1、题型七几何探究题高 分 帮 类型1与全等三角形有关的探究1.2019江苏泰州如图,线段AB=8,射线BGAB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C,D与点B在AP两侧,连接DP,在DP上取一点E,使EAP=BAP,连接CE并延长交AB于点F(点F与点A,B不重合).(1)求证:AEPCEP;(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;(3)求AEF的周长.(1)证明:四边形APCD为正方形,CP=AP,APD=CPD=45,又PE=PE,AEPCEP.(2)CFAB.理由:AEPCEP,EAP=ECP.EAP=BAP,BAP=ECP.ECP+CMP=90,AMF=CMP,AM
2、F+BAP=90,AFM=90,CFAB.(3)解:如图,过点C作CNPB,垂足为点N,则四边形BFCN是矩形,CN=BF,BN=CF.易知CPN+APB=90,PAB+APB=90,CPN=PAB.又AP=CP,B=CNP=90,PCNAPB,CN=PB,PN=AB.AEPCEP,AE=CE,CAEF=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2AB=16.2.如图(1),点O为线段AD上一点,过点O作COAD于点O,且CO=OD,点B为线段OC上一点,且OB=OA,点M,N分别是AC,BD的中点,连接OM,ON,MN.(1)求证:
3、AC=BD;(2)试判断MON的形状,并说明理由;(3)如图(2),若AC=2,点M在DB的延长线上,求AMD的面积.(1)证明:COAD,AOC=BOD=90.OA=OB,OC=OD,AOCBOD,AC=BD.(2)MON是等腰直角三角形.理由:点M,N分别为AC,BD的中点,AOC=DOB=90,OM=MC=12AC,ON=ND=12BD,OM=ON,C=MOC,D=NOD.AOCBOD,C=D,MOC=NOD,MOC+CON=NOD+CON=90,即MON=90,MON是等腰直角三角形.(3)解:C=D,OBD+D=90,OBD=CBM,C+CBM=90,CMB=90,DMAC.易知OM
4、=AM=DN=12AC=1,MN=2,MD=2+1,SAMD=121(2+1)=2+12.3.2020福建如图,ADE是由ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到的,且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上,AD,EC相交于点P.(1)求BDE的度数.(2)F是EC延长线上的点,且CDF=DAC.判断DF和PF的数量关系,并证明;求证:EPPF=PCCF.(1)解:由旋转的性质可知,AB=AD,BAD=90,ABCADE.在RtABD中,B=ADB=45,ADE=B=45,BDE=ADB+ADE=90.(2)DF=PF.证明:由旋转的性质可知,AC=AE,CAE=90,在RtACE中,ACE=AEC
5、=45.CDF=CAD,ACE=ADB=45,ADB+CDF=ACE+CAD,即FDP=FPD,DF=PF.证明:如图,过点P作PHED交DF于点H,HPF=DEP,EPPF=DHHF.DPF=ADE+DEP=45+DEP,DPF=ACE+DAC=45+DAC,DEP=DAC.又CDF=DAC,DEP=CDF,HPF=CDF.又FP=FD,F=F,HPFCDF,HF=CF,DH=PC.又EPPF=DHHF,EPPF=PCCF.4.2020山东济宁如图,在菱形ABCD中,AB=AC,点E,F在边BC上,点G在边CD上,BE=CG,AF平分EAG,点H是线段AF上一动点(与点A不重合),连接EH,
6、GH.(1)求证:AEHAGH;(2)当AB=12,BE=4时.连接DH,求DGH的周长的最小值;若点O是AC的中点,是否存在直线OH将ACE分成三角形和四边形两部分,其中三角形的面积与四边形的面积比为13.若存在,请求出 AHAF 的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:四边形ABCD为菱形,AB=BC.又AB=AC,ABC是等边三角形,ACD=ACB=60=B.又BE=CG,AB=AC,ABEACG,AE=AG.AF平分EAG,EAH=GAH.在AEH和AGH中,AE=AG,EAH=GAH,AH=AH,AEHAGH.(2)解:AEHAGH,EH=HG,DH+HG=DH+EH,当E,H,D三
7、点共线时,DH+HG的值最小,即此时DGH的周长最小.如图(1),连接ED,过点D作DMBC,交BC的延长线于点M.图(1)由(1)得,BCD=ACB+ACD=120,DCM=60,CDM=30,CM=12CD=6,DM=CD2-CM2=63.BC=AB=12,CG=BE=4,EC=DG=8,EM=EC+CM=14,DE=DM2+EM2=419,DGH的周长的最小值为419+8.存在.当OH与AE相交时,如图(2),设交点为N,图(2)则SAONS四边形ONEC=13,SAONSAEC=14.又点O为AC的中点,点N是AE的中点,ONEC,AHAF=AOAC=12.当OH与EC相交时,如图(3
8、),设交点为K,图(3)则SKOCS四边形OKEA=13,SKOCSAEC=14.又点O为AC的中点,点K为EC的中点,OKAE,AHAF=EKEF.BE=4,BC=AB=12,EC=8,EK=12EC=4.过点G作GPBC,交BC的延长线于点P,连接FG.BCD=120,GCP=180-120=60,CGP=30,CG=2CP.CG=BE=4,CP=2,GP=23.AE=AG,EAF=GAF,AF=AF,AEFAGF,EF=FG.设EF=FG=x,则FC=8-x,FP=10-x.在RtFGP中,根据勾股定理,得FP2+GP2=FG2,即(10-x)2+(23)2=x2,解得x=285,EF=
9、285,AHAF=EKEF=4285=57.综上,AHAF的值为12或57. 类型2与相似三角形有关的探究5.如图,在ABC中,AB=AC,ABAC,点E为ABC内一点,满足AEC=BEC=135,点D是边BC的中点.(1)求证:AECCEB.(2)求证:DEEC.(3)若DE=1,求ABE的面积.(1)证明:AB=AC,ABAC,ACB=45,ECB+ECA=45.又ECA+EAC=180-135=45,ECB=EAC.又BEC=CEA=135,AECCEB.(2)证明:如图,延长BE至点M,使得EM=BE,连接CM.AECCEB,BECE=BCAC=2,EMCE=2.由CEM=180-BE
10、C=45,EMCE=2,易得ECM=90.D,E分别为BC,BM的中点,DECM,DEC=ECM=90,即DEEC.(3)解:易知EBC+ECB=45,ABE+EBC=45,ABE=BCE.又AEB=360-AEC-BEC=90=DEC,AEBDEC,AEDE=BECE=ABCD=22BC12BC=2,AE=2DE=2.AECCEB,AECE=CEBE=12,BE=2CE=22AE=2AE=22,SABE=12AEBE=2.6.2020淮北一模(1)如图(1),在RtABC中,C=90,AC=BC,AP,BP分别平分CAB,CBA,过点P作DEAB交AC于点D,交BC于点E.求证:点P是线段D
11、E的中点;求证:BP2=BEBA.(2)如图(2),在RtABC中,C=90,AB=13,BC=12,BP平分ABC,过点P作DEAB交AC于点D,交BC于点E,若点P为线段DE的中点,求AD的长度.图(1)图(2)(1)证明:BP平分ABC,ABP=CBP.DEAB,ABP=EPB,CBP=EPB,BE=PE.同理可得DP=DA.DEAB,CECB=CDCA.又CA=CB,CE=CD,BE=AD,PE=PD,点P是线段DE的中点.由得ABP=EBP=EPB=12CBA.AP平分CAB,PAB=12CAB.CA=CB,CBA=CAB,ABP=EBP=EPB=PAB,ABPPBE,BABP=BP
12、BE,BP2=BEBA.(2)解:过点P作AC的平行线,交BC于点F,交AB于点G,如图.在RtACB中,AC=132-122=5.FGAC,PDAG,PFE=C=90,四边形AGPD是平行四边形,PG=AD.PE=PD,PFCD,PF是ECD的中位线,EF=FC,PF=12CD.由(1)可知BE=EP.设AD=PG=x,则CD=5-x,PF=12(5-x).DEAB,CDCA=CECB,CDCE=CACB=512,CE=125CD=125(5-x),EF=65(5-x),EP=BE=BC-CE=125x.在RtEFP中,sinEPF=EFEP=65(5-x)12x5=5-x2x.又EPF=E
13、DC,sinEDC=sinBAC=1213,5-x2x=1213,x=6537,AD=6537.7.2020湖北武汉问题背景如图(1),已知ABCADE,求证:ABDACE;尝试应用如图(2),在ABC和ADE中,BAC=DAE=90,ABC=ADE=30,AC与DE相交于点F.点D在BC边上,ADBD=3,求 DFCF 的值;拓展创新如图(3),点D是ABC内一点,BAD=CBD=30,BDC=90,AB=4,AC=23,直接写出AD的长.图(1)图(2)图(3)问题背景证明:ABCADE,ABAD=ACAE,BAC=DAE,ABAC=ADAE,BAD=CAE,ABDACE.尝试应用解:连接
14、CE,设BD=t,则AD=3BD=3t.易得ADEABC,ABAD=ACAE,ABAC=ADAE.又BAC=DAE,BAD=CAE,ACEABD,CEBD=ACAB=33,CE=33BD=33t,ADCE=3t33t=3.ADE=ABC,ABC=ACE,ACE=ADE=30.又AFD=EFC,ADFECF,DFCF=ADCE=3.拓展创新解:AD的长为5.解法提示:过点D作AD的垂线交AB于点M,连接CM.易证ADBMDC,ABCM=ADMD=3,DMC=DAB=30,CM=AB3=433,AMC=AMD+DMC=AMD+DAB=90,AM=AC2-CM2=2153,AD=AMcosMAD=5
15、.8.2020浙江宁波【基础巩固】(1)如图(1),在ABC中,点D为AB上一点,连接CD,ACD=B.求证:AC2=ADAB.【尝试应用】(2)如图(2),在ABCD中,点E为BC上一点,点F为CD延长线上一点,连接BF,EF,BFE=A.若BF=4,BE=3,求AD的长.【拓展提高】(3)如图(3),在菱形ABCD中,点E是AB上一点,点F是ABC内一点,EFAC,AC=2EF,EDF=12BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.图(1)图(2)图(3)(1)证明:ACD=B,A=A,ADCACB,ADAC=ACAB,AC2=ADAB.(2)解:四边形ABCD是平行四边形,AD=
16、BC,A=C.又BFE=A,BFE=C.又FBE=CBF,BFEBCF,BFBC=BEBF,BC=BF2BE=163,AD=BC=163.(3)解:如图,分别延长EF,DC相交于点G.四边形ABCD是菱形,ABDC,BAC=12BAD.又ACEF,四边形AEGC为平行四边形,AC=EG,CG=AE,EAC=G.EDF=12BAD,EDF=BAC,EDF=G.又DEF=GED,EDFEGD,DEEG=EFDE,DE2=EFEG.又EG=AC=2EF,DE2=2EF2,DE=2EF.又DGDF=DEEF=2,DG=2DF=52,DC=DG-CG=52-2,即菱形ABCD的边长为52-2. 类型3与
17、全等、相似三角形有关的探究9.2020浙江杭州如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,连接AE,DAE的平分线与CD边交于点G,与BC的延长线交于点F.设CEEB=(0).(1)若AB=2,=1,求线段CF的长.(2)连接EG,若EGAF,求证:点G为CD边的中点.求的值.(1)解:因为在正方形ABCD中,ADBC,所以DAF=F.因为AG平分DAE,所以DAF=EAF,所以EAF=F,所以EA=EF.因为=1,BC=AB=2,所以BE=EC=1.在RtABE中,由勾股定理,得EA=5,所以CF=EF-EC=EA-EC=5-1.(2)证明:由(1)可知EA=EF,又因为EGAF,所以AG=G
18、F.又因为AGD=FGC,DAG=F,所以DAGCFG.所以DG=CG,所以点G为CD边的中点.解:不妨设CD=2,则AD=2,CG=1.由得CF=AD=2.易证FGCGEC,所以ECCG=CGCF=12,所以EC=12,所以BE=32,所以=CEEB=13.10.2020安庆模拟如图,菱形ABCD的边长为4,E,F分别是边AB,AD上的动点,BE=AF,BAD=120,连接CE,CF,AC与EF交于点G.(1)求证:BECAFC.(2)求证:AGE=AFC.若AF=1,求GFEG的值.(1)证明:四边形ABCD为菱形,AB=BC,BAC=CAD=12BAD=60,ADBC,B=180-BAD
19、=60,B=CAF,ABC是等边三角形,BC=AC.又BE=AF,BECAFC.(2)证明:由(1)知BECAFC,ABC是等边三角形,EC=FC,BCE=ACF,BEC=AFC,ACB=60,ACF+ECG=BCE+ECG=60,ECF为等边三角形,CEF=60,ABC=BAC=CEF=60.又AEG+CEF+BEC=180,AEG+BAC+AGE=180,AGE=BEC,AGE=AFC.解:过点E作EMBC交AC于点M,AEM=ABC=BAC=60,EMAD,AGFMGE,AEM是等边三角形,GFEG=AFEM.BE=AF=1,AB=4,EM=AE=3,GFEG=AFEM=13.11.20
20、20合肥二模如图,在ABC中,AGBC,垂足为点G,点E为边AC上一点,BE=CE,点D为边BC上一点,GD=GB,连接AD交BE于点F.(1)求证:ABE=EAF;(2)求证:AE2=EFEC;(3)若CG=2AG,AD=2AF,BC=5,求AE的长.(1)证明:EB=EC,EBC=C.AGBD,BG=GD,AB=AD,ABD=ADB.ABD=ABE+EBC,ADB=DAC+C,ABE=DAC,即ABE=EAF.(2)证明:AEF=BEA,EAF=ABE,AEFBEA,AEBE=EFAE,AE2=EFEB.EB=EC,AE2=EFEC.(3)解:如图,设BE交AG于点J,连接DJ,DE.易知
21、AG垂直平分线段BD,JB=JD,JBD=JDG.JBD=C,JDB=C,DJAC,AEF=DJF.AD=2AF,AF=DF.又AEF=DJF,AFE=DFJ,AFEDFJ,EF=FJ,AE=DJ,四边形AJDE是平行四边形,DEAG.AGBC,EDBC.又EB=EC,BD=DC=12BC=52,BG=DG=54.又tanJDG=tanC=AGCG=12=JGDG,JG=58.又JGD=90,DJ=GJ2+DG2=(58)2+(54)2=558,AE=DJ=558.12.2020马鞍山模拟如图,在矩形ABCD中,E是边BC上一点,连接AE,过点D作DFAE于点F.(1)如图(1),若AE=DA
22、,求证:ABEDFA.(2)若AB=6,AD=8,且E为BC的中点.如图(2),连接CF,求sinDCF的值;如图(3),连接AC交DF于点M,求CMAM的值.图(1) 图(2) 图(3)(1)证明:四边形ABCD是矩形,B=90,ADBC,DAF=AEB.DFAE,AFD=B=90,又AE=DA,ABEDFA.(2)解:如图(1),过点F作FHCD于点H,FJAD于点J.图(1)四边形ABCD是矩形,CD=AB=6,BC=AD=8,B=90.点E为BC的中点,BE=EC=4,AE=BE2+AB2=42+62=213.DAF=AEB,B=AFD=90,ABEDFA,ABDF=BEAF=AEAD
23、,6DF=4AF=2138,DF=241313,AF=161313.易知四边形DHFJ是矩形,DH=FJ=AFDFAD=4813,FH=DJ=DF2-FJ2=(241313)2-(4813)2=7213,CH=CD-DH=6-4813=3013,CF=FH2+CH2=(7213)2+(3013)2=6,sinDCF=FHCF=1213.如图(2),延长DF交CB的延长线于点K.图(2)由可知AE=213,AF=161313,EF=AE-AF=101313.KEF=AEB,EFK=ABE=90,KEFAEB,KEAE=EFBE,KE213=1013134,KE=5,CK=KE+EC=9.ADCK
24、,ADMCKM,CMAM=CKAD=98.13.2020合肥瑶海区二模如图,在等边三角形ABC中,BD=CE,连接AD,BE交于点F.(1)求出AFE的度数;(2)求证:ACDF=BDBF;(3)连接CF,当CFAD时,求证:BD=12CD.(1)解:ABC是等边三角形,AB=BC,ABC=BCE=60.又BD=CE,ABDBCE,BAD=CBE,AFE=BAF+ABF=CBE+ABF=ABC=60.(2)证明:由(1)知BAD=DBF.又ADB=BDF,ABDBFD,DFBD=BFAB.AB=AC,DFBD=BFAC,即ACDF=BDBF.(3)证明:方法一:如图,过点C作CGBE交BE的延
25、长线于点G,则CGE=90.CFAD,AFC=90.由(1)知,AFE=60,CFG=30,FCG=60,CG=12CF.又ACB=60,ECG=DCF.又EGC=DFC=90,CEGCDF,CECD=CGCF=12.又BD=CE,BD=12CD.方法二:连接DE.AFE=ACD=60,FAE=CAD,AEFADC,AEAD=AFAC,AEAF=ADAC.又DAE=CAF,AEDAFC,AED=AFC=90,DEC=90,EDC=90-60=30,CE=12CD.又BD=CE,BD=12CD.14.2020芜湖模拟如图(1),在ABC中,ACB=90,AC=BC,D为AB上一点,连接CD,将C
26、D绕点C顺时针旋转90至CE,连接AE.(1)求证:BCDACE;(2)如图(2),连接ED,若CD=22,AE=1,求AB的长;(3)如图(3),若点F为AD的中点,连接EB,CF,求证:CFEB.图(1)图(2)图(3)(1)证明:由旋转可得EC=DC,ECD=90=ACB,BCD=ACE.又AC=BC,BCDACE.(2)解:易知DEC是等腰直角三角形,DE=2CD=4.由(1)可知BD=AE=1,CAE=B=45=CAB,EAD=90,AD=DE2-AE2=42-12=15,AB=AD+BD=15+1.(3)证明:如图,设CF与BE交于点O,过点C作CGAB于点G,则AG=12AB.A
27、CB=90,AC=BC,CG=12AB,即CGAB=12.点F为AD的中点,FA=12AD,FG=AG-AF=12AB-12AD=12(AB-AD)=12BD.由(1)可得BD=AE,FG=12AE,即FGAE=12,CGAB=FGAE.又CGF=BAE=90,CGFBAE,FCG=ABE.FCG+CFG=90,ABE+CFG=90,BOF=90,CFEB.15.2020合肥蜀山区模拟如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,CD是AB边上的中线,点E为线段CD上一点(不与点C,D重合),连接BE,过点E作BE的垂线交AC的延长线于点F,交BC于点G,连接BF.(1)求证:CFGEBG;(2
28、)求EFB的度数;(3)求DECF的值.(1)证明:ACB=90,EFBE,FCG=BEG=90.又CGF=EGB,CFGEBG.(2)解:由(1)得CFGEBG,CGEG=FGBG,CGFG=EGBG.又CGE=FGB,CGEFGB,EFB=ECG.CD是AB边上的中线,AC=BC,ACD=BCD=45,EFB=45.(3)解:如图,过点F作FHDC交DC的延长线于点H.由(2)知,EFB=45,EBF=45=EFB,EF=BE.易得CDAB.FEH+DEB=90,EBD+DEB=90,FEH=EBD.在FEH和EBD中,FEH=EBD,EHF=BDE=90,EF=BE,FEHEBD,FH=
29、ED.FCH=ACD=45,CHF=90,CFH=45=FCH,CH=FH.在RtCFH中,CF=2FH,CF=2DE,DECF=22.16.2020安庆模拟如图(1),在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,AE,AF分别交BD于点G,H.(1)求证:BG=DH.(2)连接FE,如图(2),若EF=BG.求证:ADAH=AFDF;直接写出HFAH的值.图(1)图(2)(1)证明:四边形ABCD为正方形,AB=AD,ABC=ADC.又BE=DF,ABEADF,BAE=DAF.又AB=AD,ABD=ADB,ABGADH,BG=DH.(2)证明:如图,连接GF.BC=DC,
30、BE=DF,CE=CF.又C=90,FEC=45=DBC,EFBD.又EF=BG,四边形EBGF是平行四边形,GFBEAD.又AD=CD,DFAD=DFCD=AGAE.EFBD,AGAE=AHAF,DFAD=AHAF,即ADAH=AFDF.5-12.解法提示:由(2)知AHAF=DFAD,ADDF=AFAH=AH+HFAH=1+HFAH,HFAH=ADDF-1.设CE=x,BE=y,则DF=GF=BE=y,DG=2y,DH=BG=EF=2x,AD=CD=x+y,GH=DG-DH=2y-2x.GFAD,GFHDAH,GFAD=GHDH,yx+y=2y-2x2x,y2-xy-x2=0,1-xy-(
31、xy)2=0,解得xy=5-12(负值不合题意,已舍去),HFAH=ADDF-1=x+yy-1=xy=5-12.17.2020滁州模拟已知,在ABC中,ABC=90.(1)如图(1),分别过A,C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M,N.求证:AMBBNC.若AMBABC,求证:AC=AM+CN.(2)如图(2),点D是CA延长线上的一点,DEEB,AE=AB,ADBCCA=335,求EBBC的值.图(1)图(2)(1)证明:ABC=90,ABM+CBN=90.AMBM,ABM+BAM=90,BAM=CBN.又AMB=BNC=90,AMBBNC.证明:如图(1),过点B作BQAC于点Q.图
32、(1)AMBABC,BAM=BAC.在BAM和BAQ中,BAM=BAQ,AMB=AQB=90,AB=AB,BAMBAQ,AQ=AM.同理可证CQ=CN,AC=AQ+CQ=AM+CN.(2)解:如图(2),过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H.图(2)又DEEB,CHAGDE,EGGH=DAAC=35.在RtABC中,BCAC=35,ABBC=43.由(1)可知AGBBHC,AGBH=GBCH=ABBC=43.AE=AB,AGBE,EG=GB.又EGGH=35,EGBGBH=332.设EG=3a,则BG=3a,EB=6a,BH=2a.GBCH=43,3aCH=43,CH=
33、94a,由勾股定理得BC=BH2+CH2=1454a,EBBC=6a1454a=24145145.18.2020贵州遵义如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E为对角线AC上一动点(点E与点A,C不重合),连接DE,作EFDE交射线BA于点F,过点E作MNBC分别交CD,AB于点M,N,作射线DF交射线CA于点G.(1)求证:EF=DE;(2)当AF=2时,求GE的长.(1)证明:四边形ABCD是正方形,AC是对角线,ECB=ECM=45.MNBC,BCM=90,B=90,MEC=ECB=45,DME=ENF=90,MC=ME.易知MN=CB=CD,DM=EN.DEEF,DEM+FEN=90.
34、又EDM+DEM=90,EDM=FEN.在DME和ENF中,EDM=FEN,DM=EN,DME=ENF,DMEENF,EF=DE.(2)解:分点F在线段AB上和线段BA的延长线上两种情况讨论.当点F在线段AB上时,如图(1)所示,由(1)知DMEENF,ME=NF.易知四边形MNBC是矩形,MC=BN.又FN=ME=MC,AB=4,AF=2,BN=MC=NF=1.EMC=90,MCE=45,CE=2.AFCD,DGCFGA,CGAG=CDAF=2.又AC=AG+GC=2AB=42,AG=423,CG=823,GE=GC-CE=823-2=523.图(1)图(2)当点F在线段BA的延长线上时,如
35、图(2)所示,同可得,FN=BN.AF=2,AB=4,BF=6,AN=FN-FA=12BF-2=1.AB=BC=4,B=90,AC=42.AFCD,GAFGCD,AFCD=GAGC,即24=AGAG+42,AG=42.易得NE=AN=1,ENA=90,AE=2,GE=GA+AE=52.综上,GE的长为523或52.19.2020四川成都在矩形ABCD的CD边上取一点E,将BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处.(1)如图(1),若BC=2BA,求CBE的度数;(2)如图(2),当AB=5,且AFFD=10时,求BC的长;(3)如图(3),延长EF,与ABF的平分线交于点M,BM交AD于
36、点N,当NF=AN+FD时,求ABBC的值.图(1) 图(2)图(3)解:(1)由折叠的性质得BC=BF,EBF=EBC.BC=2BA,BF=BC=2BA,sinAFB=ABBF=12,AFB=30.四边形ABCD是矩形,ADBC,CBF=AFB=30,CBE=12CBF=15.(2)由题意可知BFE=C=90.AFB+DFE=90=DEF+DFE,AFB=DEF.又BAF=FDE=90,ABFDFE,ABDF=AFDE,ABDE=AFDF,即5DE=10,DE=2,EF=CE=5-2=3.在RtDEF中,DF=EF2-DE2=32-22=5,AF=105=25,BC=AD=AF+DF=35.
37、(3)如图,过点N作NGBF于点G.NF=AN+FD,FN=12AD=12BC=12BF.BM平分ABF,BAN=BGN=90,AN=GN.BAF=NGF=90,AFB=GFN,ABFGNF,NGAB=NFBF=12,即AB=2NG=2AN.设AN=a,则AB=2a.设BC=BF=2b,则NF=b,AF=a+b.在RtABF中,由AB2+AF2=BF2,得4a2+(a+b)2=4b2,整理,得5a2+2ab-3b2=0,解得a=35b或a=-b(舍去),ABBC=2a2b=ab=35.20.2020合肥三模在ABC中,AC=BC,CD为AB边上的中线,CEAB,线段DE交BC于点G.(1)如图
38、(1),若CE=CG=1,AB=4,求DE的长.(2)如图(2),取ABC外一点F,连接AF,BF,CF,DF,CF与DE交于点H,若ACB=90,AC=AF,BFCF,DEDF.求 HFDH 的值;求证:CH=FH.图(1)图(2)(1)解:CEAB,CEGBDG,CEBD=CGBG.又CE=CG=1,BD=BG.在ABC中,AC=BC,CD为AB边上的中线,BD=12AB=2,CDAB,BG=2,BC=BG+CG=2+1=3,CD2=BC2-BD2=32-22=5.CEAB,CDAB,CDCE,DCE=90,DE=CD2+CE2=5+12=6.(2)解:DEDF,CDAB,FDE=90=C
39、DB,FDB=HDC.BFCF,CFB=90=EDF,CFB+DFH=EDF+DFH,DFB=DHC.ACB=90,AC=BC,ABC是等腰直角三角形.又CD为AB边上的中线,BD=CD.在DFB和DHC中,DFB=DHC,FDB=HDC,BD=CD,DFBDHC,DF=DH.又EDF=90,HDF是等腰直角三角形,HF=2DH,HFDH=2.证明:设AC=BC=a.ABC是等腰直角三角形,AB=2AC=2a.CD为AB边上的中线,AD=12AB=22a,ADAC=22=ACAB.AC=AF,ADAF=AFAB=22.又DAF=FAB,DAFFAB,DFBF=AFAB=22,BF=2DF.DFBDHC,CH=BF,DF=DH,CH=2DF=2DH.HF=2DH,CH=FH.
