1、1知识与技能理解椭圆定义，掌握椭圆的标准方程，会求与椭圆有关的轨迹问题2过程与方法通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析、探索问题的能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法坐标法3情感态度与价值观通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式难点：椭圆标准方程的建立和推导1对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上的点的几何性质，可以对比圆的定义来理解要注意到定义中对“常数”的限定的常数要大于|F1F2|.这样规定是为了避免出现
2、两种特殊情况，即：“当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时无轨迹”这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质2求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择怎样选择坐标系，要根据具体情况来确定在一般情况下，应注意要使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点与线段F1F2的中点重合，这样，两个定点的坐标比较简单，便于推导方程在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为
3、2a(a0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便使导出的椭圆的方程形式简单令a2c2b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆3椭圆的两种标准方程中，总是ab0,即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的哪个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就大a、b、c始终满足c2a2b2，如果焦点在x轴上，焦点坐标是(c,0)，(c,0)；如果焦点在y轴上，焦点坐标是(0，c)，(0，c)4求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行定“量”，即求a、b的大小，a、b、c满足的关系有：a2b2c2；ab0；ac0.5牵涉到椭圆上一点坐标问题，常考虑
4、此点到两焦点的距离之和为2a，来确定标准方程中的a2.1平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做这两个定点F1、F2叫做椭圆的，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的2 在 椭 圆 定 义 中，条 件 2a|F1F2|不 应 忽 视，若2a|F1F2|，则这样的点不存在；若2a|F1F2|，则动点的轨迹是椭圆焦点焦距线段3椭圆的标准方程例1在椭圆9x225y2225上求点P，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍分析由P(x，y)到椭圆焦点的距离建立两个关于x，y的方程，可以求出x，y的值例2 已知圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，A
5、Q的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程解析如图所示，M是AQ的垂直平分线与CQ的交点，连接MA，则|MQ|MA|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，且|AC|2，动点M的轨迹是椭圆，且其焦点为C，A，已知F1、F2是两点，|F1F2|8，动点M满足|MF1|MF2|10，则点M的轨迹是_动 点 M满 足|MF1|MF2|8，则 点 M的 轨 迹 是_答案以F1、F2为焦点的椭圆线段F1F2说明1.点在椭圆上这个条件的转化常有两种方程：一是点的坐标满足椭圆的方程；二是点满足椭圆定义，若点P在椭圆上，则有|PF1|PF2|2a.2平面内的点满足椭圆的定义，可得点P的轨迹是椭圆，进而求得椭圆的
6、方程.分析 根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程，从而确定a、b的值说明根据已知条件，判定焦点的位置，设出椭圆的方程是解决此题的关键分析 根据椭圆方程的特征求解2当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，对应的方程才是标准方程，同一椭圆在不同坐标系下其方程是不同的答案B解析0k0,25k0且25k9k，a225k，b29k，c225k(9k)16，c4.两椭圆有相等的焦距，选B.分析 只需求出|PF1|PF2|的值即可例6(1)命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|PB|2a(a0，常数)；(2)命题乙：P点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条
7、件C充分且必要条件D既不充分又不必要条件分析由椭圆定义直接作出判断解析若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a0，常数)所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，常数)，是不能推出P点轨迹是椭圆的这是因为仅当2a|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a|F1F2|2c.若一个动点P(x，y)到两个定点A(1,0)，A(1,0)的距离和为定值m，试求P点的轨迹方程解析|PA|PA|m，|AA|2，(1)当m2时，P点的轨迹就是线段AA.其方程为y0(1x1)(2)当m2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A为焦点的椭圆2c2,2am，在
8、ABC中，BC24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求ABC的重心的轨迹方程解析如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系例7 已知ABC中，A，B，C所对的边分别为a、b、c，且acb成等差数列，|AB|2，求顶点C的轨迹方程辨析上述解答中没有注意题设中的条件acb，同时也忽略了隐含条件，即点C不能在x轴上，从而导致了变量x范围的扩大，使轨迹不满足“完备性”求轨迹方程时“纯粹性”与“完备性”要同时具备，缺一不可，这就要求我们应结合图形，认真观察动点在各种可能位置的情形，以防疏漏或轨迹不满足纯粹性正解接上面有3x24y212，又ab，即|BC|AC|，点C只能
9、在y轴的左边，即x0.又由于ABC的三个顶点不能共线，即点C不能在x轴上，故x2.所求C点的轨迹方程为3x24y212(2x0)说明(1)求轨迹方程与求轨迹是有区别的求轨迹，不但要求出轨迹方程，还要指明轨迹是什么图形(2)求出轨迹方程后，注意考查曲线的完备性和纯粹性，以防“疏漏”和“不纯”答案B解析根据题意画出图形(如图所示)，|AF1|AF2|2，|BF1|BF2|2，|AF1|BF1|AF2|BF2|4，即|AB|AF2|BF2|4.答案A答案D解析由椭圆的方程知a5，2a10，根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a，其中一段长为3，另一段长为7，故选D.三、解答题6已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a3b，求椭圆的标准方程
