1、2.3二次函数与一元二次方程、不等式【素养目标】1理解一元二次方程与二次函数的关系(数学抽象)2掌握图象法解一元二次不等式(直观想象)3会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(数学抽象)4会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式(数学运算)5会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式(逻辑推理)6会解一元二次不等式中的恒成立问题(数学运算)【学法解读】在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳
2、总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序第1课时二次函数与一元二次方程、不等式必备知识探新知基础知识知识点1一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_一元二次不等式_.一元二次不等式的一般形式是：_ax2bxc0(a0)_或_ax2bxc0是一元二次不等式吗？(2)一元二次不等式的一般形式中“a0”可以省略吗？提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式(2)不可以，若a0，就不是二次不等式知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系b24ac000)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2
3、或xx1x|xRax2bxc0)的解集x|x1x0或ax2bxc0)；(2)求b24ac；(3)若0，根据二次函数的图象直接写出解集；(4)若0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集基础自测1判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)mx25x0是一元二次不等式()(2)若方程ax2bxc0(a0的解集为R.()(3)设二次方程f(x)0的两解为x1，x2，且x10的解集不可能为x|x1xx2()(4)不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)的解集为空集，则方程ax2bxc0无实根()解析(1)当m0时，是一元一次不等式；当m0时，它是一元二次不等式(2)若方程ax2b
4、xc0(a0的解集为.(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)0的解集为x|x1xx2(4)当1或x1解析将不等式2xx21化为x22x10，(x1)20，解集为R，故选B3不等式(2x5)(x3)0的解集为_x|3x_.解析将原不等式转化为或，3x0；(2)x24x40；(3)x22x30.分析根据三个二次之间的关系求解即可解析(1)因为0，方程2x23x20的根是x1，x22，所以不等式2x23x20的解集为x|x2(2)因为0，方程x24x40的根是x1x22，所以不等式x24x40的解集为x|x2(3)原不等式可化为x22x30，由于0，方程x22x30无解，所以不等式x22x30的
5、解集为R.(4)原不等式可化为3x25x20，方程3x25x20的两根为x1，x21，所以不等式3x25x20的解集为x|x0(a0)或ax2bxc0)的形式(2)计算相应的判别式(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集【对点练习】 不等式6x2x20的解集为_x|x_.解析由于0，方程6x2x20的两根为x1，x2，所以原不等式的解集为x|x题型二三个“二次”的关系例2 已知不等式ax2bx20的解集为x|1x0，且1,2是方程ax2bx20的两实根由根与系数的关系，知解得方法二：把x1，x2分别代入方程ax2bx20中，得解得归纳提升给出了一
6、元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2bxc0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系(1)如果不等式ax2bxc0的解集为x|dxe，则说明a0，x1d，x2e分别为方程ax2bxc0的两根，即de，de；若解集为x|xe，则说明a0，x1d，x2e分别为方程ax2bxc0的两根，即de，de.(2)如果不等式ax2bxc0的解集为x|dx0，x1d，x2e分别为方程ax2bxc0的两根，即de，de；若解集为x|xe，则说明a0，x1d，x2e分别为方程ax2bxc0的两根，即de，de.【对点练习】 若不等式ax2bxc0的解集为x|x3或x4，求不等式bx22axc3b0
7、的解集解析因为不等式ax2bxc0的解集为x|x3或x4，所以a0.分析二次项系数为2，a216不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式的符号进行讨论，确定根的个数解析对于方程2x2ax20，其判别式a216(a4)(a4)当a4或a0，方程2x2ax20的两根为x1(a)，x2(a)，原不等式的解集为x|x(a)当a4时，0，方程有两个相等实根，x1x21，原不等式的解集为x|x1当a4时，0，方程有两个相等实根，x1x21，原不等式的解集为x|x1当4a4时，0，a0，a0)，一根(0)，无根(x2，x1x2，x10.解析(1)当a0时不等式为x0，所以x0时，0，所以x或x
8、0；当a0时，0，所以x0，不等式的解集为x|x或x0；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a0时，不等式的解集为x|x0；(2)3x27x10；(3)x24x40；(4)x2x0.解析(1)(x2)(x3)0的两根为x12，x23，所以原不等式的解集为x|x3或x0，即(x2)20，所以原不等式的解集是x|x2(4)因为x2x(x)20，所以原不等式的解集为.(5)原不等式等价于(x1)(2x3)0，所以原不等式的解集是x|x或x1(6)因为x23x4(x)20，所以原不等式的解集为R.2当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?(1)y3x26x2；(2)y25x2；(3)yx26x10；(4)y3x212x12.解析(1)使y3x26x2的值等于0的x的取值集合是，；使y3x26x2的值大于0的x的取值范围是x|x；使y3x26x2的值小于0的x的值为.(2)令25x20，则x5，又由y25x2图象的开口方向向下，故x5时，函数的值等于0，当5x5或x5时，函数值小于0.(3)令x26x100，则方程无解，又由yx26x10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0.(4)令3x212x120，则x2，又由y3x212x12图象的开口方向朝下，故x2时，函数的值等于0，当x2时，函数值小于0.