令，得，因为，所以，所以.故选A【点睛】本题考查双曲线的离心率的问题，考查了基本量的关系，属于基础题7.对函数，下列结论正确的是（ ）A. 有最小值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最大值【答案】B【解析】【分析】先求得导函数，并求得极值点.利用导函数符号，判断极值点左右两侧的单调性，即可确定极值.【详解】函数，（） 所以，令，解得，当时，所以在内单调递减；当时，所
5、以在内单调递增；所以在处取得最小值，即，故选：B.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，由导数判断函数单调性，属于基础题.8.函数的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】中带有对数函数，故考虑求导分析单调性，进而求出最大最小值再算出值域【详解】因为，求导得，令可得 ，故在区间上，单调递减；在区间上，单调递增故，又当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数的值域为，故选C【点睛】对求函数值域的问题，可求导进行单调性分析，画出图像进而确定函数的最大值最小值9.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点（包括极大值点和极小值点）有（ ）A. 1个
6、B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据函数图象，结合极值点定义即可判断在开区间内极值点个数.【详解】根据极值点定义，在极值点处导函数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同，结合函数图象可知，导函数在内与轴有4个交点，但在两侧均为单调递增函数，因而不是极值点，所以在开区间内极值点有3个，故选：C【点睛】本题考查了导函数图象性质的应用，极值点的意义，属于基础题.10.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，排除选项BD，时， ，所以时，函数是增函数，排除选项C.得到结论.【详解】因为函数是奇函数，排除选项BD，当时， ，所以时
7、，函数是增函数，排除选项C.故选：:A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，还考查了数形的思想方法，属于中档题.11.已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，求出其导函数说明其单调性，得到不等关系.【详解】解：令,则即在定义域上单调递增即故正确，故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.12.已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，则实数( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求函数的图象在处的切线，再根据该切线也是函数图象的切线，设出切点即可求解.【详解】由，得，则，又，所以
8、函数的图象在处的切线为，即.设与函数的图象相切于点,由，可得 解得.故选B.【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.二、填空题（共4小题）13.已知函数的最小值为，则_【答案】【解析】【分析】利用导数求出函数的最小值，结合题中条件可求出实数的值.【详解】函数的定义域为，且，令，得.当时，；当时，.所以，函数在取得极小值，亦即最小值，即，因此，.故答案为.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题.14.已知在处有极小值
9、为, 求 _.【答案】15【解析】函数f（x）=x3+ax2+bx+a2f（x）=3x2+2ax+b，又函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10， 当a=4，b=11时， ，f（x）在 在（1，+）f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；当a=3，b=3时，f（x）=3（x1）20，f（x）在R上单增，无极值a=4，b=11；且f（1）=10是极小值此时故答案为15.点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，其中根据已知条件，构造关于a，b的方程，是解答本题的关键，在解答过程中，通过解方程组，可以求出两组满足条件的a，b的值，其中一组可导致
10、f（x）在R上单增，不满足题目要求，要舍去，这是函数的极值问题解答中的一个易忽略点15.若，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，令求得，从而得到函数解析式，进一步求得，再由直线的点斜式方程并化简得到直线的一般方程【详解】，则，即，则曲线在点处的切线方程是，即故答案为【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，由已知函数解析式求得，再得到函数的解析式是求解的关键16.若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知在内能成立，利用参变量分离法，转化为 在上能成立，设，利用换元法分析可得答案【详解】根据
11、题意，函数，其导数，若函数在定义域内存在单调递减区间，则在上有解；若，变形可得，则在上能成立，设，则，则，则必有，故的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法属于中档题三、解答题（共6小题）17.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，
12、将各年龄段人数分成5组：，并整理得到频率分布直方图：（1）求图中的a值；（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中，各抽取多少人；（3）由频率分布直方图，求所有被调查人员的平均年龄【答案】（1）（2）三个组依次抽取人数为2，4，2（3）被调查人员的平均年龄为47岁【解析】【分析】（1）根据频率之和为，将每组对应的纵坐标相加后，再乘以组距等于，得到的值；（2）根据第二、三、四组的频率之比得到分层抽样的比例，再得到每组所抽取的人数，得到答案；（3）利用每组中间值和每组的频率得到所有被调查人员的平均年龄.【详解】解：（1）由频率分布直方图的性质可得，解得；（2）第二组
13、、第三组、第四组的频率比为，因为共抽取人，所以三个组依次抽取的人数为，；（3）根据频率分布直方图的性质，每组的中间值乘以对应的频率再相加，得到总体的平均值被调查人员平均年龄为岁【点睛】本题考查频率分布直方图的性质计算频率、平均数，分层抽样比和每层数量的计算，属于简单题.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，函数在区间上的最大值与最小值的差为1，求m的值.【答案】（1）详见解析 （2）【解析】【分析】（1），分，和三种情况讨论求函数的单调区间；（2）由（1）可知，在上单调递减，上单调递增，根据单调性求最值，根据条件列方程求的值.【详解】解：（1） 若当时，；当时.，所以在上单调递增，在上
14、单调递减若.在R上单调递增 若，当时，；当时.，所以在上单调递增，在上单调递减 （2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增 则 又，所以 所以，故【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，和利用单调性求函数的最值，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于导数里的基础题型.19.，.（1）若的单调递减区间为，求的值.（2）若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求得导函数，根据一元二次方程与不等式关系，即可求得的值.（2）将及代入不等式，化简并分离参数，构造函数，求得，根据符号判断的单调性，并求得最大值，即可求得的取值范围.【详解】（1），又单调递减区
15、间为，是方程的两个根，解得.（2）不等式恒成立，即恒成立，在上恒成立，令，则最大值，又，；则当时，；当时，；在上递增，在上递减，最大值为；取值范围为.【点睛】本题考查了由导函数单调性求参数值，一元二次方程与不等式关系，分离参数法及构造函数法的应用，利用导数求最值，属于中档题.20.抛物线的焦点为，斜率为正的直线过点交抛物线于、两点，满足.（1）求直线的斜率；（2）过焦点与垂直的直线交抛物线于、两点，求四边形的面积.【答案】（1） （2）81【解析】分析】（1）设直线的方程，联立直线与抛物线方程，化简后由韦达定理表示出，根据可由向量的坐标关系求得参数，得直线方程的斜率.（2）根据题意，表示出直线
16、的方程，联立抛物线可得，由（1）可求得，即可由对角线互相垂的性质直求得四边形的面积.【详解】（1）依题意知，设直线的方程为，；将直线的方程与抛物线的方程联立；消去得.设，；所以，； 因为，得； 联立和，消去，得，又，则；故直线的斜率是；（2）由条件有，直线的斜率；则直线的方程；将直线的方程与抛物线的方程联立；化简可得；设，；由（1）知；所以，四边形的面积为81.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系综合应用，平面向量的坐标关系及应用，由韦达定理求得弦长，四边形面积的综合应用，属于中档题.21.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，平面且，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面
17、所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，证得是的中点.根据中位线证得，由此证得平面.（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）连接，由于是的中点，而四边形是平行四边形，所以是的中点.由于是的中点，所以在三角形中，是中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由于底面是平行四边形，所以三角形是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，对角线相互垂直平分.由于平面，所以.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.则.所以，平面的法向量为.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦
18、值为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知函数，（1）当时，求函数的最小值（2）当时，对于两个不相等的实数，有，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先由得，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值；（2）先由，得到，对函数求导，得到其单调区间，再设，令，用导数的方法研究函数的单调性，进而可证明结论成立.【详解】（1）当时，由得；由得；在上单调递减，在上单调递增，.（2）当时，对于两个不相等的实数，有，由得；由得；在上单调递增，在上单调递减，不妨设，令，当时，在单调递减，即，因为，则，由以上可知，在上单调递增，在上单调递减，又，在上单调递减，所以，因此.【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.
