1、题型七二次函数的实际应用高分帮类型1利润最值问题1.2021山东济宁某商场购进甲、乙两种商品共100箱,全部售完后,甲商品共盈利900元,乙商品共盈利400元,甲商品比乙商品每箱多盈利5元.(1)求甲、乙两种商品每箱分别盈利多少元.(2)甲、乙两种商品全部售完后,该商场又购进一批甲商品,在原每箱盈利不变的前提下,平均每天可卖出100箱.如调整价格,每箱降价1元,平均每天可以多卖出20箱,那么当每箱降价多少元时,该商场获得的利润最大?最大利润是多少?解:(1)设乙商品每箱盈利x元,则甲商品每箱盈利(x+5)元,根据题意,得900x+5+400x=100,解得x=10.检验:当x=10时,x(x+
2、5)0,x+5=15.答:甲、乙两种商品每箱盈利分别为15元,10元.(2)设每箱降价m元,该商场获得的利润为W元,根据题意,得W=(15-m)(100+20m)=-20m2+200m+1500=-20(m-5)2+2000,当m=5时,W取最大值,最大值为2000.答:当每箱降价5元时,该商场获得的利润最大,最大利润为2000元.2.2021辽宁营口某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系.
3、(其中40x70,且x为整数)(1)直接写出y与x的函数关系式;(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少?解:(1)y=-10x+700(40x60),5x-200(60x70).解法提示:当40x60时,设y=k1x+b1,将(40,300),(60,100)分别代入,可得40k1+b1=300,60k1+b1=100,解得k1=-10,b1=700,即y=-10x+700.当60x70时,设y=k2x+b2,将(70,150),(60,100)分别代入,可得70k2+b2=150,60k2+b2=100,解得k2=5,b2=-200,即y=5x-200.y=-10x+700(
4、40x60),5x-200(60x70).(2)设销售利润为w,当40x60时,w=y(x-30)=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000,当x=50时,w取最大值,为4000;当60x70时,w=y(x-30)-150(x-60)=5x2-500x+15000=5(x-50)2+2500.该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=50,当604000,当售价为70元/件时,商家所获利润最大,最大利润是4500元.3.2021淮南一模老王种植了优质蓝莓,经核算,种植成本为18元/kg.通过30天的试销发现:第1天卖出20kg,以后每天比前一天多卖4kg.销售价格y(
5、元/kg)与时间x(天)之间满足的关系如下表:时间x/天1x2020x30销售价格y/(元/kg)-0.5x+3825(其中,x,y均为整数)(1)试销中每天的销售量p(kg)与时间x(天)之间的函数关系式为p=4x+16.(2)销售蓝莓第几天时,当天的利润w最大,最大利润是多少元?(3)求试销的30天中,当天利润w不低于870元的天数共有几天.解:(1)p=4x+16解法提示:根据题意可得p=20+4(x-1)=4x+16.(2)当1x0,当x=30时,w 取最大值,最大值为952.综上可知,第18天时,当天的利润最大,最大利润为968元.(3)当1x20时,令w=870,即-2(x-18)
6、2+968=870,解得x1=11,x2=25.易知当1x18时,w随x的增大而增大,当18x20时,w随x的增大而减小,当11x0),公司为回馈消费者,规定该商品售价不得超过55元/件,且该商品在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系,若周销售最大利润是4050元,求m的值.解:(1)设y=kx+b,由题意有40k+b=180,70k+b=90,解得k=-3,b=300,y关于x的函数解析式为y=-3x+300.(2)由(1)得W=(-3x+300)(x-a),又由表可得3600=(-340+300)(40-a),a=20,W=(-3x+300)(x-20)=-3x2+360
7、x-6000=-3(x-60)2+4800.售价为60元/件时,周销售利润W最大,最大利润为4800元.(3)由题意得W=-3(x-100)(x-20-m)(x55),该函数图象的对称轴为直线x=60+m260,00)给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求a的取值范围.解:(1)4800037解法提示:(50-10)50+300010-20010=48000(元),当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元.设每个公司租出的汽车为b辆时,两公司的月利润相等,由题意可得(50-b
8、)50+3000b-200b=3500b-1850,解得b=37或b=-1(不合题意,舍去).(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,每个公司租出的汽车为x辆,则y甲=(50-x)50+3000x-200x=-50x2+5300x,y乙=3500x-1850,结合两函数图象和(1)可知,当甲公司的利润大于乙公司时,0x37.y=y甲-y乙=-50x2+5300x-(3500x-1850)=-50x2+1800x+1850,当x=-1800-502=18时,利润差最大,最大值为18050.当乙公司的利润大于甲公司时,3718050,两公司月利润差的最大值为33150.(3)捐款后甲
9、公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,利润差为y=-50x2+1800x+1850-ax=-50x2+(1800-a)x+1850,对称轴为直线x=1800-a100.x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,16.51800-a10017.5,解得50a3+6112,解得b3524.类型3面积问题7.李师傅想在自家院子里利用夹角为135的两面墙修建一个储物间,即四边形ABCD,如图,其中BCAD,C=90,现欲在新建的墙BC上预留一个宽为2m的门EF.已知李师傅家现有的砖只能修建16m长的墙,设CD=xm,四边形ABCD的面积是ym2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注
10、明自变量x的取值范围.(2)当x取何值时,y取得最大值,最大值是多少?解:(1)如图,过点A作AGCB于点G,则BAG=45.ADBC,C=90,D=C=90,四边形AGCD是矩形,BG=AG=CD=xm,AD=CG=16+2-x-x=(18-2x)(m).S四边形ABCD=SABG+S矩形AGCD,y=12x2+x(18-2x)=-32x2+18x,其中0x9.(2)y=-32x2+18x=-32(x-6)2+54,当x=6时,y取得最大值,最大值为54.8.有一段长为30m的墙MN,用100m长的篱笆围成如图所示的图形(靠墙的一边不用篱笆,篱笆的厚度忽略不计),其中四边形AEFH和四边形C
11、DHG是矩形,四边形EBGF是边长为10m的正方形,设CD=xm.(1)若矩形CDHG的面积为125m2,求CD的长;(2)当CD长为多少时,矩形ABCD的面积最大,最大面积是多少?解:(1)由题意得,3x+20+GC=100,GC=80-3x,BC=BG+GC=10+80-3x=90-3x.0BC30,090-3x30,解得20x15时,S随x的增大而减小,又20x30,当x=20时,S取得最大值,最大值为-3(20-15)2+675=600.答:当CD长为20m时,矩形ABCD的面积最大,最大面积是600m2.类型4其他问题9.2021山东临沂公路上正在行驶的甲车,发现前方20m处沿同一方
12、向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程s(单位:m)、速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s) 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,图象如图所示.(1)当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程是多少?(2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近?最近距离是多少?解:(1)因抛物线过点(0,0),故设二次函数的解析式为s=at2+bt,将(1,15.5),(2,30)分别代入,得a+b=15.5,4a+2b=30, 解得a=-0.5,b=16.故该二次函数的解析式为s=-0.5t2+16t.设一次函数的解析式为v=kt+c,将(0,16),(8,8)分别代入,得c=16,8k+c=8,解得k=-1,c=16,故该一次函数的解析式为v=-t+16.当v=9时,-t+16=9,解得t=7.当t=7时,s=-0.5t2+16t=-0.549+167=87.5.故当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程是87.5m.(2)由题意,得两车之间的距离为10t+20-(-0.5t2+16t)=0.5t2-6t+20=0.5(t-6)2+2,故当t=6时,两车相距最近,最近距离为2m.
