1、2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 1 页 共 10页 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B 2.C3.A4.C5.D6.D7.A8.A 9.D10.B11.B12.A二、填空题：13.1414.3215.142716.63三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）在 ABC中，内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c，已知2sinsinsinBAC=（1）求证：03B；（2）求22sinsin12ACB+的取值范围.解：（1）由正弦定理可得 2sinsin
2、sinabcRABC=，sin2aAR=，sin2bBR=，sin2cCR=，2 分 2sinsinsinBAC=，2bac=，4 分 222cos2acbBac+=2122acacac=，而0B 03B.6 分 绝密启封并使用完毕前 试题类型：A 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 2 页 共 10页 （2）22sinsin12ACB+cos()sinA CB=+cossinBB=+2 sin()4B=+，8 分 由（1）知03B，74412B+，10 分 12 sin()24B+即22sinsin12ACB+的取值范是2,1(.12 分 18(本小
3、题满分 12 分)如图所示，四棱锥 SABCD中，SA 平面 ABCD，/ADBC，1SAABBCCD=，2AD=（1）在棱 SD 上是否存在一点 P,使得/CP平面 SAB?请证明你的结论；（2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值 证明：（1）当点 P 为棱 SD 的中点时,/CP平面 SAB.证明如下:取 SA 的中点 F,连结 FP、FB、PC，则/FPAD 且12FPAD=，2 分/ADBC，112BCAD=，/FPBC 且 FPBC=，四边形 FBCP 为平行四边形，4 分/CPBF，CP 平面 SAB，BF 平面 SAB，/CP平面 SAB 6 分（2）在平面 A
4、BCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax，SA 平面 ABCD，SAAD，SAAx，直线 AS、Ax 和 AD 两两垂直，以点 A 为原点，分别以直线 Ax、AD 和 AS 为 x、y 和 z 建立如图所示的直角坐标系，过点 B 作 BEAD交直线 AD 于 E，ADBCSxzyEPF2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 3 页 共 10页 /ADBC，1ABBCCD=，2AD=，12AE=，32BE=，从而可得(0,0,0)A，3 1(,0)22B，3 3(,0)22C，(0,2,0)D，(0,0,1)S，则(0,0,1)AS=，3 1(,0)22
5、AB=，(0,2,1)SD=，31(,0)22DC=，8 分 设平面 SAB 的法向量为1111(,)nx y z=，平面 SCD 的法向量为2222(,)nxy z=，则 110,0,nASnAB=220,0,nSDnDC=1110,310,22zxy=+=222220,310,22yzxy=取13x=，23x=，可得 1(3,3,0)n=，2(3,3,6)n=，10 分 121212cos,|n nn nnn=22222(3,3,0)(3,3,6)14(3)(3)(3)36=+,平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为 14.12 分 19（本小题满分 12 分）已知椭圆22:
6、1124xyC+=，A、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点.（1）求AMB的最大值，并证明你的结论；（2）设直线 AM 的斜率为k，且11(,)23k ，求直线 BM 的斜率的取值范围.解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设00(,)M xy00(2 32 3,02)xy.过点 M 作 MHx轴，垂足为 H，则0(,0)H x0(02)y，1 分 于是，有 002 3|tan|xAHAMHMHy+=，002 3|tan|xBHBMHMHy=，2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 4 页 共 10页 tantan()AMBAMHBMH=+t
7、antan1tantanAMHBMHAMHBMH+=022004 312yxy=+，3 分 点00(,)M xy在椭圆C 上，22001124xy+=，2200123xy=，02 3tanAMBy=，5 分 而002y，02 3tan3AMBy=，点0AMB，AMB的最大值为 23，此时02y=，即点 M 为椭圆C 的上顶点.根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆 C 的短轴的顶点时，AMB取最大值，其最大值为23.7 分（2）设直线 BM 的斜率为k，00(,)M xy，则 002 3ykx=+，002 3ykx=，202012yk kx=，又22001124xy+=，2200123xy=，13
8、k k=，10 分 11(,)23k ，213k，故直线 BM 的斜率的取值范围为 2(,1)3.12 分 20（本小题满分 10 分）已知函数()ln(1)f xx=+,()exg x=（e 为自然对数的底数）2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 5 页 共 10页 （1）讨论函数()()xaxf xx+=在定义域内极值点的个数；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点00(,)A xy处的切线，证明：在区间(0,)+上存在唯一的0 x，使得直线l 与曲线()yg x=相切解：（1）()()xaxf xx+=ln(1)xaxx+=+1x （且0)
9、x，2221()1(1)axaxaxxxxx+=+=，令2()h xxaxa=+，24aa=，1 分当240aa=时，即当04a时，()0 x，此时，()x在(1,0)和(0,)+单调递增，无极值点；2 分当240aa=时，即当0a 或4a 时，函数2()h xxaxa=+有两个零点,2142aaax=，2242aaax+=，（i）当0a 时，因为2221244441022aaaaaaax+=，所以2101xx ，3 分所以函数()x在1(1,)x单调递增，在1(0)x，和2(0)x，上单调递减，在2()x，+上单调递增，此时函数()x有两个极值点；4 分（ii）当4a 时，因为2222244
10、441022aaaaaaax+=，所以121xx ，此时()0 x，()x在(1,0)和(0,)+单调递增，无极值点.5 分综上所述，当0a 时，函数()x无极值点，当0a 时，函数()x有两个极值点.6 分（2）因为1()1fxx=+，所以函数()f x 的图象上一点00(,)A xy处的切线l 的方程可表示为 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 6 页 共 10页 0001()1yyxxx=+，9 分 设直线l 与曲线()yg x=相切于点11(,e)xB x，因为()exg x=，所以1100001001e,1ln(1),1e(),1xxxyxy
11、xxx=+=+=+消去1x 并整理，得 0001ln(1)0 xxx+=,11 分 由（1）可知，当1a=时，函数1()ln(1)1)xxxxx+=+（在(0,)+单调递增，又1(e 1)0e 1=，222e2(e1)0e1=，所以函数()x在2(e 1,e1)上有唯一的零点，又因为()x在(0,)+单调递增，所以方程0001ln(1)0 xxx+=在(0,)+上存在唯一的根，故在区间(0,)+上存在唯一的0 x，使得直线l 与曲线()yg x=相切12 分21（本小题满分 12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至 2 月
12、29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）.（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布2(,15.2)N，其中近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70 岁以上（70）的患者比例；2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 7 页 共 10页 （2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%
13、，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按n（120n且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人数为nX，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值参考数据：若Z),(2N，则()0.6826PZ+=，(22)0.9544PZ+=，(33)0.9973PY+=，40.90.66
14、，0.590.95，0.350.910.解：(1)2 156 25 12 35 18 4522 5522 65 12 754 852 9554.8100+=，2 分 所以(54.8 15.254.8 15.2)(39.670)0.6826PZPZ+=，1(39.670)1 0.6826(70)0.158715.87%22PYP Z=，则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70 岁以上的患者比例为15.87%.5 分(2)解法一：根据题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为101，n 的可能取值为 2，4，5，10，当2 4 510n，时，110(,)nXB n，7 分 对于某组 n 个人，化验
15、次数Y 的可能取值为1，1+n，9110nP Y=()()，91110nP Yn=+=()()，9991111101010nnnE Ynnn=+=+()()()()()，9 分 则 20 人的化验总次数为209191=20 1+1010nnf nnnnn=+()()()，经计算2=13.8f()，411.8f()，512.2f()，1015f().所以，当4=n时符合题意，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少 12 分 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 8 页 共 10页 解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为101，n 的可能取值为 2
16、，4，5，10，当2 4 510n，时，110(,)nXB n，7 分 设以 n 个人为一组时，组内每人所需的化验次数为Y，则Y 的可能取值为 1n，n11+，1910()()nP Yn=，191110()()nP Yn=+=，则191919111101010nnnE Ynnn=+=+()()()()()，9 分 则 20 人所需的化验次数为1920 1+10nf nn=()()，2=13.8()f，411.8f()，512.2()f，1015()f.所以，符合题意的4=n，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少 12 分 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直
17、角坐标系 xOy 中，直线 1l：cossinxtyt=，（t 为参数，02），曲线1C：2cos4+2sinxy=，（为参数），1l 与1C 相切于点 A，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点 A的极坐标；（2）已知直线 2l：=6 R()与圆2C：24 3 cos20+=交于 B，C 两点，记 AOB的面积为1S，2COC 的面积为2S，求1221SSSS+的值.解：（1）（解法一）由题意可知，1C 的直角坐标方程为22(4)4xy+=，将cossinxy=，代入得1C 的极坐标方程为28 sin120+=，2 分 又 1l 的参数方程为co
18、ssinxtyt=，（t 为参数，02），得 1l 的极坐标方程为=R（），3 分 将=代入得28 sin120+=，则2(8sin)4 120=，又02，2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 9 页 共 10页 解得=3，此时=2 3，所以点 A的极坐标为2 3 3（，），5 分（解法二）由题意可知，1C 的直角坐标方程为22(4)4xy+=，将cossinxy=，代入，得1C 的极坐标方程为28 sin120+=，2 分 因为 1l 与1C 相切于点 A，所以在 Rt 1OC A 中，有2211|2 3OAOCC A=，111|1sin|2C AAO
19、COC=，所以16AOC=，4 分 由极坐标的几何意义，可得 A2 3 3（，）.5 分（2）由2C 的极坐标方程为24 3 cos20+=，可得2C 的直角坐标方程为 22(2 3)5xy+=，所以圆心2(2 3,0)C，6 分 设1(,)3B，2(,)3C 将=6代入24 3 cos20+=，得2620+=，所以126+=，122 =，7 分 又因为11113=.sin()2362AS=，222213=|.sin262SOC=，8 分 所以2212121212212112()2622162SSSS +=+=.10 分 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知()2f xxa
20、=.（1）当1a=时，解不等式()21f xx+；（2）若存在实数(1,)a+，使得关于 x 的不等式2()+1f xxma有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当1a=时，即解不等式221xx+，（法一）当2x 时，原不等式等价于2 21xx+，所以3x ，所以不等式()21f xx+的解集为空集，2 分 当2x 时，原不等式等价于 221xx+，解得13x，4 分 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 10 页 共 10页 综上所述，不等式()21f xx+的解集为1(,)3.5 分（法二）当12x 时，不等式221xx+显然成立；2 分 当12x 时，原不等式等价于22(2)21xx+()，即23830 xx+，解得1123x，4 分 综上所述，不等式()21f xx+的解集为1(,)3.5 分（2）因为222()+2+2111f xxxaxaaaa=+，显然等号可取，6 分 又(1,)a+，故原问题等价于关于 a 的不等式221ama+在(1,)+上有解，8 分 又因为2222=2(1)22 2(1)26111aaaaaa+=，当且仅当2a=时取等号，所以6m，即(6,)m+.10 分
