1、酝第八章建模与应用的思想数学作为工具学科应当体现时代发展的需要加强应用意识,学以致用,解决实际应用问题是培养学生创新意识提高数学素养的个十分重要的方向,所以数学应用问题的教学越来越受到国内、国际数学教育界广泛的认同和高度的重视对于数学应用问题需要分析实际问题的数量关系综合运用所学数学知识建立数学模型再加以解决.这里涉及对学生应用能力的培养应用能力是指能正确理解所给问题的实际背景,会分析题中所给出的有关信息并能进行提炼、加工,找出数量关系寻找解决问题的途径得出符合实际的结论的能力,所以建模是应用问题击破中的个难点建模不实现应用就无从谈起解决这难点有利于开发学生的潜能有利于创新教育的实施解应用问题
2、的思路与方法大致有如下流程:塑斗霍玉蔽学模型抽象解应用题关键是要读懂题意,搞清讲的是什么事件,把实际问题的文字语言转化为数学符号语言用数学式表达数学关系在构建数学模型的过程中要求学生有对数学知识的检索能力,也就是能够认定或构建相应的数学模型完成由实际问题向数学问题的转化解后经过检验求出应用问题的解概括起来说解应用题分四个步骤即（1）读题;（2）建模;（3）求解;（4）评价.下面按照应用题涉及的主要数学知识进行分类介绍:第一节利用函数知识解应用题二次函数模型的应用一列地铁列车有8节车厢每天在个班次时间内往返起点和终点共30次,若这列地铁加挂4节车厢,则同样个班次可往返2（）次,经测算,车厢增加的
3、节数与每班次往返次数的减少成正比,那么地铁调度室应怎样安排这列地铁每班次的往返次数及每次需挂几节车厢才能使每班次乘客的运输总量最大?阳曹正兴葛中恐檬解题方脑令解题策赂:本例是地铁乘客运输总量问题在建立函数关系式后运用配方法求二次函数的最大值.解:设加挂P节车厢,减少往返次数r次则户幻.2由题意户4时,t10所以4卢 10,陶百再设个班次运输总量为y（8）（30）-（8:）（30）2l!240,9OO2（兰）-5这时-:5:,痈墩大值当r即每次加挂2节车厢每班次往返25次运输总量最大.圃2某种洗衣机在洗涤衣服时,需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程假设进水时水量匀速增加清洗时水量保持不变已
4、知进水时间为4分钟清洗时间为12分钟排水时间为2分钟脱水时间为2分钟,洗衣机中的水量（升）与时间工（分钟）之间的关系如下表所示:24l0164016529.50厉12018I.V202请根据表中提供的信息解答下列问题:（1）试写州当又（）,16时y关于r的函数解析式并出该函数的图像;（2）根据排水阶段的2分钟点（又.,y）的分布情况,可选用y丛b或yC（工20）2d.r（其中、b、（、d为常数）,作为在排水阶段的2分钟内水量y与时间r之间关系的模拟函数试分别求出这两个函数的解析式;（3）请问（2）中求出的两个函数哪个更接近实际情况?（写出必要的步骤）.解题策赂:本例是洗衣机洗涤衣服水量与时间之
5、间的模拟函数探究哪一个函数更接近实际,基本解法是选择表中数据代入模拟函数确定参数值,再用表中的其他数据验证看一看哪一个函数更为精确.f匿二k函数图像如图81所示.）4（）解目（1）（2）（）设y丛b,由表中数据可得r心几o82 62队5志b.醚-5:295,20-岩b.,b29a虱图8-1296第八聋庭犊与霞用的思想532952935所以函数解析式为y.工设C（工20）2创由表中数据可得2队5c（ld520）:,c2232（）C（1720）2d,d6。307,（）所以函数解析式为y2.923（工20）26.307.5329.5293.5,y22.923（工2（）26.037（3）将工18分别代
6、人l工得yl2.6y25.385;原表实际情况为当工18时2,22.6（）.625.3853.385,显然函数y5329.5293.5更接近实际情况.r阿市场营销人员对过去几年某产品的价格及月平均销售数量的关系做数据分析时发现有如下规律:该商品的价格每上涨工（工0）,销售量就减少垃（其中虎为正常数）目前,该商品最初的定价为元,月平均销售量为6个.（1）写出销售额y与工的函数关系;（2）当隐-告时.该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额达到最大?解题策略;本例是市场营销中销售额与商品价格之间关系的研究是函数型应用题为二次函数模型用配方法求最大值.解:（1）设月平均销售总额为y,由已知条件知y（1
7、工）。b（1虹）b（1工）（1龙Z）.（2）坪时驯-哩h（l谎）（赤）揣（00塑）（200鞭）札（堑:00恋20000）9显然当工50时ym凰x百6.当价格上涨50时销售总金额最大为;队二 y工旦”型函数模型的应用.工陋某小区欲建一面积为平方米的矩形绿地四周有小路绿地长边外小路宽5米,短边外小路宽8米,绿地长边至多长28米至少长20米对于给定的（300700）怎样设计绿地的长、宽使绿地和小路总占地面积最小?297曹正妥篇中魁檬解题方膛公解题策略:本例求绿地面积的最值厂有限定条件下的几何图形的研究.在建立函数关系式之后若运用基本不等式求最小值应满足“一正二定三相等”原则当“条件,不符时需研究函数
8、的单调性并求函数的最小值.解:设绿地的长边为工米（工0）,则短边为旦米且r旦总占地为S平方米.r.r6十2户8）（十:肚5）-l脸些十凰十l602l贩.芋十（幽60）-s盂凰l6当且仪当1肌r-亚鱼.即延-罕时卜式中等号成立r如仔瓣,瞒健钳楞壶测,5（l）当300忽鳃0时.取堑-抨时自衔最恒此时长为抨米宽为抨米（2）当490700时设（工）10工L1l（20工28）.工“（恋）酗（2s）-（l0涎些）（128景）（2s延）.M280野0.2ar这是因为20r28490使得28工0,167840280工.因此,当工-28时.s有最小值,并注意到此时-六28（700入匝某著名保健品生产企业为了占有
9、更多的市场份额.在2017年进行系列促销活动经过市场调查和测算保健品的年销量工万件与年促销费用t万元之间满足3Z与t2成反比.如果不搞促销活动,保健品的年销量只能是1万件.已知2017年生产保健品的固定费用为5万元,每生产1万件保健品需要再投人40万元的生产费用若将每件保健品的售价定为“其生产成本的150”与“平均每件促销费用的80”之和,则当年生产的保健品正好销完.（1）将2017年的年利源y（万元）表示为年促销费用t（万元）的函数;（2）该企业2017年的年促销费用投人多少万元时企业的年利润最大?（注:利润销售收人生产成本促销费用,生产成本固定费用生产费用）解题策略:（1）先根据已知条件求
10、得t2与3工之间的关系式,进而可列出年利润与年促销费用之间的函数关系式.（2）根据函数关系式的特点选择合适的处理方法求解.实质是“y工旦”型函数模型这工是在实际问题中经常出现的函数模型,当然可能需妥通过化简、整理函数解析式或通过配凑法得到“y工鱼”型函数模型,并确定函数的定义域.元298。第八聋建犊与霞用的思想（3）对于工坠（0工0）类型的函数最值问题,要特别注意定义域和基本不等式中工等号成立的条件.如采在定义域内满足等号成立可考虑用基本不等式求最值否则妥考虑函数的单调性.解:（1）因为年销量工万件与年促销费用t龙3工万元之间满足3工与t2成反比所以可设t2由题意卿当0时,您-l,代入上式得0
11、2户解得隐哄所以:3二,即涎-:六o由题意知2017年的生产成本为yl540工,销售收人为y2150yl80t所以207年的利涧驯测驯了鳃-（5!ur）1将o代人上式得-绷（3主）寺-等（鹊）（0）（2）由（l）知0,所以鹊;-（器宁）2;:?（当且仅当鹊-宁.即-18时取等号）所以驯哇曾-带所以当年促销费用投人8刀元时,年利润取得墩大值,为等元三分段函数模型的应用倒qA城市的出租车计价方式为;若行程不超过3千米则按“起步价10元计价;若行程超过3千米则之后2千米以内的行程按“里程价”计价,单价为1.5元千米;若行程超过5千米,则之后的行程按“返程价,计价单价为2.5元千米.设某人的出行行程为
12、工千米现有两种乘车方案:o乘坐辆出租车;每5千米换乘辆出租车.（1）分别写出两种乘车方案计价的函数关系式;（2）对不同的出行行程两种方案中哪种方案的价格较低?请说明理由.解题策略:本例主妥考查分段函数模型、不等式性质等基础知识考查综合应用数学知识解决实际问题的能力在比较价格优劣时应注重分类讨论思想的运用.解:（1）设方案o的计价函数为（工）,方案的计价函数为g（工）（单位:元）299曹正普高中愁檬解题方怯公l0,0r3,则（r）101.5（工3）3r5,l3a5（鞭5）“鼠襄）;红牛雕;叶刷州N）5龙:r5陀3,（陶eN）（2）当工e（05时（xy）g（工）即此时两种方案价格样.当工5时,方案
13、的价格都比方案的价格低,理由如下:当工（5虎,5卢3（keN）时,（r）g（工）132.5（工5）（13虎1（）2 5工13虎95,因为工5卢3所以（工）g（工）12.5虎7.513点9.50.5h20.当工e（5卢3,5内5（陶eN）时,（工）g（工）132.5（工5）13陀101.5（工5虎3）工5.5虎5.因为工5卢5所以（工）g（工）0.5虎0.洞为了保护环境,发展低碳经济某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关新上了把二氧化碳处理转化为种可利用的化工产品的项目经测算,该项目月处理成本y（元）与月处寺x;80矿型5Me20Ml）.O理量工（吨）之间的函数关系可近似地表示为y且每寸巫20
14、0工80000.工el44500处理吨二氧化碳得到的可利用的化工产品价值为200元若该项目不能获利国家将给予补偿（1）当工巨200,300时判断该项目能否获利.如果能获利,求出最大利润;如果不能获利则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?（2）该项目月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?解题策略:本例的难点是题中函数模型为分段函数由于月处理量在不同的范围内处理的成本对应的函数解析式不同,故求分段函数的最值必须先求出函数在每个区间内的最值.然后对这些最值进行比较,从而确定函数的最值.解;（De2O0,300时,设该项日获利为s则s20毗（寺200塑s0000）（露400）0,
15、因此该项目不能获利.当工300时S取得最大值5000所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损寺堑80虹5040（2）由题意得二氧化碳的每吨处理成本为义寺200圆g11g.r工120,144）r1445003（）（）。第八景建犊与威用钓思慈）工（日冗）（日工儿山工寸日）也当所以当工12（）时,义取得最小值240.r苛筐时.吵汕2.哗200-200洲且仅鄂l即400时,取得最小值20因为200240,所以当月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低四指数对数函数模型的应用例8某医药研究所开发的种新药如果成年人按规定的剂量服用据监测:服药后每毫升液中的含药呈y（微克）与时间r（时）之
16、间近似满足如图82所示的曲线（1）写出第次服药后y与r之间的函数关系式y（r）;（2）据进步测定:每毫升液中含药量不少于0.25微克时治Ol25疗疾病有效求服药次后治疗疾病有效的时间.图82解题策赂:与增长率有关的问题、与银行的利率有关的问题都属于指数函数模型.本例可根据图像利用待定系数法确定函数解析式,然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解.膘4厂睬当t1时由y4得h4,厂乓腮燃厂 除!0rl,心儡!二就嘲!解啼镶2闽此服药厂次后治疗有效的时间是5内-器时光线通过1块玻璃后其强度要损失l0,把几块这样的玻璃重叠起来设光线原来的强度为卢,通过r块玻璃后强度为y.（1）写出y关于工的函数关系式
17、;（2）至少通过多少块玻璃,光线强度能减弱到原来的十以下?（参考数据:lg20.3010lg30.4771）陋解题策赂:求解析式时可以先列出通过1块、2 块、3块后的强度再归纳出函数的变化规律.301曹正兴高中毅檬解题方膛含解:（1）光线通过1块玻璃后,强度为（1光线通过2块玻璃后强度为（1光线通过3块玻璃后强度为（110）龙0.9虎;10）。0.9内0.92虎;10）.（）.92虎0.93龙;光线通过工块玻璃后强度为0.9垄诧所以J0.9堑炎（工N）.（2）由题意得9岭.所以9夏士两边取对数.得n凰9凰因为lg0.90,所以r酉丁g.lg十2g260206020根据实际意义知工min14.因
18、此,至少通过l4块玻璃后,光线强度能减弱到原米的以下五函数型应用题中的创新设计某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得101000万元的投资收益现准备制定个对科研课题组的奖励方案:奖金y（单位:万元）随投资收益工（单位:万元）的增加而增加且奖金不超过9万元同时奖金不超过投资收益的20.（1）若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求;（2）现有两个奖励啊数模型;oM-向2;-4g工队试分析这两个闲数模型是否符合公司要求.解题策赂:现实问题转化为数学问题 构造数学模型契合问题所提供造性地解决问题.本例设计新颖的信息,需要进行探索、比较和研究,提出解决问题的
19、思路,并创,具有典型意义.解:（1）设奖励函数模型为y（工）,则公司对函数模型的基本要求是当工e10,1000时,o（塑）是增函数;（塑）9恒成立;o（塑）恒成立（2）o对于函数模型（鞭）煮2:当工el0000时.f（延）是增函数则（涎）（000）-嘿2-?2队所以（工）9恒成立.因为函数罕内在0,l000上是减阀数,3（）2第八聋建犊与蔑用的思想所以（竿）-尚;,从们竿-六不恒成立即（工）不恒成立故该函数模型不符合公司要求.对于函数模型（工）4lg工3:当工e101000时（工）是增函数,则（工）m慰x（1000）4lg100039所以（工）9恒成立.设g（堑）-4g工3.则g（缨）墅上工5
20、.当l0时.g（塑）-字;2g;gc言l0所以g（工）在101000上是减函数从而g（工）g（1（）10,所以4gzI30,即4lg3,所以（堑）在l0,l00o上恒成立故该函数模型符合公司要求.某企业接到生产3000台某产品的A、B、C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2、2、1（单位:件）.已知每个工人每天可生产A部件6件或B部件3件或C部件2件,该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比比例系数为卢（龙为正整数）.（1）设生产A部件的人数为工,分别写出完成A、B、C三种部件生产需要的时间;（2）假设这三种部件的生产同时开工
21、,试确定正整数龙的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案解题策略:本例是函数型应用题,由于关系到A、B、C三个部件的生产且三种部件的数量比有规定.每个工人生产三种部件的日产量也不同情景较为复杂,应冷静分析第（1）问,建立起函数模型;第（2）问利用函数的单调性求最值,并运用分类讨论的思想方法.解:（1）设完成A、B、C三种部件的生产任务需要的时间（单位:天）分别为Tl（Z）、T2（工）、T3（工）由题设有T!（r）-2警00毕,T（堑）-警,T;（延）200（1隐）1500其中工,垃200（1虎）工均为1到200之间的正整数.（2）完成订单任务的时间为（工）maxTl（
22、工）T2（r）T3（工）,其定义域为卜0鹊.翻印易知,T!Cr）、T（题）数T耐（墅）为增阀数注意到T（堑）;T（堑）于是o当陀2时,Tl（r）T2（工）此时3（）3曹正普高中想散解题方帧令（）m凰xT!（题）T（变）-max毕2鹃,由啊数T（上）、T（）的单调性知当吵2隅题时（）取得最小值,解得鞭-竿由干44竿45,（斟）-T（蜒）-轩（45-T（45）梁,（鳃）（45儿故当墅-时完成订单怔务的时间最短,且鼓短时间沟f（鳃）-寻当陀2时,Tl（r）T2（x）,由于卢为正整数,故内3,此时2肌）J200剧）;0375己r（野）5钨,驴（涎）-m凰xT（鞍）T（鞭）,易卿T（）为增啊数.则f位）
23、-T（鞭）,T（延）T!）T（恋）帜（堑）-max毕,5;鸟由函数T!（延）T（甄）的单调性删,川毕-5;乌时帜（鞍）取得最小值解得虹鄂由于瓣等37.而隅（挪）T!（洲）等寻铲（37）T（37）等碧.此时完成订单任务的最短时间大于浮当虎2时Tl（r）T2（r）由于虎为正整数.故陀1此时（工）max（T2（jr）T3（I）max挚,畏由于函数T:（磁）、T:（堑）的单调性知,当业50时,（甄）工1（）0工取得最小值,解得半类似o的讨论此时完成订单任务的最短时间为等,大于罪综上所述,当卢2时完成订单任务的时间最短此时生产A、B、C三种部件的人数分别为44人、88人、68人.第二节利用不等式失。识解
24、应用题陋按照某学者的理论假设个人生产某产品的单件成本为元如果他卖出该产品的单价为川元.则他的满意度为历半I;如果他买进该产品的单价为元.则他的满意度为3（）4第八聋冀犊与霞用的思忽半如果个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2则他对这两种交-厂易的综合满意度为万页r.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元设产品A、B的单价分别为?A元和B元甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲乙卖出A与买进B的综合满意度为乙.（1）求t甲和乙关于mA、m的表达式当mA!B时求证;h甲t乙;O（2）设加AmE当加A、mR分别为多少时甲、乙
25、两人的综合满意度均最大?最大的综O合满意度为多少?（3）记（2）中最大的综合满意度为h0,试问能否适当选取mA、mB的值,使得h甲h0和h乙h0同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.解题策略:本例主妥考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力.解:（1）设mA工,mB.甲买进产品八的满意度!川-涎毛2甲卖出产品B的满意度;甲买进产品-厂OA和卖州产品B的综合满意度;叫-哉.六伺埋乙卖出产品A和买迸产品20V20,B的综合满意度;忆-仁羔.哉0当恋-:时h露-洋l2半6小口目20（20）（5）巨呵尸日工冗乙20y（20）（5）.20202020故l甲l
26、乙.20y（2）当x:型时,川（l）知陋陶（则20）（则5）.因为（蚁2删5）皿2520;.当且仪当酗10时等号成立当y10时,工6.9因此.当M6,B10时甲、乙两人的综合满意度均最大且最大的综合满意度为亏.（3）由（2）知h-3（）5玄正妥葛中毅檬解题方彼令皿工加抱卞汇工反十1220;因为l甲l乙尸工卜皿25y992所以,当l甲乙时,有l甲l乙亏.OO因此,不能取到A、B的值使得h甲h0和h乙0同时成立,但等号不同时成立.顾某游泳馆出售学生游泳卡每张卡240元使用规定;不记名,每卡只限1人每天只限1次.某班有48名同学老师打算组织同学们集体去游泳,除须购买若干张游泳卡外每次游泳还要包辆汽车
27、,无论乘多少名同学每次的包车费均为40元,若使每个同学游8次,每人最少交多少钱?解题策略:最省、最低、最大等最值问题在现实生活中有着广泛的应用.对此类问题一般都要构造函数用函数值域、基本不等式、二次方程判别式等数学方法求出最值,且此类问题的实际背景非常广泛,应引起大家的关注.求函数最值时,基本不等式是常用的解题工具,变形后促使其各项和为定值或积为定值是考查学生思维的敏捷性及等价变换的解题能力.解:设购买工张游泳卡,活动总开支为y元则购游泳卡需240工元,48名同学每人游8次共488人次但游泳卡只有工张则每批只能有工人参加共需坚21批故包车费用为坚乙40元尤工所以驯鳃0涎呼吸40-240（雾粤）
28、因为计粤2蹿.粤-l愉,所以2仙6-3融当?.即延-8时,删3840:鹏04s-s答:每人至少交80元圃某生产饮料的企业准备投人适当的广告费对产品进行促销在年内预计销量Q（万件）与广告费露（万元）之间的函数关系为Q-碧（甄0）巳知生产此产品的年同定投人为3万元每生产1万件此产品仍需再投人32万元,若每件售价为年平均每件成本的150”与“年平均每件所占的广告费的50”之和当年产销量相等（1）试将年利润P（万元）表示为广告费Z（万元）的函数并判断当年广告费投人100万元时企业是盈利还是亏损（2）当年广告费投人多少万元时,企业年利润最大?（年利润年收人年成本广告费）解题策略:本例为探讨企业最大利润问
29、题考查用基本不等式求最值的方法解:（1）年成本为（32Q3）万元年收人为（32Q3）。150工.50万元.因为年利润年收人年成本广告费,所以P（32Q3）.150工。50（32Q3）工306第八景吏模与蔑用伪思想-（32Q3鞭）-（32等吾3堑）尘;鹏丁卜35（1当恋100时,P-鉴0,即洲年广告费投人l）0元时,企业将亏损（堑l）:l00（塑）触50（宁三:l）502百-2（万元儿P2（r1）当且仅当雾jl聋l即堑时P最大所以当年广告费投人7万元时年利润最大.（2）题用应解识口玲病列数用矛斗初一第阀某林场为了保护生态环境制订了植树造林的两个五年计划,第年植树16亩以后每年植树面积都比上年增加
30、50,但从第六年开始,每年植树面积都比上年减少亩.（1）求该林场第6年植树的面积;（2）设前（110且N）年林场植树的总面积为S亩求S的表达式解题策略:本例是以等差、等比数列为模型的应用题属于基础题型主要考查综合应用数列知识、思想和方法解决实际问题的能力由于前五年是等比数列模型后五年是等差数列模型S的表达式是分段形式.解:（1）该林场前5年的植树面积分别为1624,36,5481该林场第6年的植树面积为80亩.（2）设第年林场植树的面积为亩罐）崖二总可刀臼厂广上16所以当15时,s.-16刨2凰（;厂l6口乙）丝尸巴（亩）.32当610时S162436548180（86）21180（86-）2
31、1180（86）（5）2211（166l）（5）（亩）.2（:）l驰凰15N.所以S的表达式为S厕211（166l）（5）610eN.2307弯正妥葛中慰管解题方幢介答:该林场第6年的植树面积为80亩,S的表达式为!削刷1!5,N2哑电视台某天有次插广告的时间共播了m条广告第次播了1条以及余下的加1条的第二次播丫2条以及余卜的,以后每次按此规律插播广告在最后次即第次插播了余下的最后几条广告（1）问这天有几次插播广告时间?并求广告的条数.解题策赂:本例是运用递推数列解应用题,难点是递推关系式的确立,可设播送皮次广告后还剩下隐条广告未播则由题意显然0,这是获得最后结果的关键.解设播送隐次广告后.还
32、剩下凰条广告术播则第俺次播出的广告条数为隐;（隆1晦）-昔曰:腮,所以隐隐:哩,于是枷-l:（2:吨）-12:（）侧一-12:3（:）讽（:厂（）ho因为.-0,所以枷2（:）3盟（）诞（:）ooo得顺9（7）羔.因为8.与7赋且质且（7）拱eN,所以70门7,加49.答:这天有7次插播广告时间,共播了49条广告.顾某国采用养老储备金制度公民在就业的第年就交纳养老储备金数目为 以后每年交纳的数目均比上年增加（q0）,因此历年所交纳的储备金数目l,2是个公差为创的等差数列.与此同时国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说如果固定年利率为厂（厂0）那么在第年末第年所交纳的储
33、备金就变为l（1厂）,第二年所交纳的储备金就变为2（1厂）2以T表示到第年末所累计的储备金总额.（1）写出T与T厕l（2）的递推关系式;（2）求证:T测AB 其中（A）是个等比数列B厕）是个等差数列.解题策略:本例是运用等差数列、等比数列的基本概念和基本方法建立数学模型解决实际问题,在解题过程中应注意数列递推、数列求和（错位相减）的应用.解:（1）由已知有TTl（1厂）（2）.（2）Tl 对2反复使用上述关系式,得TTl（1厂）T2（1厂）21（1厂）T2（1厂）21（1厂）1（1厂）1308第八聋建模与霞用锚思慈2（1厂）2l（1厂）.o在式两端同乘1厂得（1厂）Tl（1厂）2（1厂）测ll
34、（1厂）2十（1厂）.o得厂Tl（1厂）（1厂）l（1厂）厕2（1厂）鱼（1厂）1厂l（1厂）.厂即Tl厂创:（l“宣鸟如果记A-1二（l厂）.且l厂旦,则TAB.厂2厂其中A是以“1二刨（l.）为首项.以（厂0）为公比的等比数列;B是以l厂d丝为首项鱼为公差的等差数列.厂2厂厂第四节利用三角决口识解应用题陋图83为段河岸的示意图游泳者站在河岸的A点处欲前往河对岸的C点处若河宽BC为100m,A、B相距100m他希望尽快到达C,准备从cA步行到E（E为河岸AB上的点）,再从E游到C已知此人步三聋三二二二二二二2行速度为U游泳速度为0.5U.-丁-十（）设么BEC-,试将此人按上述路线从A到C所
35、需时间T表示为0的函数并求自变量0的取值范围;图83（2）0为何值时,此人从A经E游到C所需时间T最小,其最小值是多少?解题策略:本例可建立三角函数模型运用辅助角公式以及正弦函数的有界性研究问题的最小值.解:（1）从A步行到E所用时间为丝AEABBE100（1cot0）.U从E游到C,所川时问为悬,EC-揣-瑞.侧A到C所需时间T表示为0的函数足T半（l志ct0）（,昔）（2）由T半（l志ct）得T-半芋（志c。t0）下面求哩六c。t的最小值,即求蜒-亏斋的最小值变灌得雨r瓢M萨）-2所以7示.解得幽虱3（）9净正妥高中幽学解题方腋令司沉欣厂亡冗当鹏佰时则佰爵iMc。s0-2,即爵m（）-1所
36、以-昔巨所以当,时T-l00（亏佰）顾如图84所示A、B、C三地有直道相通AB5kmAC3km,BC4km.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地,经过i小时,他们之间的距离为（t）（单位:km）.甲的路线是AAB,速度为5kmh乙的路线是ACB速度为8kmh.乙到达B地后在原地等待.设jjl时乙到达C地（1）求tl与（tl）的值;CB图8-4（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3km当tlt1时求（t）的表达式并判断（t）在tl,1上的最大值是否超过3说明理由.解题策略:本例考查应用数学知识解决实际问题背景新颖对阅读能力以及知识的综合应力要求较高.在求甲、乙两警员之间的距离时由于乙在CB
37、上且乙到达B地后不动所以显然是分段函数这是破解本题的难点.用能力要求较高.（t）显然是分段函数解;（l）依题意得-苦-;（h）设此时甲运动到P点.MP-f（km儿3早（km儿AC2AP22ACAPcosA（rl）PC（2）洲;时,乙在CEk,设为点Q,设此时甲在P点.则QBACCB8t78t,PBABAP55r.（t）PQQB2PB22QB。PBcosB25t242r18;勺当古l时、乙在点B不动,设此时甲在P点,则（t）PBAP55t.5t,姆十l8;t;,因此（r）4755t卤L（当;l时f（!）e0.丁.（O的最大值为平.不超过33I顾如图85所示某地有三家工厂分别位于矩形ABCD的两个
38、顶D点A、B及CD的中点P处,AB20kmBC10km为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上（含边界）且与A、B等距A离的点（）处,建造个污水处理厂并铺设三条排污管道AO、B（）、P记排污管道的总长度为ykm.PCB图8-5310第八素建犊与霞用 的思慈（1）按下列要求建立函数关系:（）设BA）0rad将y表示为0的函数;（）设P（）工km,将y表示为r的函数.（2）请你选用（1）中的个函数关系确定污水处理厂的位置使铺设的排污管道的总长度最短解题策赂:本例以污水处理、环境保护这一目前社会关注的热点问题为背景,以建造一个污水处理厂中最优化问题为载体设计的实际应用问题.设问形式从单向封闭型走向
39、多维开放题型.在求出两个函数关系式后让学生从中选择一个解决问题对学生数学素养和解题经验的积累程度是一个考验.本题考查学生的函数概念、解析式、最值、解三角形、三角变换、导数及其应用等基础知识考查学生的阅读理解能力、数学建模能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力.（）如图86所示延长P（）交AB于点QDPc解;（l）巾题设可知BQ-AQ-八B-0,o-B（）.PO-l0oQA在RtAQO,八O-湍.OQl0馏M,所以oBoPO羔l0l0mn队义易知00故佣0表示的圈数为脚l川（0义易知00.故用0表示的圈数为y-淌l0涵n00（0（）BQ图860f）（）由题设可知,在RtAQO中,AOAQ2OQ
40、2102（10工）2 则yAOBOP（）r2102（10工）2.显然.0贝l0.所以,y用工表示的函数为y工2r22Or200（0r10）.20选用l）中的函数关系;而丽）tan十l0（0苛）来确定符合要求的污水处理厂的位置因为叫蒜l00羔辩0.cos20sin202sin0l所以嘿票l0.0.COS20COS20.由一得副M,网00苛故当0巨卜.）.M0;当巨（;.时.叉0.所以雨数在0-;时取得枷恒.这个广刁极小值就是圈数在.卜的最小值0丽-竿（kln（当0昔时.Ao-Bo-COS-云O（2）31l曹正兴葛中墨像解题方腋令因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为雌km时,铺
41、设的排污管道的总长度最短哑如图87所示游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.种是从A沿直线步行到C,另种是先从A沿索道乘缆车到B然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山甲沿AC匀速步行速度为50mmin.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B在B处停留1min后再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130mmin山路AC长为1260m经测量c圈八书,c。篇C（1）求索道AB的长;（2）问乙出发多少分钟后乙在缆车上与甲的距离最短?AC图87（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟乙步行的速度应控制在什么范围内?解题策略:解应用题的关键是如何把实际问题转化为
42、数学问题对于本题而言显然是把实际问题转化为解三角形问题通过利用正弦定理和余弦定理及解不等式达到解决问题的目的.解;（D因为c。鼠-器.c。愚C-所以ACe（0,;）.所以smA-备隐nC-所以sinBsin沉（AC）sin（AC）sinAcosCcosAsinC婴.OO根搬揣-羔懈八B-器sC-l040（m儿所以索道AB的长为1040m.（2）设乙出发r分钟后甲、乙距离为则:M005M21;毗沁（l005喘所以d2200（37t270t50）.因为0糕即0a所以封器时即乙出发器分钟后乙在缆车上与甲的距离最短（3）由正弦定埋羔器得BC-糕副A鄂备-500（m儿65乙从B出发时甲已经走了50（28
43、1）550（m）还需走710m才能到达C设乙的步遮度为融则孪黑所以:乎带3,所以等刚等312第八聋逮犊与霞用的思想所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min乙步行的速度应控制在隅.尝mmm范阔咖第五节与空闯图形扣吴的应用题如图88所示,某地为了开发旅游资源,欲修建一条联结风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面哩所成的二面角为（旷旷）,且息M,点P到平面的距离PH0.4千米沿山脚原有段笔直的公路AB可供利用从点O到山脚修路的造价为万元千米.原有公路改建费用为;万元千米当山坡上公路长度为千米（12）时其造价为（21）万元,已知OAABPB上ABAB1.5千米,OA侗千米
44、.,-灭L妊1-L-D,r上AD,d.O,ud。尸图88（1）在AB上求点D使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;（2）对于（1）中得到的点D在DA上求点E使沿折线PDEO修建公路的总造价最小;（3）在AB上是否存在两个不同的点D、E,使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价?证明你的结论.解题策略:本例是空间图形与函数、导数知识相结合的应用题,考查学生的空间想象能力、建模能力以及灵活运用数学知识的能力其中（2）可以运用导数知识确定函数的单调区间并求出最小值（3）可以有不同解法对函数式的变形技巧应引起重视.解:（1）如图89所示PH上HBPBAB.由三垂线定理逆定理知AB上
45、HB所以pBH是山坡面与o所成二面角的平面角PH则PBH0PB百II丁F1.设BD工千米0工1.5,则PD工2PB2王百干I12,记总造价为l（r）万元据题意有（巫）-（尸DlADAo）-（延:号十冗白了又尸日图89工（佰十）（揣侗）当涎十.即月D千米时总造价（延）最小巨（2）设E千米0则寸,总造价为:（川）万元,根据题设有313曹正兴高中魁檬解题方临介绸朋）日（司）日（日回）厂信旧胖2（y）贝几（蚁）-（7六）“,川几（醚）-0得-当（0l）时,2（y）02（）在（01）内是减函数当e（l,;）时（）0,!（）在（1,:）内是增濒数故当-l即AE千米时总遣价2（删）最小且最小总造价为册万元不
46、存在这样的点D、E.事实上,在AB上任取不同的两点D、E为使总造价最小,E显然不能位于D与B之T间故可设E位于D与A之间,且BD烫千米,AE1千米,0工,总造价为万元则（虹;?y7痈￥）叭类似于（l）（2）的讨论知.域内.y7;,1当且仅当工l了yl1同时成立时上述两个不等式等号同时成立.此时ED-千米,八E-1千米.取得最小值器点D、E分别与DE重合所以不存在这样的点D、E,使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价.份门厉可尸乙二l 0叶-丁k左乏匹【布凡7六.丁百些奇M如图8（3）陋10所示从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉条电缆,其中PN的长为mlVM的长为2m在P处测
47、得M、lV的仰角分别为45、30在lV处测得M的仰角为30.P（1）求此山的高度;图8-10（2）试求平面PMN与水平面所成角的余弦值.解题策赂:本例是空间图形与三角、向量相结合的创新型应用题.第（1）问通过解三角形获解;第（2）问可考虑运用向量法求解.解:（1）如图811所示,过M作M4垂直过P的水平面于A过IV作lVB垂直过P的水平面于B.1霸!毖所以NB-NPshl30.-,MHMN-“图811314.第八章冀模与恿用钓思想山高MAMHHA-MHB-;以A为原点,AB、AM所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系如图s2所示不妨设-1则M（0,0,;）,N（0,侗,）P（.乎.0）所以
48、丽-（乎:）,丽-（,罕,）设平面MlVP的个法向量而（工y,z）,则乎:逗-0,而.PM0而.丽0即刽厂!延罕绥-（2）Z0Mx图8-12-（l,罕 l）令工1,解得万且平面PAB的个法问量丽厕（0,0,;）呵历万设平面PMN与水平面所成角为0则cos0勺历.万白平面PMN与水平面所成角的余弦值为罕第六节概率与数学期望应用题阳在一块耕地上种植种作物,每季种植成本为1000元此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:（1）设工表示在这块地上种植1季此作物的利润求工的分布列;（2）若在这块地上连续3季种植此作物求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.解
49、题策略:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率在求解时要注意应用计数原理、古典概型等知识.解:（1）设A表示事件“作物产量为300千克B表示事件“作物市场价格为6元千克由题设知P（A）0.5P（B）0.4.315作物产量千克概率300广500氏作物市场价格（元千克）概率6（）41006曹正妥高中幽檬解题方臆今因为利润产量币场价格成本.所以X所有可能的取值为5001（）10004000,5006100020（）（）,3001010002000,30061000800。P（X40（）0）P（A）P（B）（10.5）（10.4）（）.3,P（X20（）0）P（A）P（B）P（A）
50、P（B）（10.5）0.40.5（1（）.4）0.5,P（X800）P（A）P（B）0.50.40.2,所以X的分布列为（2）设Q表示事件“第季利润不少于2000元”（j1,23）由题意知Cl、C2、C3相互独立由（1）知,P（Ci）P（X4000）P（X2000）0.30。50.8（t192,3）,P（C1C2C3）P（C1）P（C2）P（C3）0.830.512;3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P（ClC2C3）P（ClC2C3）P（ClC2C3）30.820.20.384,所以这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.5120.3840.896.囤个袋中装有若干个大小
51、相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出1个球得到黑球的既率是:;从袋中怔意懊出2个球至少得到l个白球的概率是（1）若袋中共有10个球（）求白球的个数;（）从袋中任意摸出3个球记得到白球的个数为6,求随机变量芍的数学期望E6.7（2）求证;从袋中任意摸出2个球,至少得到个黑球的概率不大于而并指出袋中哪种颜色的球个数最少.解题解;（1）（策略:本例是模球问题考查概率、分布列、数学期望以及推理论证能力.）记“从袋中任意摸出两个球至少得到个白球为事件A.设袋中的白球的个数为则P（A）-l皆-;,得到壁-故白球有5个.（）随机变量6的取值为012,3分布列是60l3112512512112P316。X
52、P40（）00.5800）.2第八豪嚏棋与霞用的思想亭的数学期望E厚帝叶侍l备2六乏（2）证明;设袋有测个球其中则个黑球由题意得测,所以2y,2l,故A去记“从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球为事件B则厅尸二尸同广二厂）日（尸9所以白球的个数比黑球多.白球个数多于亏,红球的个数少于,故袋中红球个数最少.顾甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答个问题答对者为本队赢得分答9错得零分假设甲队中每人答对的概率均为;.乙队中;人答对的慨率分别为、且各人回答正确与否相互之间没有影响.用专表示甲队的总得分.（1）求随机变量6的分布列和数学期望;（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这事件用
53、B表示“甲队总得分大于乙队总得分,这事件,求P（AB）.解题策赂:本例考查随机变量分布列、数学期望、互斥事件和相互独立事件的概率,考查数据处理能力和应用意识.解:（1）解法:由题意知6的可能取值为0、1、2、3且P（停0）C!（:）六,P（詹-1）-c吸:毁（;）;尸（厚-2）-c;火（）（1;）;.P（厚3）C;（:）,劳所以芍的分布列为芍103127日827P6的数学期望为压0六亏2蜒;3务-29317曹正妥詹中盛檬解题方膛令）二解法二:根据题设可知,芍B因此曹的分布列为P（:-肉）C脚（;）（l;厂-C糕.腮-队l、趴3因为厚B（:,:）所以E厚3:-z（2）解法:用C表示“甲得2分乙得
54、1分”这事件用D表示“甲得3分乙得0分”这事件,所以ABC0D且C、D互斥又因为P（-C;巩（;）;x（1:）久（;久;咒l!）器P（D）C沁（）（!小）,故由互斥事件的概率公式得P（B）-P（C）P（D）器器蒜解法二:用A爬表示“甲队得此分”这事件用B胸表示“乙队得卢分”这事件.虎0、1、2、3由于事件A3B0、A2Bl为互斥事件故有P（AB）P（A3B0OA2Bl）P（A3B0）P（A2Bl）由题设可知事件A3与B0相互独立,事件A2与Bl相互独立,因此P（AB）P（A3B0）P（A2Bl）P（A3）P（B0）P（A2）P（Bl）-（:）（尹）C;喘（C;）-基第七节与解析几何相矣的应用题
55、陋某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两观测点同时听到了声巨响正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340ms相关各点均在同直线上.）解题策赂:由于问题中的时间差是常数可得距离之差是常数,显然轨迹是双曲线的一支.解:如图813所示以接报中心为原点,正东、正北方向分别为工轴、y轴建立直角坐标系设A、B、C分别是西、东、北观测点则A（1020,0）B（1020,0）,C（01020）.设P（工y）是巨响发生点由A、C同时听到巨响得PAPC,从而点P在线段AC的垂直平分线y工上因为点
56、B比点A晚4s听到巨问声,故PBPA34041360由双线的定义知点P布以八为焦点的双线萨斋-1的左支上V尔图8-13318第八素丈模与霞用的思想由题意知680,C1020所以b2C2210202680253402,y故双曲线的方程为扁5340凰-L将y工代人上式,得工680百因为P在双曲线的左支上故工680百,y680百即P（680百680百）,从而PO680I.因此巨响发生在接报中心的正西北方向680Im的地方.厕为了考察冰川的融化状况支科考队在某冰川上相距8km的A、B两点各建个考察基地视冰川面为平面以过A、B两点的直线为r轴,线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系（如图814）.在
57、直线工2的右侧考察范围为到点B的距离不超过平监m的区域;庄直线工-2的左侧考察范围为到A、B两点的距离之和不超过4百km的区域区yA域化P（乎.6）厂已蹈”;“丁亦叮）Ox兰2j（40）P（5厄,l）川冰A）蛔（尸）凹词删闰（尸尸（A图814墨8-15（1）求考察区域边界曲线的方程;（2）如阁815所示设线段PlP2、P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）当冰川融化时边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动第年移动0.2km以后每年移动的距离为前年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间际问题主要考查分析问题以及把实际问题解题策略:本例考查利用 解析几何知识解决实数学问题的能力.
58、解题过程中应注意实际问题对范围的妥求.为化转解:（）设边界曲线上点P的坐标为（烫,测）当娶2时,由题意知（堑4）测:-等当工2时由PA PB4百知点P在以A、B为焦点,长轴长为24百的椭圆上.此时短半轴候b-（2佰!4,-2,因而其方程为箭子1（堑4）M.工2.综上边界曲线方程为。荒-l,疑a（2）设过点Pl、P2的直线为l 过点P2、P3的直线为2则直线l、2的方程分别为y319净正妥葛中魁誊解题方怯勺、可上卞工佰设直线平行直线!其方程为-佰堑枷.代人椭圆程箭于L消去y得16工210百加刃5（加24）0,由300m24165（m24）0解得!8或陀8.从图中可以看出当加8时直线与C2的公共点
59、到直线l的距离最近,此时直线方程为-橱鲤岛与之问雕离为副芳二-义因为直线到CC的最短距离刨-6平而创:,所以考察区域边界至冰川q边界线的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为年则由题设及等比数列求和公式,得02冉2兰l）3,所以42 1故冰川边界移动到考察区域所需的最短时间为4年.如图816所示为保护河上古桥OA规划建座新桥BC,同时设立个圆形保护区规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;圆形保护区的圆心M在线段OA上,且边界与BC相切;古桥两端O和A到该圆上任意点的距离均不小于80m.经测量点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170mdbb兰二l工一bb、尸二可巴丛二丛
60、了Bb、兰b飞LL二b.二0丛旦丛陋小导B EplM二.呵6CO广j70m判东处（oC为河岸）tan丝BCo-图（1）求新桥BC的长;（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?解题策赂:本例主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形知识可以从不同的视角去分析有多种不同的解法.解:（1）解法:如图817所示以）为坐标原点所在直线为工轴,建立平面直角坐标系工Oy.由条件知A（060）,C（170（）直线BC的斜率隐BctanBCO生又因为ABBC.所以直线B的斜率晦凋;.仕y儿一图817b0466（）厅,虎AB:170O0距则）（为标坐的占设丛320第八景樊模与蔑用的思慈解得8（）m,6120
61、 m所以BC（17（）80）2（）120）2 150m因此新桥BC的长是150m.解法二:如图817所示延长OA、CB交于点E因为anECO-斗.所以sin么ECO土c。sECO县OOO闲为滥-简0m-l（m所以皿-CCEUO-呼m.CE-c。尚）呼1从而AE-OFOA孪m因为OA上OC,所以c。sAEBsinECO又因为AB上BC,所以BEAEcosAEB华m,从而BCCEBE150n1o因此新桥BC的长是150m.解法三:如图817所示延长BA、CO交于D点易得RtAODRtCBD.所以ta丝BCO.圃n丝M器-;AO-60m八D100mDO80m.DC-250m,器器,BC-C罢芹O-1
62、50m因此新桥BC的长是l50m.解法四:如图817所示,联结AC在RtAm中ACAO2（汇250T百m.tan丝ACO-仟CB-mn（BcOACo）-什瞪你喘照o-;在RABC巾,c。富二ACB-呼.BC-八C.cs二ACB-l50皿因此新桥BC的长是150m.解法五:如图817所示,过A点作工轴平行线交BC于H点过H点作z轴垂线,垂足为F易得四边形AOFH为矩形AOHF60m.在股HFc中t鼠丝BCo-tanHCF,FC-5mHCHF2FCz75m,AH125m.在RABH中:csAHB.BHAH.cosAHB75mBCBHHC150m因此新桥BC的长是150m.解法六:如图817所示过B
63、点分别作（汇、OA的垂线垂足分别为G、N321玄正磐高中魁誊解题方膛令在RtBGC中,tan么BCG令,设周G4!.GC-3BC5tOOGNB1703t,lVAOlV604r60.由RMtGCB.得器旱t.n么NM-4,O即BC150m.因此新桥BC的长是150m.解法:如图818所示设保护区的边界圆M的半径为厂m,OM回m（060）.皿月吧么已（2）由条件知直线BC的方释为y（延70儿即4r36800.由于圆M与直线BC相切,故点M（0,）到直线BC的距离是厂即-至二!腮035,因为O和A到圆M上任意点的距离均不小于80m680M铡80.所以匡刷 腑0亏M（铡O即斗解得10即o所以创80解得
64、10 二图8-1835（厂（60）80,680M.故当l0时,厂680M最大即圆面积最九L所以当OM10m时圆形保护区的面积最大.解法二:如图818所示设保护区的边界圆M与BC的切点为D.联结MD则MD上BC.且MD是圆M的半径并设MD厂mOMm（060）.延长OA、CB交于点E,因为OA上（,所以sinCEOcosECO.日厂皿时灿哑（知法解勺由所以厂680M5因为O和A到圆M上任意点的距离均不小于80m,“0亏:d刨80,所以刷嚼 憾铡即解得1035.5故当感l0时.-680亏M最大,即圆面积最大所以当OM10m时,圆形保护区的面积最大.322。第八聋建犊与霞用的恩想第八节数据才以合与图表
65、型应用题p例1某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表投资A种商品金额万元获纯利润万元投资B种商品金额万元获纯利润万元123（）。651。391.85123（）250。4907656l.841.4056l26151l2耻该经营者准备下月投人l2万元经营这两种产品但不知投人A、B两种商品各多少才最合算请你帮助制定个资金投人方案使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两个有效数字）.解题策略:根据问题所提供的数据作出散点图再连线用熟悉的函数模拟实际问题,这就是人类用数学解决实际问题的过程也就是在实际问题中建立函数模型的过程
66、.解题时要注意两点:一是认真阅读理解题意,通过列表（本题已经给出）画散点图,用熟悉的函数去拟合实际问题,从而建立相关的函数模型;二是抓住题目的题眼”建立相关函数的模型,如增长率问题对应着指数函数模型等.解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标在直角坐标系中画出散点图（如图819）.据此可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系:y（工4）22（0）.ybr.把Z1y0.65代人o式,得0.65（14）22,解得0.15.Ay万元X万 元l23456图8-19故前六个月所获纯利润关于月投资于A种商品的金额的函数关系式可近似地用0.15（工4）22表示.再把工41代人式得b0.25故前六个月所
67、获纯利润关于月投资于B种商品的金额的函数关系可近似地用y0.25工表示.设下月投资A种商品工万元则投资B种商品（12工）万元可获纯利润:y0.15（工4）22（）.25（12工）0.15工20.95工2.6.0.954（0。15）2.60.952当工2（0.15）3.2时ymax4.1.4（0.15）故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元,可获最大利润4.1万元顾下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的对应值,可用个函数模拟刹车后的停车距离y与车速工的关系模拟函数可用r（、为常数,0,1）或yr2bZC（bc为常数0）.试从中选择模拟较好的函数模型并根据此函数模型预测车速323净正妥
68、葛中想檬解题方膛介为120kmh时刹车后的停车距离.qr（kmh）1（）1530405060708090100Vm471218253443546680解题策略:本题中函数模型拟为两种形式可根据已知数再根据实际值与据求出模拟函数观测值的误差检验哪一个函数模拟较 好。解:若以y工（、为常数0,1）为模拟函数,将（10,4）、（4018）分别代人函数解析 10厕4,（1.085,式得（解得（故y0.329工L085。40网18,（0.329.由此函数解析式计算得车速分别为90kmh100kmh时刹车后的停车距离分别约为43.406m,48.663m与实际情况相差较大.若以y工2b工C（、b、c为常数
69、,0）为模拟函数,将（104）、（40,18）、（6034）分别代人函数解析式得1T而.10:b.l0c.:;削工量解襟啊扁枷六席叶C2由此函数解析式计算得车速分别为90kmh、100kmb时刹车后的停车距离分别为68m、82m,所得数据比较符合实际情况因此用函数删-六堑扁什2模拟较好当恋-20时-l皿即当车速为120kmh时刹车后的停车距离为114m.哑在无水垢的新铝锅内装人定量的冷水置于燃气灶上分别用不同大小的火焰将其加热至沸腾（因火焰的大小不宜测量,利用燃气灶的旋钮刻度代指从点火线至最大线共有四格分别取旋钮正指5、4、3、2刻度时测量火焰大小与刻度大小成正比）并记录下每次所需时间和耗气量
70、（为减少误差每次加热至沸腾后都用水将锅冷却至室温）现得到旋钮所指刻度、起止时间、耗气量三者之间的关系数据如下表:燃气表读数m刊始终72667.3107。307.3477.347739（）7.3907。451起止时间终807。60837。82954351213.22旋钮所指刻度始日勺臼（1）试将上述实验数据整理后填人下表:324第八豪嚏模与蔑用瞄思想旋钮所指刻度耗气量L时间s（2）若耗气量y与旋钮刻度工间的模拟函数可以选用二次函数y户工2q工厂（户0户、q、厂为常数）或函数yb工C（其中、b、C为常数）则用刻度值为35来模拟函数时,用以上哪个函数作为模拟函数更确切?请说明理由.解题策赂:数学的许
71、多概念与结论来自人们的实践活动而实践活动又有助于论的理解.本题给出了数据表又给出了两个函数模型首先妥分析研究数据表,并对概念与结对实验数据进行整理得到更能反映问题的数据表并以这个数据表运用待定系数法求函数模型.由于实际问题的条件与得出的模型的条件会有所不同,因此往往需要对模型进行检验（用在待定系数时尚未用完的数据）看是否合乎实验,若不合乎实际,应修正函数模型或寻找更确切的模拟函数.解:（1）见下表内数据:旋钮所指刻度5432耗气量L44374361时间s48760519。82594.35733。22（2）设yl（Z）户工2qr厂（其中户、q、厂为常数）,将（343）、（437）、（544）三个
72、点的坐标代人上述解析式13户百3.夕3q厂-43,啡!渊二!隅芋所以驰（露）祟竿露腮厂139.将工-2代人.得f（2）-笋宁2l396凰o再设y2g（工）。b堑c将（3,43）、（4,37）、（544）三个点的坐标代人,蹈旧广头）曰（而倔（）彦工以所砒厅导孟山尸325曹正妥高中毯噬解题方做将2代入,得g（2）鹏（;）:尝-:7o比较o可知（2）的结果比凛（2）更接近于实验结果,故选用测-等:孪狱l39作为模拟函数更确切.专题训练九:建模与应用的思想-、填空题1.如图,在半径为30cm的半圆形（）为圆心）铝皮上截取块矩形材料ABCD,其中A、B在半圆直径上,C、D在圆周上,则矩形ABCD的最大面
73、积为cm2.丑川yCII1。D一C厂dOB2.从盛满2L纯酒精的容器里倒出1L纯酒精,然后填满水再倒出1L混第1题图合溶液后又用水填满,依次继续下去,要使酒精浓度低于10,至少倒次.3.先后抛掷颗质地均匀的殷子两次,得到其向上的点数分别为加、记（加）则满足万5的概率是4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建个面积最大的内接矩形花园（阴影部分）则其边长工为m.40mX5.某商家月份至五月份累计销售额达3860万元预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增r,八月份销售额比七月份递增工九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若月份至十月份销售总额至少达7000万元,则工的最小值是40m
74、列第4题图6.如图在平面直角坐标系工Oy中,单位圆的圆心的初始位置在（）1）此时圆上点P置在（0,0）,圆在工轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于（21）时,OP的坐标为的位八加尸且、飞、几2（）l第6题图第7题图7如图所示已知树顶A离地面m,树上另点B离地面号m,某人在离地面;m的C处看此树则该人离此树m时看A、B的视角最大.8.平面上机器人在行进中始终保持与点F（1,0）的距离和到直线工1的距离相等若机器人接触不到过点P（1（）且斜率为卢的直线则卢的取值范围是.9.图中所示是抛物线形拱桥当水面在时拱顶离水面2m水面宽4m.水位下降1m后水326。第八聋建犊与威用的思忽面宽为m.10.如图,个
75、圆锥形的空杯子上放着一个半球形的装满水的容器,如果容器的水全部流人杯子后正好盛满杯子,则杯子的高lcm.力cmb第11题图第9题图第10题图11.如图,某水泥渠道的横断面为等腰梯形为保证额定流量面积不得小于S.若两侧面的倾角均为6（）,为使水泥用料最省,则腰长与底宽b之比为.12.某地街道呈现东西、南北向的网格状,相邻街距均为1,两条街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系现有下述格点:（22）、（31）、（34）、（23）、（45）、（66）为报刊零售点请确定个格点（除零售点外）为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间的路程和最短.13.如图测量河对岸的塔高AB时,可以
76、选与塔底B在同水平面内的两个观测点C与D,观测得乙BCD.BDC,CDJ,并在点C测量塔顶A的仰角为0,则塔高ABC第l3题图二选择题14.如图某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动此人为了准确瞄准目标点P需计算由点A观察点P的仰角0的大小（仰角0为直线AP与平面ABC所成角）若AB15mAC25mBCM30。,则tan0的最大值是（）.日一万第14题图呼凰俘c竿n乎15.植树节某班20名同学在段直线公路侧植树,每人植棵,相邻两棵树相距10m,开始时需将树苗集中放置在某树坑旁边现将树坑从1到20依次编号为使各位同学从
77、各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）.A.O和OB.O和Oc.O和OD.O和O16.某化工厂打算投人条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投人生产.已知该生产线连续生产年的累讣产量为广（）-（1）（21）吨但如果年产量超过150吨.将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）.A.5年B.6年C.7年D8年。327曹正兴葛中魁誉解题方怯公书17.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排90（）名客人旅行A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人租金分别为1600元辆和2400元辆旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型
78、车不多于A型车7辆则租金最少为（）.A.3l200元B.36000元C.36800元D38400元三、解答题18.某民营企业生产A、B两种产品根据市场调查与预测A产品的利润与投资额成正比,其关系如图（1）所示B产品的利润与投资额的算术平方根成正比其关系如图（2）所示（注:利润与投资额单位均为万元）.（1）分别将A、B两种产品的利润用有关投资额的函数关系式表示出来;（2）该企业已筹集到10万元资金,并全部投人A、B两种产品的生产,怎样分配这10万元资金才能使企业获得最大利润其最大利润约为多少万元（精确到1万元）?y37525牙了045025Oll8x工O49）勺（l）第18题图19.某企业在第l
79、年初购买台价值为120万元的设备MM的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75.（1）求第年初M的价值的表达式;（2）设Al2,若A大于80万元则M继续使用,否则须在第年初对M更新.证明:须在第9年初对M更新.328第八章立棋与霞用嫡恩想20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在般情况下大桥的车流速度U（单位:千米时）是车流密度工（单位:辆千米）的函数,当桥上的车流密度达到200辆千米时造成堵塞此时车流速度为（）;当车流密度不超过20辆千米时车流速度为60千米时.研究表明:当2（）Z200时,车流速度U是车流密度工的次函数.（1）当0工200时,求函数U（工）的表达式;（2）当车流密度工为多大时车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数单位:辆时）（工）工。U（工）可以达到最大并求此最大值.（精确到1辆时）如图某市拟在长为8km的道路OP的侧修建条运动赛道,赛道的前部分为曲线段OSM该曲线段为函数yAsinr（A0,0）r巨04的图像,且图像的最高点为S（3,2侗）;赛道的另部分为折线段MlVP为保证参赛运动员的安全,限定MNP21120（1）求A、山的值和M、P两点间的距离;（2）应如何设计才能使折线段赛道MNP最长?V八2侗O第21题图329
