1、1知识与技能通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题2过程与方法通过实例，让学生去发现四种命题形式间的逻辑关系，并能用命题间的关系去验证某些命题3情感态度与价值观在学习过程中，让学生通过具体的命题，经过归纳，初步的解释说明，感受探索的乐趣重点：会分析四种命题的相互关系难点：正确地写出原命题的否命题1四种命题真假判断：(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真(4)互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆
2、否的命题，所以它们同真同假综合上述四条可知，在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个2由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性的理解3要注意：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否命题是“若非p，则非q”而这个命题的否定是“若p则非q”，可见：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只能否定结论例如，
3、原命题“若AB，则ab”的否命题为“若AB，则ab”，而原命题的否定是“若AB，则ab”1四种命题的概念把命题“如果p，则q”看作原命题，则它的逆命题是“”；否命题是“”；逆否命题是“”如果q，则p如果非p，则非q如果非q，则非p2四种命题间的关系3四种命题的真假性关系(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性逆否命题没有关系例1 若a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2bxc0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假分析认清命题的条件p和结论q，然后按定义书写逆命题、否命题、逆
4、否命题，最后判断真假解析逆命题：“若ax2bxc0(a、b、cR)有两个不相等的实数根，则ac0.否命题：“若ac0，则方程ax2bxc0(a、b、cR)没有两个不相等的实数根”，它是假命题，这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题的缘故逆否命题：“若ax2bxc0(a、b、cR)没有两个不相等的实数根，则ac0.”它是真命题，因为原命题是真命题，它与原命题等价说明 解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键命题：已知a、b为实数，若x2axb0有非空解集，则a24b0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假解析逆命题：已知a、b为实数，若a24b0，则x2
5、axb0有非空解集否命题：已知a、b为实数，若x2axb0没有非空解集，则a24b0.逆否命题：已知a、b为实数，若a24b0，则关于x的方程x2xm0有实根；(2)若x，y都是奇数，则xy是奇数；(3)若abc0，则a、b、c中至少有一个为0.解析(1)否命题：若m0，则关于x的方程x2xm0无实根，假命题命题的否定：若m0，则关于x的方程x2xm0无实根，假命题(2)否命题：若x，y不都是奇数，则xy不是奇数，假命题命题的否定：若x，y都是奇数，则xy不是奇数，真命题(3)否命题：若abc0，则a、b、c全不为零，真命题命题的否定：若abc0，则a、b、c全不为零，假命题.例3判断命题“已
6、知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假分析可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的等价关系去判断原命题的真假问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解解析解法一：逆否命题为已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，对应方程的(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a70.即抛物线与x轴无交点，所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集故逆否命题为真例4 已知下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa
7、20，x22ax2a0，若至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围分析本题从正面解决难以入手，故要采用反证法，假设三个方程都无实数根，以此为条件推出均无实根的结论，再取其补集即可说明(1)适宜用反证法证明的数学命题：结论本身是以否定形式出现的一类命题；关于唯一性、存在性的命题；结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题(2)常见的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至多有n个至少有n1个至少有n个至多有n1个例5已知函数f(x)在(，
8、)上是增函数，a、bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论(2)写出其逆否命题，并证明你的结论解析(1)逆命题是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，真命题用反证法证明：假设ab0，则ab，ba，f(x)在(，)上 是 增 函 数，则 f(a)f(b)，f(b)f(b)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真(2)逆否命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)则ab0为真命题因为一个命题它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题ab0ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数f(a)f(b)，f(b)f(
9、a)，f(a)f(b)f(a)f(b)所以逆否命题为真例6设原命题为“已知Ax|3x5，Bx|xa，若AB，则3a5”，写出逆命题、否命题和逆否命题，并判断原命题和其余3个命题的真假误解逆命题“已知Ax|3x5，Bx|xa，若3a5，则AB”；否命题“已知Ax|3x5，Bx|xa，若AB，则a3或a5”；逆否命题“已知Ax|3x5，Bx|x3.原命题为假，从而逆否命题也为假；再判断否命题真假：由AB知a3.否命题为假，从而逆命题也为假；辨析判断命题真假，应注意原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价，这为我们解决此类问题提供了新的方法，但应注意要正确写出其余命题是判断正误的前提正解 逆命题“已知Ax|3x5Bx|xa，若3a5，则AB”；否命题“已知Ax|2x5，Bx|xa，若AB，则a3，或a5”；逆否命题“已知Ax|3x5，Bx|x3，因此原命题为假从而逆否命题为假；再判断逆命题的真假由上知，AB时，a3，由a|3a3，因此“3Ab2，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假解析逆命题：若ab，则a2b2；否命题：若a2b2，则ab；逆否命题：若ab，则a2b2.因为(1)202，但13，但(2)2(3)2，所以逆命题不正确由四种命题的关系知，四个命题都是假命题
