1、第三节全等三角形考 点 帮易错自纠易错点1误用“SSA”判定三角形全等1.如图,BDA=BDC,现添加以下条件不能判定ABDCBD的是(C)A.A=CB.ABD=CBDC.AB=CBD.AD=CD易错点2忽略“1与2全等”和“12”的区别2.如图,在ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为vcm/s,则当BPD与CQP全等时,v的值为2或3.方 法 帮提分特训1.2018江苏南京如图,ABCD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,B
2、F=b,EF=c,则AD的长为(D)A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c2.2020四川宜宾如图,ABC和ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连接BE,AD,点M,N分别是线段BE,AD上的点,且BM=13BE,AN=13AD,则CMN的形状是(C)A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边三角形3.2020四川宜宾如图,在ABC中,点D是边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接CE.(1)求证:ABDECD;(2)若ABD的面积为5,求ACE的面积.(1)证明:点D是BC的中点,BD=CD.在ABD和ECD中,BD=CD,ADB=EDC,AD
3、=ED,ABDECD.(2)在ABC中,点D是BC的中点,SABD=SACD.ABDECD,SABD=SECD.SABD=5,SACD=SECD=5,SACE=SACD+SECD=5+5=10.4.2020北京在ABC中,C=90,ACBC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DFDE,交直线BC于点F,连接EF.(1)如图(1),当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);图(1)图(2)(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图(2),用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.(1)D是AB的中点,E是线段AC的中
4、点,DE为ABC的中位线,DEBC.C=90,DEC=90.DFDE,EDF=90,四边形DECF为矩形,CF=DE=12BC,CF=BF=b.CE=AE=a,EF=CE2+CF2=a2+b2.(2)补全图形如图所示.EF2=AE2+BF2.证明:如图,过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G,连接FG.BGAC,EAD=GBD,DEA=DGB.D是AB的中点,AD=BD,EADGBD,ED=GD,AE=BG.又DFDE,直线DF是线段EG的垂直平分线,FE=FG.ACB=90,BGAC,GBF=90.在RtBGF中,FG2=BG2+BF2,EF2=AE2+BF2.真 题 帮【考法速览】考法1
5、直接证明三角形全等(10年7考)考法2构造三角形全等(10年7考)考法1直接证明三角形全等1.2019安徽,20(1)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE,连接AE,DE.求证:BCEADF.证明:如图,延长FA交CB的延长线于点M,易知ADBC,FAD=M.AFBE,M=EBC,FAD=EBC.同理得FDA=ECB.四边形ABCD是平行四边形,AD=BC.在BCE和ADF中,EBC=FAD,BC=AD,ECB=FDA,BCEADF.2.2017安徽,23(1)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.如图,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E
6、,F.求证:BE=CF.证明:四边形ABCD为正方形,AB=BC,ABC=BCF=90.AGB=90,BAE+ABG=90.又ABG+CBF=90,BAE=CBF,ABEBCF,BE=CF.3.2016安徽,23(1)如图,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.求证:PCEEDQ.证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形.OCE=ODE.OAP,OBQ都是等腰直角三角形,PC
7、O=QDO=90.PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ.又PC=12AO=CO=ED,CE=OD=12OB=DQ,PCEEDQ.4.2015安徽,23(1)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若AGD=BGC.求证:AD=BC.证明:GE是AB的垂直平分线,GA=GB.同理GD=GC.在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC,AGDBGC,AD=BC.考法2构造三角形全等5.2014安徽,23如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,
8、过P作PMAB交AF于点M,作PNCD交DE于点N. 图(1)图(2)图(3)(1)MPN=60;求证:PM+PN=3a.(2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON.求证:OM=ON.(3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由.(1)证明:如图(1),连接BE交MP于H点.在正六边形ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BEPNAF.又PMAB,所以四边形AMHB、四边形HENP均为平行四边形,BPH为等边三角形.所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(2)证明:如图(2),连接BE,则BE
9、过点O.由(1)知AM=EN.又AO=EO,MAO=NEO=60,所以MAONEO,所以OM=ON.图(1) 图(2) 图(3)(3)四边形OMGN是菱形.理由如下:如图(3),连接OE,OF,由(2)知MOA=NOE.因为AOE=120,所以MON=AOE-MOA+NOE=120.因为OG平分MON,所以MOG=60.又FOA=60,所以MOA=GOF.又AO=FO,MAO=GFO=60,所以MAOGFO,所以MO=GO.又MOG=60,所以MGO为等边三角形.同理可证NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.6.2011安徽,23(1)(2)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行
10、线l1,l2,l3,l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1,h2,h3(h10,h20,h30).(1)求证:h1=h3;(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h1+h2)2+h12.(1)证明:如图(1),设AD与l2交于点E,BC与l3交于点F,由BFED,BEFD,知四边形BEDF是平行四边形,BE=DF.又AB=CD,BAE=DCF=90,RtABERtCDF,h1=h3.图(1)图(2)(2)证明:如图(2),作BGl4,DHl4,垂足分别为G,H.在RtBGC和RtCHD中,BCG+DCH=180-BCD=90,CDH+DCH=90,BCG=CDH.又BGC=CH
11、D=90,BC=CD,RtBGCRtCHD,CG=DH=h3.又BG=h2+h3,BC2=BG2+CG2=(h2+h3)2+h32=(h1+h2)2+h12,S=BC2=(h1+h2)2+h12.作 业 帮基础分点练(建议用时:30分钟)考点1全等三角形的判定1.2020湖南永州如图,已知AB=DC,ABC=DCB,能直接判断ABCDCB的方法是(A)A.SASB.AASC.SSSD.ASA2.2020黑龙江齐齐哈尔如图,已知在ABD和ABC中,DAB=CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使ABDABC,则还需添加的一个条件是AD=AC(答案不唯一,正确即可).(只填一个即可)考点2全等三角
12、形的性质3.2020山东淄博如图,若ABCADE,则下列结论中一定成立的是(B)A.AC=DEB.BAD=CAEC.AB=AED.ABC=AED4.如图,RtABFRtDCE,A=D=90,且点E,F,B,C在同一直线上.若AB=2,AFB=30,则EC=4.考点3全等三角形的实际应用5.2019江苏南通如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到点E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?解:理由:在ABC和DEC中,CB=CE,ACB=DCE,CA=
13、CD,ABCDEC(SAS),AB=DE.考点4全等三角形的判定与性质的综合应用6.2020湖北黄石如图,ABC是等边三角形,点D,E分别是AC,AB边上的点,CD=AE,BD与CE交于点P,则BPC等于(C)A.135B.150C.120D.1307.2020江西如图,CA平分DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若EAC=49,则BAE的度数为82.8.2020江苏无锡如图,已知ABCD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)ABFDCE;(2)AFDE.(1)证明:ABCD,B=C.BE=CF,BE-EF=CF-EF,即BF=CE.在ABF和DCE中,AB=CD,B=C,BF=CE
14、,ABFDCE.(2)证明:ABFDCE,AFB=DEC,AFE=DEF,AFDE.9.2020湖南衡阳如图, 在ABC中,B=C,过BC的中点D作DEAB,DFAC,垂足分别为点E,F.(1)求证:DE=DF;(2)若BDE=40,求BAC的度数.(1)证明:点D为BC的中点,BD=CD.DEAB,DFAC,DEB=DFC=90.在BDE和CDF中,DEB=DFC,B=C,BD=CD,BDECDF,DE=DF.(2)解:BDE=40,B=90-BDE=50,C=50,BAC=180-B-C=180-50-50=80.综合提升练(建议用时:30分钟)1.2018黑龙江龙东地区如图,在四边形AB
15、CD中,AB=AD,AC=5,DAB=DCB=90,则四边形ABCD的面积为(B)A.15B.12.5C.14.5D.172.2020湖北鄂州如图,在AOB和COD中,OA=OB,OC=OD,OAOC,AOB=COD=36.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:AMB=36;AC=BD;OM平分AOD;MO平分AMD.其中正确的结论个数有(B)个.A.4B.3C.2D.13.2020山东烟台如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边在右侧作等边三角形DEF,连接CF.【问题解决】如图(1),若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;【类比探究】
16、如图(2),若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并说明理由.图(1)图(2)【问题解决】证明:在线段CD上截取CH=CE,连接EH.ABC是等边三角形,ECH=60.又CH=CE,CEH是等边三角形,EH=EC=CH,CEH=60.DEF是等边三角形,DE=FE,DEF=60=CEH,DEH=FEC.在DEH和FEC中,DE=FE,DEH=FEC,EH=EC,DEHFEC,DH=CF,CE+CF=CH+DH=CD.【类比探究】CF=CE+CD.理由:在线段BC上截取CH=CE,连接EH.易得CEH是等边三角形,HEC=60,EH=CE=CH.DEF是等边
17、三角形,DEF=60=HEC,DE=EF,HED=CEF,EHDECF,CF=DH=CH+CD=CE+CD.4.2020合肥50中三模如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,点G在BC上,连接AG,过点C作CFAG,垂足为点E,过点B作BFCF于点F.(1)求证:CBFACE.(2)若点D是AB的中点,连接DE,DF.求证:DE=DF;连接BE,若BED=90,求AEBE的值.(1)证明:如图,AECF,ACB=90,1+3=2+3=90,1=2,在CBF与ACE中,1=2,AEC=CFB=90,AC=CB,CBFACE.(2)证明:如图,连接CD,设AB,CF交于点P.ACECBF,CE
18、=BF.ACB=90,AC=BC,点D是AB的中点,CD=BD,CDBD,DCE+DPC=90=FBP+FPB,DCE=DBF.在DCE与DBF中,CE=BF,DCE=DBF,CD=BD,DCEDBF,DE=DF.如图,DCEDBF,4=5.CDBD,CDB=90,4+EDP=90,5+EDP=90,即EDF=90.又由知DE=DF,DEF是等腰直角三角形,DEF=45.又BED=90,BEF=45.又BFE=90,BEF是等腰直角三角形,BF=EF,BE=2BF.ACECBF,AE=CF,CE=BF=EF,AE=2BF,AEBE=2BF2BF=2.全国视野创新练新考法2020浙江宁波BDE和
19、FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长,则只需知道(A)A.ABC的周长B.AFH的周长C.四边形FBGH的周长D.四边形ADEC的周长参考答案【易错自纠】1.C2.2或3设点P,Q的运动时间为ts.由题意可知BD=6cm,BP=2tcm,CQ=vtcm.AB=AC,B=C,分两种情况讨论:当BPDCQP时,BP=CQ,即2t=vt,v=2.当BPDCPQ时,BP=CP,BD=CQ,即2t=4,6=vt,v=3.综上,v的值为2或3.提分特训1.D设BF交CD于点M,则BMC=DMF,B=D.在ABF和CDE中,B=D,AFB=CE
20、D,AB=CD,ABFCDE,AF=CE=a,DE=BF=b,DF=DE-EF=b-c,AD=AF+FD=a+b-c.2.CABC和ECD是等边三角形,ACB=ECD=60,AB=AC=BC,EC=ED=CD.BCE=180-ECD=120,ACD=180-ACB=120,BCE=ACD.又CE=CD,BC=AC,BCEACD,BE=AD,EBC=DAC.又BM=13BE,AN=13AD,BM=AN.在BCM和ACN中,BC=AC,CBM=CAN,BM=AN,BCMACN,CM=CN,BCM=ACN,MCN=ACM+ACN=ACM+BCM=ACB=60,CMN是等边三角形.故选C.3.略4.略
21、基础分点练1.A2.AD=AC(答案不唯一,正确即可)3.BABCADE,AC=AE,AB=AD,ABC=ADE,BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC,即BAD=CAE.4.4ABFDCE,BF=EC.在RtABF中,AFB=30,BF=2AB=4,EC=BF=4.5.略6.CABC是等边三角形,AB=BC=AC,A=ACB=60.在ACE和CBD中,AC=CB,CAE=BCD,AE=CD,ACECBD,ACE=CBD.ACE+BCE=60,CBD+BCE=60,BPC=120.7.82CA平分DCB,BCA=DCA.在BCA和DCA中,CB=CD,BCA=DCA,AC=AC,BCA
22、DCA,BAC=DAC.又DAC+CAE=180,DAC=180-49=131,BAC=131,即BAE+EAC=131,BAE=131-49=82.8.略9.略综合提升练1.B如图,过点A作AEAC,交CB的延长线于点E.DAB=DCB=90,D+ABC=180=ABE+ABC,D=ABE.DAB=CAE=90,CAD=EAB.又AD=AB,ACDAEB,AC=AE,即ACE是等腰直角三角形,四边形ABCD的面积与ACE的面积相等.SACE=1255=12.5,四边形ABCD的面积为12.5,故选B.2.BAOB=COD=36,AOB+BOC=COD+BOC,即AOC=BOD.在AOC和BO
23、D中,OA=OB,AOC=BOD,OC=OD,AOCBOD,AC=BD,OCA=ODB,OAC=OBD,故结论正确.设OB与AC交于点F.OAC=OBD,OFM=AMB+OBD=AOB+OAC,AMB=AOB=36,故结论正确.如图,过点O分别作OGAC于G,OHBD于H, 则OGC=OHD=90,在OCG和ODH中,OCG=ODH,OGC=OHD,OC=OD,OCGODH,OG=OH,MO平分AMD,故结论正确.假设OM平分BOC,则BOM=COM,MO平分AMD,AMB=DMC,OMB=OMC,又OM=OM,BOMCOM,OB=OC,又OA=OB,OA=OC,与OAOC矛盾,故结论错误.正确的有.故选B.3.略4.略全国视野创新练AAHG是HCG的外角,AHG=AHF+FHG=CGH+GCH.FHG=GCH=60,AHF=CGH.又GH=HF,A=C=60,AFHCHG,CH=AF.BDE和FGH是两个全等的等边三角形,DE=BE,FH=BD,五边形DECHF的周长为DE+EC+CH+FH+DF=(BE+EC)+(AF+DF+BD)=BC+AB=2AB.由此可知只需要知道ABC的周长即可求出五边形DECHF的周长.
