1、2015-2016学年河北省邯郸市鸡泽、馆陶、春光三县联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个最佳答案）1复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2定积分01dx的值为（）A1Bln2CD ln23某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A24B22C20D124已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）AabcBcabCcbaDbca5为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1
2、和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）Al1与l2一定重合Bl1与l2一定平行Cl1与l2相交于点（，）D无法判断l1和l2是否相交6曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）7若（15x）9=a0+a1x+ax2+a9x9，那么|a0|+|a1|+|a2|+|a9|的值是（）A1B49C59D698随机变量服从二项分布B（n，p），且E=300，D=200，则p等于（）AB0C1D9工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N（，2），在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于（3，+3）这个尺寸范围的零件个数可能为（）A7
3、个B10个C3个D6个10曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积是（）Aee1Be+e1Cee12De+e1211点P是曲线y=x21nx上任意一点，则点P到直线y=x2的距离的最小值是（）A1BC2D212在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性65人，男性55人女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动则能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系（）A0.1B0.01C0.9D0.99二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若复数z=，则复数z=14已知长
4、轴长为2a，短轴长为2b椭圆的面积为ab，则2dx=15已知数列an为等差数列，则有a12a2+a3=0，a13a2+3a3a4=0，a14a2+6a34a4+a5=0写出第四行的结论16为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有种不同涂色方案（要求用具体数字作答）三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17已知复数z=（m28m+15）+（m29m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时（）z为纯虚数？（）A位于第三象限？18已知f（x）为一次函数，且f（x）=xf（x）dx+1（1）求f（x）的解析式；（2）求直线y=f（x）与曲线y=xf（
5、x）围成平面图形的面积19已知函数f（x）=2x33x212x（1）求f（x）=2x33x212x的极值；（2）设函数g（x）=2x33x212x+a的图象与x轴有两个交点，求a的值20用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答）21某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返
6、券例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和（）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）求随机变量X的分布列和数学期望22已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有2015-2016学年河北省邯郸市鸡泽、馆陶、春光三县联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个最佳答案）1复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（）A第一
7、象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由于复数z=（2+i）i=1+2i，在复平面内对应点的坐标为（1，2），从而得出结论【解答】解：由于复数z=（2+i）i=1+2i，在复平面内对应点的坐标为（1，2），故复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在第二象限，故选B2定积分01dx的值为（）A1Bln2CD ln2【考点】定积分【分析】先判断哪个函数的导数等于，就可借助微积分定理，把01dx转化为ln（1+x）|01，求出结果【解答】解：（ln（1+x）=，01dx=ln（1+x）|01=ln2ln1=ln2故选B3某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其
8、中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A24B22C20D12【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】因为体育课不能排在第一、第四节，所以先排体育课，可以排第三、四节，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，由此能求出不同排法的种数【解答】解：先排体育课，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，按乘法原理，不同排法的种数为2A33=12故选D4已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）AabcBcabCcbaDbca【考点】不等式的实际应用；不等式比较大小【分析】根据，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2，2，24的大小关系即可【解答】解
9、：，a2b2c2abc故选C5为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）Al1与l2一定重合Bl1与l2一定平行Cl1与l2相交于点（，）D无法判断l1和l2是否相交【考点】线性回归方程【分析】由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是（，），回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过（，）【解答】解：两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，两组数据的样本中心点是（，）
10、回归直线经过样本的中心点，l1和l2都过（，）故选C6曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）【考点】导数的几何意义【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围【解答】解：由题意，f（x）=x3x+2，曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，故选D7若（15x）9=a0+a1x+ax2+a9x9，那么|a0|+|a1|+|a2|+|a9|的值是（）A1B49C59D69【考点】二项式定理的应用【分析】|a0|+|a1|+|a2|+|a9|的值，
11、即 （1+5x）9中各项系数和，再令x=1，可得结论【解答】解：|a0|+|a1|+|a2|+|a9|的值，即 （1+5x）9=|a0|+|a1|x+|a|x2+|a9|x9 中各项系数和，在（1+5x）9=|a0|+|a1|x+|a|x2+|a9|x9，令x=1，可得|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=69，故选：D8随机变量服从二项分布B（n，p），且E=300，D=200，则p等于（）AB0C1D【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的未知量p【解答
12、】解：服从二项分布B（n，p）E=300，D=200E=300=np，；D=200=np（1p），可得1p=，p=1故选D9工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N（，2），在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于（3，+3）这个尺寸范围的零件个数可能为（）A7个B10个C3个D6个【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】有正态分布的特点知不属于（3，+3）的事件为小概率事件，其概率为0.3%，利用此概率就解即可【解答】解：由3原则知不属于（3，+3）的事件为小概率事件，其概率为0.3%故1000个零件中有3个不在范围内故答案为：C10曲线y=ex，y=ex和直线x=1围
13、成的图形面积是（）Aee1Be+e1Cee12De+e12【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意可知曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积是exex积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可【解答】解：曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积，就是：01（exex）dx=（ex+ex）|01=e+e12故选D11点P是曲线y=x21nx上任意一点，则点P到直线y=x2的距离的最小值是（）A1BC2D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间的距离公式【分析】画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线y=x2平行的直线的切点时，然后求解即可【解答】解：由题意作图如下
14、，当点P是曲线的切线中与直线y=x2平行的直线的切点时，最近；故令y=2x=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x2的最小值为=；故选：B12在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性65人，男性55人女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动则能够以多大的把握认为性别与休闲方式有关系（）A0.1B0.01C0.9D0.99【考点】独立性检验的应用【分析】根据所给的数据填写列联表，计算K2，对照数表即可得出概率结论【解答】解：根据所给的数据得到22列联表，如下；
15、男女合计看电视204060运动352560合计5565120计算K2=7.5526.635，所以有99%即（0.99）的把握认为性别与休闲方式有关系故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若复数z=，则复数z=1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】根据已知条件z=，表示出z=，利用多项式的乘法展开，将其中的i2用1代替，即得到z的值【解答】解：因为z=，所以z=，所以z=故答案为114已知长轴长为2a，短轴长为2b椭圆的面积为ab，则2dx=3【考点】定积分【分析】根据积分的几何意义即可得到结论【解答】解：设y=，（y0），则+y2=1（y0）对应的曲线为椭圆的上半部分
16、，对应的面积S=ab=31=，根据积分的几何意义可得则2dx=3，故答案为：315已知数列an为等差数列，则有a12a2+a3=0，a13a2+3a3a4=0，a14a2+6a34a4+a5=0写出第四行的结论a15a2+10a310a4+5a5a6=0【考点】二项式系数的性质；等差数列的性质【分析】观察已知的三个等式，找出规律，写出第四个等式即可【解答】解：数列an为等差数列，则有a12a2+a3=0，a13a2+3a3a4=0，a14a2+6a34a4+a5=0，三个式子的项数分别是3，4，5，所以第四个式子有6项并且奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式所以第四行的结论
17、：a15a2+10a310a4+5a5a6=0故答案为：a15a2+10a310a4+5a5a6=016为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有18种不同涂色方案（要求用具体数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】本题是一个分步计数问题，首先给左上方一个涂色，有三种结果，再给最左下边的上面的涂色，有两种结果，右上方，如果与左下边的同色，则右方的涂色，有两种结果；右上方，如果与左下边的不同色，则右方的涂色，有1种结果，根据分步计数原理可求【解答】解：由题意，首先给左上方一个涂色，有三种结果，再给最左下边的上面的涂色，有两种结果，右上方，如果与左下边的同色，
18、则右方的涂色，有两种结果，右上方，如果与左下边的不同色，则右方的涂色，有1种结果，根据分步计数原理得到共有32（2+1）=18种结果，故答案为18三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17已知复数z=（m28m+15）+（m29m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时（）z为纯虚数？（）A位于第三象限？【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（I）当m满足时，z为纯虚数，解出即可（II）当m满足，z在复平面内表示的点A位于第三象限【解答】解：（I）当m满足，即m=5时，z为纯虚数（II）当m满足，即3m5时，z在复平面内表示的点A位于第三象限18已知f（x）为
19、一次函数，且f（x）=xf（x）dx+1（1）求f（x）的解析式；（2）求直线y=f（x）与曲线y=xf（x）围成平面图形的面积【考点】函数解析式的求解及常用方法；定积分；定积分在求面积中的应用【分析】（1）设f（x）=kx+b（k0），代入f（x）=xf（x）dx+1由系数相等求得k，b的值，则函数解析式可求；（2）由y=xf（x）=x（2x+1）=2x2+x，联立求得交点坐标，然后求函数xf（x）f（x）的定积分可得直线y=f（x）与曲线y=xf（x）围成平面图形的面积【解答】解：（1）设f（x）=kx+b（k0），代入f（x）=xf（x）dx+1，得kx+b=x，即=（2k+2b）x+1
20、，解得：f（x）=2x+1；（2）y=xf（x）=x（2x+1）=2x2+x，联立，解得x1=，x2=1直线y=f（x）与曲线y=xf（x）围成平面图形的面积：S=19已知函数f（x）=2x33x212x（1）求f（x）=2x33x212x的极值；（2）设函数g（x）=2x33x212x+a的图象与x轴有两个交点，求a的值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）f（x）=6x26x12=6（x+1）（x2），令f（x）=0，得x=1，2列出表格，由表知，当x=1时，f（x）有极大值7，当x=2时，f（x）有极小值20（2）由（1）知当x=1时，g（x）有极大值a+
21、7；当x=2时，g（x）有极小值a20当g（x）的极大值或极小值为0时，函数g（x）=2x33x212x+a的图象与x轴有两个交点，可得a+7=0或a20=0【解答】解：（1）f（x）=6x26x12=6（x+1）（x2），令f（x）=0，得x=1，2x（，1）1（1，2）2（2，+）f（x）+00+f（x）增函数+7减函数20增函数+由表知，当x=1时，f（x）有极大值7，当x=2时，f（x）有极小值20（2）x210123f（x）47013209由（1）知当x=1时，g（x）有极大值a+7；当x=2时，g（x）有极小值a20当g（x）的极大值或极小值为0时，函数g（x）=2x33x212x
22、+a的图象与x轴有两个交点，即a=7或a=2020用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数；（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和；（3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比
23、1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和【解答】解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有A53个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A41种），十位和百位从余下的数字中选（有A42种），于是有个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A54个；个位数上的数字是5的五位数有个故满足条件的五位数的个数共有个（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5，共个；第二类：形如14，
24、15，共有个；第三类：形如134，135，共有个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个21某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和（）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）求随机变量X的分布列和数学期望【考点】互斥事件的概率加法公式；离散型随
25、机变量及其分布列【分析】（）返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果（）若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次随机变量X的可能值为0，30，60，90，120做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C则（）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是（）由题意得，该顾客可转动转盘2次随机变量X的可能值为0，30，60，90，120；所以，随机变量X的分布列为： X 0
26、 30 60 90 120 P其数学期望22已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值（2）欲求在点（1，f（1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（3）所证不等式等价为，而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，从而得到证明【解答】解：（1）函数，由f（x）0x0；由f（x）01x0；f（x）的单调增区间（0，+），单调减区间（1，0）（2），当x=1时，y=得切线的斜率为，所以k=；所以曲线在点（1，f（1）处的切线方程为：yln2+=（x1），即x4y+4ln23=0故切线方程为 x4y+4ln23=0（3）所证不等式等价为而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）F（1）=0即，记代入得：得证2017年1月15日
