1、第二章 解析几何初步章末检测(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知过点M(2，a)，N(a,4)的直线的斜率为，则|MN|()A10B180C6 D6解析：kMN，解得a10，即M(2,10)，N(10,4)，所以|MN|6，故选D.答案：D2已知空间中点A(1,3,5)，C(1,3，5)，点A与点B关于x轴对称，则点B与点C的对称关系是()A关于平面xOy对称B关于平面yOz对称C关于y轴对称D关于平面xOz对称解析：因为点(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x，y，z)，所以B(1
2、，3，5)，与点C的坐标比较，知横坐标、竖坐标分别对应相同，纵坐标互为相反数，所以点B与点C关于平面xOz对称，故选D.3已知直线l1：(2m25m2)x(m24)y50的斜率与直线l2：xy10的斜率相同，则实数m等于()A2或3 B2C3 D3解析：直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则1，即2m25m2m24，整理得m25m60，解得m2或3.当m2时，2m25m20，(m24)0，不符合题意，故m3.答案：C4已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析
3、：圆心在xy0上，排除C、D两项，验证A、B两项中圆心到两直线的距离等于半径即可答案：B5圆C：x2y2ax20与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为()A2xy50 Bx2y10Cxy20 Dxy40解析：由已知条件，得32123a20，解得a4，则圆C：x2y24x20的圆心为C(2,0)，半径为，则直线l的方程为y1(x3)x3，即xy40.答案：D6已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21解析：设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，
4、有解得对称圆的半径不变，为1.答案：B7.如图，半圆中阴影部分的面积S是h(0hH)的函数，则该函数的图像是()解析：根据当h0时S最大hH时S0，排除B、C两项；根据当h时，S小于半圆面积即S的最大值的一半，排除D项故选A项答案：A8已知圆x2y2a20与两条直线l1：xy20，l2：1都相切，则圆的半径a的值为()A2 B.C3 D.解析：由题意知，l2：xy20，所以l1l2，又圆与l1，l2都相切，所以l1，l2之间的距离即为圆的直径，所以2a2，所以a.答案：B9设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P，若AB的中点为C，则|PC|()A2 B.C. D
5、.解析：易知动直线xmy0过定点A(0,0)，mxym30可变形为(x1)my30，由，则直线mxym30过定点B(1,3)，由动直线方程xmy0和动直线方程mxym30，可知两直线垂直当P与A或B重合时，易得|PC|AB|；当P与A，B均不重合时，则APBP，APB为直角三角形且APB90，又C为AB中点，|PC|AB|.综上，|PC|.答案：C10把圆x2y22x4ya220的半径减小一个单位则正好与直线3x4y40相切，则实数a的值为()A3 B3C3或3 D以上都不对解析：圆的方程可变为(x1)2(y2)2a27，圆心为(1,2)，半径为，由题意得1，解得a3.11从动点P(m,2)向
6、圆(x3)2(y3)21作切线，则切线长的最小值为()A4 B2C5 D.解析：切线长d，所以当m3时，dmin2.答案：B12圆x2(y1)23绕直线kxy10旋转一周所得的几何体的表面积为()A36 B12C4 D4解析：由题意知，圆心为(0，1)，又直线kxy10恒过点(0，1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S4()212.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13经过点P(2，1)，Q(3，a)的直线l与倾斜角是45的直线平行，则a的值为_解析：倾斜角为45的直线的斜率为1，直线l与它平行，则kPQ1
7、，即1，解得a4.答案：414在ABC中，已知C(2,5)，角A的平分线所在的直线方程是yx，BC边上的高所在的直线方程是y2x1，则顶点B的坐标为_解析：依题意，由，解得，则A(1,1)因为角A的平分线所在的直线方程是yx，所以点C(2,5)关于直线yx的对称点C(5,2)在边AB所在的直线上，所以边AB所在的直线方程为y1(x1)，整理得x4y30.又边BC上的高所在的直线方程是y2x1，所以边BC所在的直线的斜率为，所以边BC所在的直线方程是y5(x2)，整理得x2y120.由，解得，则B(7，)答案：(7，)15已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得
8、的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：由题意，设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22(a1)2，解得a3或1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求直线上，所以有30m0，即m3，故所求直线方程为xy30.答案：xy3016. 如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y24与y轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆x2(y2)2r2(r0)与圆O交于B，C两点，若P是圆O上的动点，且PB，PC分别交y轴于点M，N，则SPOMSPON的最大值为_解析：设P(x0，y0)(2x02)，B(xB，yB)，
9、则C(xB，yB)，且xy4，xy4，直线PB：yy0(xx0)，直线PC：yy0(xx0)令x0，得yM，yN，yMyN4，SPOMSPON|x0|yM|x0|yN|x|yMyN|x4，所以SPOMSPON的最大值为4.答案：4三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知A(7,0)，B(3，2)，C(1,6)(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的外心的坐标解析：(1)因为|AB|，|BC|，|AC|10，所以|AB|2|BC|2|AC|2.所以ABC是以B为直角的直角三角形(2)因为ABC为直角三角形，所以其外心为斜边AC的中点，其坐
10、标为(，)，即(3,3)18(12分)设直线l经过点(1,1)，此直线被两平行直线l1：x2y10和l2：x2y30所截得线段的中点在直线xy10上，求直线l的方程解析：设直线xy10与l1，l2的交点分别为C(xC，yC)，D(xD，yD)，则，解得，C(1,0)，解得，D(，)则C，D的中点坐标为(，)，即直线l经过点(，)，又直线l经过点(1,1)，由两点式得直线l的方程为，即2x7y50.19(12分)求由点P(5,3)向圆x2y22x6y90所引的切线长解析：由x2y22x6y90知圆心坐标A(1，3)，半径r1，又P(5,3)，|PA|，设由点P(5,3)向圆所引的切线长为d，则d
11、，由点P向圆所引的切线长为.20(12分)已知直线l：y3x3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；(2)直线l1：yx2关于l的对称直线的方程解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则线段PP的中点M在直线l上，且直线PP垂直于直线l，即解得所以点P的坐标为(2,7)(2)设直线l1：yx2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立，则解得把(x1，y1)代入yx2，整理得7x2y2220，所以l2方程为7xy220.21(13分)已知点P(0,5)，圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l
12、过点P且被圆C截得的弦AB的长为4，求l的方程；(2)求圆C的过点P的弦的中点的轨迹方程解析：(1)由题意，知C(2,6)，圆C的半径为4.如图所示，过点C作CDAB于点D，则D是AB的中点由题意，知|AB|4，|AC|4，|AD|2，在RtADC中，可得|CD|2.当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点到直线的距离公式，得2，解得k.此时直线l的方程为3x4y200.当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时直线l的方程为x0.所以直线l的方程为3x4y200或x0.(2)设圆C的过点P的弦的中点为E(x，y)当点E不与点P，C重合时，x0且x2
13、.在RtCEP中，有|CE|2|EP|2|CP|2，即(x2)2(y6)2(x0)2(y5)2(20)2(65)2，化简得x2y22x11y300(x0且x2)当点E与点P重合时，点E的坐标为(0,5)，满足方程.当点E与点C重合时，点E的坐标为(2,6)，满足方程.综上，所求轨迹方程为x2y22x11y300.22(13分)已知ABC的三个顶点A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)求圆H的标准方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解析：(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则由题意，可知，解得所以圆H的标准方程为x2(y3)210.(2)设圆心到直线l的距离为d，则1d210，所以d3.若直线l的斜率不存在，即lx轴时，则直线方程为x3，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)2，圆心到直线l的距离为d3，解得k，所以直线l的方程为4x3y60.综上可知，直线l的方程为x3或4x3y60.(3)由题意得0|CP|r2r，即r|CP|3r恒成立，所以，解得r.于是圆C的半径r的取值范围为，)BSD
