1、第三章 函数第一节平面直角坐标系与函数考点1平面直角坐标系中点的坐标特征1.2021广西北部湾经济区平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是(B)A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)2.2021四川泸州在平面直角坐标系中,将点A(-3,-2)向右平移5个单位长度得到点B,则点B关于y轴的对称点B的坐标为(C)A.(2,2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,-2)3.2021海南如图,点A,B,C都在方格纸的格点上,若点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0),则点C的坐标是(D)A.(2,2)B.(1,2)C.(1,1)D.(2,1)4
2、.2021湖北黄石如图,ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,其中A点的坐标是(-1,0),现将ABC绕A点按逆时针方向旋转90,则旋转后点C的坐标是(B)A.(2,-3)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-3,2)5.2020江苏南通以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90,得到的点Q所在的象限为(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.2021贵州黔东南州已知在平面直角坐标系中,AOB的顶点分别为点A(2,1),B(2,0),O(0,0),若以原点O为位似中心,相似比为2,将AOB放大,则点A的对应点的坐标为(4,2)或(-4,-2).7.2021海南如图,AB
3、C的顶点B,C的坐标分别是(1,0),(0,3),且ABC=90,A=30,则顶点A的坐标是(4,3).考点2分析判断函数图象8.2021青海新龟兔赛跑的故事:龟兔从同一地点同时出发后,兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先,就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来,发现乌龟已经超过它,于是奋力直追,最后同时到达终点.用S1,S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程,t为赛跑时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是(C)9.2021重庆A卷甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机上
4、升的时间x(单位:s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是(B)A.5s时,两架无人机都上升了40mB.10s时,两架无人机的高度差为20mC.乙无人机上升的速度为8m/sD.10s时,甲无人机距离地面的高度是60m10.2021安庆四中二模如图,在ABC中,AB=AC,MN是边BC上一条运动的线段(点M不与点B重合,点N不与点C重合),且MN=12BC,MDBC交AB于点D,NEBC交AC于点E,在MN从左至右的运动过程中,设BM=x,BMD的面积减去CNE的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是(A)11.2021湖北武汉一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地,其中
5、快车送达后立即沿原路返回,且往返速度的大小不变,两车离甲地的距离y(单位:km)与慢车行驶时间t(单位:h)的函数关系如图,则两车先后两次相遇的间隔时间是(B)A.53hB.32hC.75hD.43h1.2021河南如图(1),矩形ABCD中,点E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图(2)是点P运动时y随x变化的关系图象,则BC的长为(C)图(1)图(2)A.4B.5C.6D.72.2021湖南衡阳如图(1),菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,P,Q两点同时从O点出发,以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为OADO
6、,点Q的运动路线为OCBO.设运动的时间为x秒,P,Q间的距离为y厘米,y与x的函数关系的图象大致如图(2)所示,当点P在AD段上运动且P,Q两点间的距离最短时,P,Q两点的运动路程之和为(23+3)厘米.图(1)图(2)3.2021天津在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上,书店离学校12km,陈列馆离学校20km.李华从学校出发,匀速骑行0.6h到达书店;在书店停留0.4h后,匀速骑行0.5h到达陈列馆;在陈列馆参观学习一段时间,然后回学校;回学校途中,匀速骑行0.5h后减速,继续匀速骑行回到学校.给出的图象反映了这个过程中李
7、华离学校的距离y(km)与离开学校的时间x(h)之间的对应关系.请根据相关信息,解答下列问题:()填表:离开学校的时间/h0.10.50.813离学校的距离/km210121220()填空:书店到陈列馆的距离为8km;李华在陈列馆参观学习的时间为3h;李华从陈列馆回学校途中,减速前的骑行速度为28km/h;当李华离学校的距离为4km时,他离开学校的时间为15或316h.()当0x1.5时,请直接写出y关于x的函数解析式.解:()101220()832815或316解法提示:李华从学校到书店的骑行速度为120.6=20(km/h),故李华离学校4km时,他离开学校的时间为420=15(h).李华
8、从陈列馆回学校的途中,减速后的骑行速度为6(5.5-5)=12(km/h),故李华离学校4km时,他离开学校的时间为5+212=316(h).()当0x0.6时,y=20x;当0.6x1时,y=12;当10B.b=2C.y随x的增大而增大D.x=3时,y=03.2021江苏苏州已知点A(2,m),B(32,n)在一次函数y=2x+1的图象上,则m与n的大小关系是(C)A.mnB.m=nC.mkx+b的解集是(C)A.x2B.x2D.x36.2021广西贺州直线y=ax+b(a0)过点A(0,1),B(2,0),则关于x的方程ax+b=0的解为(C)A.x=0B.x=1C.x=2D.x=37.2
9、021湖南邵阳在平面直角坐标系中,若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为(D)A.0个B.1个 C.2个D.1或2个8.2021福建如图,一次函数y=kx+b(k0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-1)+b0的解集是(C)A.x-2B.x-1C.x0D.x1考点3一次函数的综合应用9.2021江苏扬州如图,一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,把直线AB绕点B顺时针旋转30交x轴于点C,则线段AC长为(A)A.6+2B.32C.2+3D.3+210.2020北京在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k0)的图象由函数
10、y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.解:(1)一次函数y=kx+b(k0)的图象是由函数y=x的图象平移得到的,k=1.将点(1,2)代入y=x+b,得2=1+b,解得b=1,一次函数的解析式为y=x+1.(2)m2.解法提示:当函数y=mx与y=x+1的图象交点的横坐标为1时,该交点的纵坐标为2,此时m=2.分析可知,随着m的增大,两函数图象的交点逐渐向左移动,故m2.11.2021浙江金华中考改编如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-73,0
11、),点B在直线l:y=38x上,ABBC,OC直线l.(1)若BA=BO,求证:CD=CO.(2)若CBO=45,求四边形ABOC的面积.(1)证明:如图,BA=BO,1=2.BABC,2+5=90.又4=5,2+4=90.OBOC,1+3=90,3=4,CD=CO.(2)如图,过点A作AHOB于点H.由题意可知tan1=38.在RtAHO中,tan1=AHOH=38,设AH=3m,OH=8m.AH2+OH2=OA2,(3m)2+(8m)2=(73)2,解得m=1(负值已舍),AH=3,OH=8.CBO=45,ABC=90,ABH=45,BH=AHtan45=3,AB=AHsin45=32,O
12、B=OH-BH=5.OBOC,CBO=45,OC=OBtan45=5,BC=OBcos45=52,SABC=12ABBC=123252=15,SCBO=12OBOC=1255=252,S四边形ABOC=SABC+SCBO=552.考点4一次函数的实际应用12.在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm;当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm.则所挂物体的质量为4kg时,弹簧的长度为16.5cm.13.2021湖南衡阳如图是一种单肩包,其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时,售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可
13、以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短,设双层部分的长度为xcm,单层部分的长度为ycm.经测量,得到下表中数据.双层部分长度x/cm281420单层部分长度y/cm148136124112(1)根据表中数据规律,求出y与x之间的函数关系式.(2)按小文的身高和习惯,背带的长度调为130cm时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度.(3)设背带长度为Lcm,求L的取值范围.解:(1)观察题表中数据可知y与x是一次函数关系,故可设y=kx+b(k0),将(2,148),(8,136)分别代入,得2k+b=148,8k+b=136,解得k=-2,b=1
14、52,y=-2x+152.验证:当x=14时,y=-214+152=124;当x=20时,y=-220+152=112.(2)根据题意,得x+y=x+(-2x+152)=130,解得x=22.因此,此时双层部分的长度为22cm.(3)y0,-2x+1520,解得x76.又x0,0x76.L=x+y=x+(-2x+152)=-x+152,76-x+152152,即76L152.14.2021陕西在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1min后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”“猫”距起点的距离y(m)与时间x(mi
15、n)之间的关系如图所示.(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1m/min;(2)求AB的函数表达式;(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.解:(1)1解法提示:由题图可知,“鼠”的平均速度为306=5(m/min),“猫”的平均速度为30(6-1)=6(m/min),故“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是6-5=1(m/min).(2)设AB的函数表达式为y=kx+b(k0),则30=7k+b,18=10k+b,解得k=-4,b=58,y=-4x+58.(3)令y=0,则-4x+58=0,x=14.5.14.5-1=13.5(min),“猫”从
16、起点出发到返回至起点所用的时间为13.5min.1.2021四川乐山 如图,已知直线l1:y=-2x+4与坐标轴分别交于A,B两点,那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的解析式为(D)A.y=12xB.y=xC.y=32xD.y=2x2.2021广西贺州如图,一次函数y=x+4的图象与坐标轴分别交于A,B两点,点P,C分别是线段AB,OB上的点,且OPC=45,PC=PO,则点P的坐标为(-22,4-22).3.如图,直线l1与y轴交于点A(0,3),直线l2:y=-x-2交y轴于点B,交直线l1于点P(-3,t).(1)求直线l1的函数解析式.(2)过动点D(a,0)作x轴的垂线,与直
17、线l1,l2分别交于M,N两点,且MN3.求a的取值范围;连接AN,若SANB=2SAPN,请直接写出a的值.解:(1)把P(-3,t)代入直线l2的解析式中,得-(-3)-2=t,解得t=1,故点P的坐标为(-3,1).设直线l1的函数解析式为y=kx+b,将点A,P的坐标分别代入,得b=3,-3k+b=1,解得k=23,b=3.故直线l1的函数解析式为y=23x+3.(2)由题意得,点M的坐标为(a,23a+3),点N的坐标为(a,-a-2).i.当点D在点P右侧时,点M在点N的上方,MN=(23a+3)-(-a-2)=53a+53,解得a-65.ii.当点D在点P左侧时,点M在点N的下方
18、,MN=(-a-2)-(23a+3)=-53a-53,解得a-245.综上所述,a的取值范围是-245a-65且a-3.a=-2.解法提示:当点D在点P左侧时,由知MN=-53a-5.SANB=2SAPN,PNBN=12,PN=PB.易证PMNPAB,MN=AB=5,即-53a-5=5,解得a=-6(不合题意,舍去).当点D在点P右侧时,由知MN=53a+5.易知PMNPAB,PNBN=12,MNAB=PNPB=13,MN=13AB=53,即53a+5=53,解得a=-2.综上所述,a的值为-2.4.2021湖北襄阳为了切实保护汉江生态环境,襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔.禁渔后,某水库自
19、然生态养殖的鱼在市场上热销,经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售,两种鱼的进价和售价如表所示:品种进价/(元/斤)售价/(元/斤)鲢鱼a5草鱼b销量不超过200斤的部分销量超过200斤的部分87已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元,购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元.(1)求a,b的值.(2)老李每天购进两种鱼共300斤,并在当天都销售完,其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤,设每天销售鲢鱼x斤(销售过程中损耗不计).分别求出每天销售鲢鱼获利y1(元),销售草鱼获利y2(元)与x的函数关系式,并写出x的取值范围;端午节这天,老李让利销售,将鲢鱼售价每斤降低m元,草鱼售
20、价全部定为7元/斤,为了保证当天销售这两种鱼总获利W(元)最小值不少于320元,求m的最大值.解:(1)根据题意得:10a+20b=155,20a+10b=130,解得a=3.5,b=6.(2)由题意得,y1=(5-3.5)x=1.5x(80x120),当300-x200时,100x120,y2=(8-6)(300-x)=-2x+600;当300-x200时,80x100,y2=(8-6)200+(7-6)(300-x-200)=-x+500,y2=-x+500(80x0,W随x的增大而增大,当x=80时,W的值最小,由题意得,(0.5-m)80+300320,解得m0.25,m的最大值为0.
21、25.新情境2021吉林长春九章算术中记载,浮箭漏(图(1)出现于汉武帝时期,它由供水壶和箭壶组成,箭壶内装有箭尺,水匀速地从供水壶流到箭壶,箭壶中的水位逐渐上升,箭尺匀速上浮,可通过读取箭尺读数计算时间.某学习小组仿制了一套浮箭漏,并从函数角度进行了如下实验探究:【实验观察】实验小组通过观察,每2h记录一次箭尺读数,得到下表:供水时间x/h02468箭尺读数y/cm618304254【探索发现】(1)建立平面直角坐标系,如图(2),横轴表示供水时间x.纵轴表示箭尺读数y,描出以表格中数据为坐标的各点.(2)观察上述各点的分布规律,判断它们是否在同一条直线上,如果在同一条直线上,求出这条直线所
22、对应的函数表达式,如果不在同一条直线上,说明理由.【结论应用】应用上述发现的规律估算:(3)供水时间达到12h时,箭尺的读数为多少cm.(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8:00,那当箭尺读数为90cm时是几点钟.(箭尺最大读数为100cm)图(1)图(2)解:(1)描点如下.(2)观察上述各点的分布规律,可得它们在同一条直线上.设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b,则b=6,2k+b=18,解得k=6,b=6,y=6x+6.(3)当x=12时,y=612+6=78,故供水时间达到12h时,箭尺的读数为78cm.(4)当y=90时,6x+6=90,解得x=14,8+14=22.故当箭
23、尺读数为90cm时是22:00.第三节反比例函数及其应用考点1反比例函数的图象与性质1.2021山西已知反比例函数y=6x,则下列描述不正确的是(D)A.图象位于第一、第三象限B.图象必经过点(4,32)C.图象不可能与坐标轴相交D.y随x的增大而减小2.2021四川广安若点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=kx(k0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(A)A.y3y1y2B.y2y1y3C.y1y2y3D.y3y2y13.2020山东德州函数y=kx和y=-kx+2(k0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(D)4.2021湖南郴州 在反比例函数
24、y=m-3x的图象的每一支曲线上,函数值y随自变量x的增大而增大,则m的取值范围是m3.5.2021江苏徐州如图,点A,D分别在函数y=-3x,y=6x的图象上,点B,C在x轴上.若四边形ABCD为正方形,点D在第一象限,则点D的坐标是(2,3).6.2021湖北黄石如图,A,B两点在反比例函数y=-3x(x0)的图象上,AB的延长线交x轴于点C,且AB=2BC,则AOC的面积是 6.考点2反比例函数中|k|的几何意义7.2021黑龙江牡丹江如图,矩形OABC的面积为36,它的对角线OB与双曲线y=kx(x0)上,点B在双曲线y2=kx(x0)和y2=2x(x0)的图象分别交于点A,B,与x轴
25、交于点D,OA交双曲线y2=2x(x0)于点C,连接CD,若OCD的面积为2,则k=8.11.2021湖北荆州如图,过反比例函数y=kx(k0,x0)图象上的四点P1,P2,P3,P4分别作x轴的垂线,垂足分别为 A1,A2,A3,A4,再过点P1,P2,P3,P4分别作y轴,P1A1,P2A2,P3A3的垂线,构造了四个相邻的矩形.若这四个矩形的面积从左到右依次为S1,S2,S3,S4,OA1=A1A2=A2A3=A3A4,则S1与S4的数量关系为S1=4S4(或S4=14S1).考点3反比例函数与一次函数的综合12.2021贵州遵义已知反比例函数y=kx(k0)的图象如图所示,则一次函数y
26、=kx+2的图象经过(C)A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限13.2021广西百色如图,点O为坐标原点,直线ly轴,垂足为点M,反比例函数y=kx(k0)的图象与直线l交于点A(m,3),AOM的面积为6.(1)求m,k的值;(2)在x轴正半轴上取一点B,使OB=OA,求直线AB的函数表达式.解:(1)由反比例函数中|k|的几何意义可得|k|2=6.结合反比例函数的图象可知k0,k=12.点A(m,3)在反比例函数y=12x的图象上,m=4.(2)由A(4,3)可知,AM=4,OM=3,OB=OA=5,B(5,0).设直线AB的表达式为y=ax+b
27、,将A(4,3),B(5,0)分别代入,得4a+b=3,5a+b=0,解得a=-3,b=15.故直线AB的表达式为y=-3x+15.14.2021山东烟台 如图,正比例函数y=12x与反比例函数y=kx(x0)的图象交于点A,过点A作ABy轴于点B,OB=4,点C在线段AB上,且AC=OC.(1)求k的值及线段BC的长;(2)点P为B点上方y轴上一点,当POC与PAC的面积相等时,请求出点P的坐标.解:(1)ABy轴,OB=4,B(0,4),点A的纵坐标是4.将y=4代入y=12x,得x=8,A(8,4),k=48=32.由点C在线段AB上,可设C(c,4),则OC=16+c2,AC=8-c,
28、16+c2=8-c,解得c=3,BC=3.(2)如图,设点P的坐标为(0,p),则BP=p-4.A(8,4),C(3,4),BC=3,AC=8-3=5.POC与PAC的面积相等,123p=125(p-4),解得p=10,P(0,10).考点4反比例函数的实际应用15.2021浙江丽水一杠杆装置如图,杆的一端吊起一桶水,水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变.甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁,将相同重量的水桶吊起同样的高度.若F乙F丙F甲F丁,则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是(B)A.甲同学B.乙同学C.丙同学D.丁同学16.20
29、20山东临沂已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:)成反比例函数关系.当R=4时,I=9A.(1)写出I关于R的函数解析式.(2)完成下表,并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象.R/I/A(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A,那么用电器可变电阻应控制在什么范围内?解:(1)设I=kR,将(4,9)代入,得k=36,故I关于R的函数解析式为I=36R.(2)完成表格如下(答案不唯一):R/345678910I/A1293656367924185描点、连线,可得函数图象如图所示.(3)当I=10时,36R=10,所以R=3.6.结合图
30、象可知,当I10时,R3.6.答:用电器可变电阻应控制在3.6以上(含3.6).1.2021湖南益阳正比例函数y=2x与反比例函数y=2x的图象或性质的共有特征之一是(B)A.函数值y随x的增大而增大B.图象在第一、三象限都有分布C.图象与坐标轴有交点D.图象经过点(2,1)2.2021辽宁营口 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为4,2,反比例函数y=kx的图象经过A,B两点,若菱形ABCD的面积为8,则k值为(A)A.-83B.-23C.-8D.-633.2021广东深圳 如图,已知反比例函数y=kx的图象过点A(2,3),连接AO并延长交反比
31、例函数的图象于点B,将线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BC,则点C的坐标为(4,-7).4.2021山东东营如图所示,直线y=k1x+b与双曲线y=k2x交于A,B两点,已知点B的纵坐标为-3,直线AB与x轴交于点C,与y轴交于点D(0,-2),OA=5,tanAOC=12.(1)求直线AB的解析式;(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点,OCP的面积是ODB的面积的2倍,求点P的坐标;(3)直接写出不等式k1x+bk2x的解集.解:(1)如图,过点A作AEx轴于点E.tanAOC=12,OA=5.AE=1,OE=2,点A的坐标为(-2,1).把A(-2,1),D(0,-2)分别代
32、入y=k1x+b,得-2k1+b=1,b=-2,解得k1=-32,b=-2,直线AB的解析式为y=-32x-2.(2)由A(-2,1)易知双曲线的解析式为y=-2x.把y=-3代入y=-32x-2,得x=23,点B的坐标为(23,-3),SODB=12223=23,SOCP=2SODB=43.把y=0代入y=-32x-2,得x=-43,点C的坐标为(-43,0),SOCP=1243yP=43,yP=2.又点P在双曲线y=-2x上,点P的坐标为(-1,2).(3)-2x0)的图象与DE交于点A.若点B是点A的“倒数点”,且点B在矩形OCDE的一边上,则OBC的面积为14或32.第四节二次函数的图
33、象与性质考点1二次函数的图象与性质1.抛物线y=-4(x+5)2-3的顶点坐标为(C)A.(5,3)B.(-5,3)C.(-5,-3)D.(5,-3)2.2021上海将函数y=ax2+bx+c(a0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是(D)A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变3.2021广东广州抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(3,0),且与y轴交于点(0,-5),则当x=2时,y的值为(A)A.-5B.-3C.-1D.54.2021湖北天门若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4,对称轴为直线x=2,P为这条抛物线的顶点,
34、则点P关于x轴的对称点的坐标是(A)A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,-4)D.(2,-4)5.2021湖北襄阳一次函数y=ax+b的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的图象可能是(D)ABCD6.2021湖南株洲二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,点P在x轴的正半轴上,且OP=1,设M=ac(a+b+c),则M的取值范围为(D)A.M-1B.-1M0C.M07.2021贵州铜仁已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),抛物线y=a(x-h-m)2+k与x轴的一个交点是(4,0),则m的值是(C)A.5B.-1C.5或1D.-5
35、或-18.2021辽宁阜新如图,二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A,B(-1,0)两点,则下列说法正确的是(D)A.a0B.点A的坐标为(-4,0)C.当x0时,y随x的增大而减小D.图象的对称轴为直线x=-29.2021浙江杭州在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系”活动中,老师给出了直角坐标系中的四个点:A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3),如图.同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象,发现这些图象对应的函数表达式各不相同,其中a的值最大为(A)A.52B.32C.56D.1210.2020山东东营如图,抛物线y=ax2+b
36、x+c(a0)与x轴交于A,B两点,其对称轴与x轴交于点C,其中A,C两点的横坐标分别为-1和1,则下列说法错误的是(B)A.abc0B.4a+c=0C.16a+4b+c2时,y随x的增大而减小考点2二次函数表达式的确定11.2021山西抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(C)A.y=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)2-112.2021陕西下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x-2013y6-4-6-4
37、下列各选项中,正确的是(C)A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x1时,y的值随x值的增大而增大13.2021四川眉山在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(A)A.y=-x2-4x+5B.y=x2+4x+5C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x-514.如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和点C(0,3).(1)求此抛物线所对应的函数解析式,并直接写出顶点D的坐标;(2)若过顶点D的直线将ACD的面积分为12两部分,并与x轴交于点Q,则点Q的坐标为(
38、-73,0)或(-1,0).注:抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为(-b2a,4ac-b24a).解:(1)把点A(-3,0)和点C(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,得-9-3b+c=0,c=3,解得b=-2,c=3,y=-x2-2x+3.y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,顶点D的坐标为(-1,4).(2)(-73,0)或(-1,0)解法提示:如图,取线段AC的三等分点E,F(点E在点F左侧),作直线DE,DF,分别交x轴于点Q1,Q2,则SDAESDEC=12,SDAFSDFC=21.A(-3,0),C(0,3),E(-2,1),F(-1,2),DFx轴于点Q2,Q
39、2(-1,0).根据D(-1,4),E(-2,1),易求得直线DE的表达式为y=3x+7,当y=0时,x=-73,Q1(-73,0).考点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系15.2021广西贺州如图,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+c-kx+m的解集是(D)A.x-3或x1B.x-1或x3C.-3x1D.-1x316.2021黑龙江大庆已知函数y=ax2-(a+1)x+1,则下列说法不正确的个数是(C)若该函数图象与x轴只有一个交点,则a=1;方程ax2-(a+1)x+1=0至少有一个整数根;若1ax0,即1+4m
40、0,m-14.(2)易知二次函数y=x2+x-m的图象的对称轴为直线x=-12,抛物线与x轴的两个交点关于直线x=-12对称.由图可知抛物线与x轴的一个交点为(1,0),另一个交点为(-2,0),一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1,x2=-2.1.2021江苏常州已知二次函数y=(a-1)x2,当x0时,y随x增大而增大,则实数a的取值范围是(B)A.a0B.a1C.a1D.a12.2021合肥蜀山区二模在平面直角坐标系中,直线y=mx+n与x轴、y轴分别交于点A(-10,0),B(0,5),已知抛物线y=ax2+bx经过点A,且顶点C在直线y=mx+n的上方,则a的取值范围是(A)A
41、.a-0.1且a0C.a0.13.2021广东深圳二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (A)4.2021福建二次函数y=ax2-2ax+c(a0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点,下列说法一定正确的是(C)A.若y1y20,则y3y40B.若y1y40,则y2y30C.若y2y40,则y1y30D.若y3y40,则y1y205.2021四川资阳已知A,B两点的坐标分别为(3,-4),(0,-2),线段AB上有一动点M(m,n),过点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x-1)2+2于P(x1,y1)
42、,Q(x2,y2)两点.若x1mx2,则a的取值范围为(C)A.-4a-32B.-4a-32C.-32a0D.-32a0)经过(0,0),(4,0)两点.则下列四个结论正确的有(填写序号).4a+b=0;5a+3b+2c0;若抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-3有交点,则a的取值范围是a34;对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c-t=0(t为常数,t0)的根为整数,则t的值只有3个.7.2021江苏无锡如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点C为y轴正半轴上的一个动点,过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A,B两点,且CB=3AC,P为CB的中点,设点P的坐标为(x,
43、y)(x0),写出y关于x的函数表达式:y=83x2.8.2021广西崇左如图,已知点A(3,0),B(1,0),点C(-3,9),D(2,4)在抛物线y=x2上,向左或向右平移抛物线后,点C,D的对应点分别为点C,D.当四边形ABCD的周长最小时,抛物线的解析式为y=(x-2513)2.9.2021山东威海在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+2mx+2m2-m的顶点为A.(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示);(2)若点B(2,yB),C(5,yC)在抛物线上,且yByC,则m的取值范围是m-3.5;(直接写出结果即可)(3)当1x3时,函数y的最小值等于6,求m的值.解:(1)-
44、2m2=-m.将x=-m代入抛物线解析式,得y=(-m)2+2m(-m)+2m2-m=m2-m,顶点A的坐标为(-m,m2-m).(2)m3.5,m-3.5.(3)分三种情况讨论:若-m1,即m-1,则当x=1时,y取最小值,6=1+2m+2m2-m,整理,得2m2+m-5=0,解得m1=41-14,m2=-41-14(舍去),m=41-14.若1-m3,即-3m3,即m-3,则当x=3时,y取最小值,6=9+6m+2m2-m,整理,得2m2+5m+3=0,解得m1=-1(舍去),m2=-32(舍去).综上所述,m=-2或m=41-1410.2021江苏扬州如图,在平面直角坐标系中,二次函数y
45、=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)b=-2,c=-3;(2)若点D在该二次函数的图象上,且SABD=2SABC,求点D的坐标;(3)若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点,且SAPC=SAPB,直接写出点P的坐标.解:(1)-2-3解法提示:把点A和点B的坐标代入二次函数y=x2+bx+c,得0=1-b+c,0=9+3b+c,解得b=-2,c=-3.(2)由题意得C(0,-3).SABD=2SABC,|yD|=2|yC|=6.设D(m,m2-2m-3),|m2-2m-3|=6,当m2-2m-3=-6时,方程无解.当m2-2m-3=6时,解
46、得x=1+10或x=1-10.点D的坐标为(1+10,6)或(1-10,6).(3)点P的坐标为(4,5).解法提示:设P(n,n2-2n-3),点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点,n3.当点P在点A的左侧,即n-1时,易知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,SAPC3时,如图.APC和APB都以AP为底,若要使面积相等,则点B和点C到AP的距离相等,即BCAP.设直线BC的解析式为y=kx+p,则0=3k+p,-3=p,解得k=1,p=-3.则可设直线AP的解析式为y=x+q,将点A(-1,0)代入y=x+q,得-1+q=0,解得q=1,直线AP的解析式为y=x+1,将点P(n,n2
47、-2n-3)代入y=x+1,得n2-2n-3=n+1,解得n=4或n=-1(舍去),n+1=5,点P的坐标为(4,5).新定义2021四川巴中y与x之间的函数关系可记为y=f(x).例如:函数y=x2可记为f(x)=x2.若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.例如:f(x)=x2是偶函数,f(x)=1x是奇函数.若f(x)=ax2+(a-5)x+1是偶函数,则实数a=5.第五节二次函数的应用考点1二次函数的实际应用类型1抛物线形问题1.2021湖北襄阳从喷水池喷头喷出
48、的水珠,在空中形成一条抛物线,如图所示.在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,喷出水珠的最大高度是3m.2.2021浙江衢州如图(1)是一座抛物线型拱桥的侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m,在距离D点6m的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m,以桥拱顶点O为原点,桥面为x轴建立平面直角坐标系.(1)求桥拱顶部O离水面的距离.(2)如图(2),桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面的距离为1m.求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式
49、.为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值.解:(1)设拱桥抛物线的函数表达式为y1=a1x2,由题意得F(6,-1.5),-1.5=36a1,a1=-124,y1=-124x2.易知OD=12CD=12,则当x=12时,y1=-124122=-6,即BD=6,桥拱顶部O离水面的距离为6m.(2)由题易得第一象限内的钢缆抛物线的顶点坐标为(6,1),可设第一象限内的钢缆抛物线的函数表达式为y2=a2(x-6)2+1.H(0,4),4=a2(0-6)2+1,a2=112,y2=112(x-6)2+1.(同理可求得第二象限内的钢缆抛物线的函数表达式为y3=112(x+6)
50、2+1.正确求出其中一条抛物线的函数表达式即可)设彩带长度为h(m),则h=y2-y1=112(x-6)2+1-(-124x2)=18x2-x+4=18(x-4)2+2,当x=4时,h取得最小值,为2,彩带长度的最小值是2m.类型2图形面积问题3.2021北京如图,用绳子围成周长为10m的矩形.记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是(A)A.一次函数关系,二次函数关系B.反比例函数关系,二次函数关系C.一次函数关系,反比例函数关系D.反比例函数关系,一次函数关系4.如图,某住宅小区有一块
51、矩形场地ABCD,AB=16m,BC=12m,开发商准备对这块场地进行绿化,分别设计了五块地,其中两块大小相同的正方形地用来种花,两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪,为矩形地用来养殖观赏鱼.(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2,AG长为xm,求y与x之间的函数关系式;(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.解:(1)在矩形ABCD中,CD=AB=16,AD=BC=12,正方形AEFG和正方形JKCI大小相同,矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同.设AG=x,则DG=12-x,FL=x-(12-x)=2x-12,BE=16-x,LJ=(16-x)-x=16-2x.S矩形LJHF=
52、FLLJ,y=(2x-12)(16-2x)=-4x2+56x-192.(2)由(1)得,y=-4x2+56x-192=-4(x-7)2+4.FL=2x-120,LJ=16-2x0,6x8.a=-40,当x=7时,y取最大值,为4.故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2.类型3利润最大问题5.2021合肥瑶海区二模某茶社经销某品牌菊花茶,每千克成本为60元,规定每千克售价需超过成本,但每千克售价不超过100元.经调查发现:其日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)设日利润为W(元),求W与x之间的函数关系式,并说明日利润W随售价x
53、的变化而变化的情况以及最大日利润;(3)若该茶社想获得不低于1350元的日利润,请直接写出售价x(元/千克)的取值范围.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,把(70,100)和(80,80)分别代入,得70k+b=100,80k+b=80,解得k=-2,b=240,y=-2x+240.(2)由题意,得W=(x-60)y=(x-60)(-2x+240)=-2x2+360x-14400.W=-2x2+360x-14400=-2(x-90)2+1800,-20,60x100,当60x90时,W随x的增大而增大,当90x100时,W随x的增大而减小,当x=90时,日利润最大,最大为180
54、0元.(3)售价x的取值范围为75x100.解法提示:令-2x2+360x-14400=1350,解得x1=75,x2=105,结合函数图象可知,当75x105时,W1350.又60x100,所以当75x100时,日利润不低于1350元.考点2二次函数图象与性质的综合应用6.如图,抛物线L:y=12x2-54x-3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)如图(1),点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点,过点P作PCx轴,垂足为C,PC交AB于点D,求PD+BD的最大值,并求出此时点P的坐标;(3)如图(2),将抛物线L:y=12x2-54x
55、-3向右平移得到抛物线L,直线AB与抛物线L交于M,N两点,若点A是线段MN的中点,求抛物线L的解析式.图(1)图(2)解:(1)对于y=12x2-54x-3,令y=0,则12x2-54x-3=0,解得x1=-32,x2=4,A(4,0);令x=0,则y=-3,B(0,-3).设直线AB的解析式为y=kx+b,则4k+b=0,b=-3,解得k=34,b=-3,直线AB的解析式为y=34x-3.y=12x2-54x-3=12(x-54)2-12132,抛物线顶点坐标为(54,-12132).(2)如图,过点D作DEy轴于点E,则DEOA.OA=4,OB=3,AB=OA2+OB2=42+32=5.
56、设点P的坐标为(p,12p2-54p-3)(54p4),则点D的坐标为(p,34p-3),ED=p.DEOA,BDEBAO,BDBA=EDOA,BD5=p4,BD=54p.又PD=34p-3-(12p2-54p-3)=-12p2+2p,PD+BD=-12p2+2p+54p=-12p2+134p=-12(p-134)2+16932.-120,54p4,当x=134时,PD+BD的值最大,最大值为16932,此时12x2-54x-3=12(134)2-54134-3=-5732,此时点P的坐标为(134,-5732).(3)设平移后抛物线L的解析式为y=12(x-m)2-12132,联立y=34x
57、-3,y=12(x-m)2-12132,34x-3=12(x-m)2-12132,整理,得x2-2(m+34)x+m2-2516=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程x2-2(m+34)x+m2-2516=0的两根,x1+x2=2(m+34).A为MN的中点,x1+x2=8,2(m+34)=8,解得m=134,抛物线L的解析式为y=12(x-134)2-12132=12x2-134x+32.1.如图,在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上,剪去图中阴影部分(四个全等的等腰直角三角形),再沿图中的虚线折成一个长方体工艺盒(A,B,C,D四个顶点正好重合于上底面一点).已
58、知点M,N在CD边上,且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设CM=DN=x(cm).(1)若折成的工艺盒恰好是个正方体,求这个工艺盒的体积;(2)当x取何值时,工艺盒的四个侧面的面积之和S最大,最大值为多少?解:(1)如图,根据题意,可知GM=MI=2x,故MN=2GM=2x.正方形纸片ABCD的边长为120cm,x+2x+x=120,解得x=30,则工艺盒的底面边长为302cm,工艺盒的体积为540002cm3.(2)设工艺盒的底面边长为acm,高为hcm,则a=2x,h=120-2x2=2(60-x),S=4ah=42x2(60-x)=-8x2+480x=-8(x-30)2+72
59、00.0x60,当x=30时,S最大,最大值为7200cm2.2.2021合肥包河区二模某超市经销A,B两种商品.商品A每千克成本为20元,经试销发现,该种商品每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系,且x,y的部分对应值如下表所示:售价x/(元/千克)25303540销售量y/千克50403020商品B的成本为6元/千克,售价为10元/千克,但每天的供货总量只有60千克,且能在当天销售完.为了让利于消费者,超市开展了“买一送一”活动,即买1千克的商品A,免费送1千克的商品B.已知商品A的售价不低于成本.(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式.(2)设这两种商品每
60、天的销售总利润为w(元),求出w与x之间的函数表达式.(3)若商品A的售价不高于成本的180%,当售价定为多少时,才能使当天的销售总利润最大?最大利润是多少?(总利润=两种商品的销售总额-两种商品的成本)解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将(25,50),(30,40)分别代入,得25k+b=50,30k+b=40,解得k=-2,b=100,y与x之间的函数表达式为y=-2x+100.(2)由题意知x20,y60,w=(x-20)y-6y+(60-y)(10-6)=xy-30y+240=x(-2x+100)-30(-2x+100)+240=-2x2+160x-2760.(3)由
61、题意,得x20,x20180%=36,20x36.w=-2x2+160x-2760=-2(x-40)2+440,-20,当x0且方程ax2-(2a+4)x-3a+12=0有两个相等的实数根,=(2a+4)2-4a(-3a+12)=0,a=1,故该二次函数的解析式为y=x2-2x-3.(2)存在.易得A(3,0),C(0,-3).设M(m,m2-2m-3),N(n,0).分以下3种情况讨论.当AC为对角线时,xA+xC=xM+xN,yA+yC=yM+yN,3+0=m+n,0+(-3)=m2-2m-3+0,解得m1=0,n1=3(舍去)m2=2,n2=1,点N的坐标为(1,0).当AM为对角线时,
62、xA+xM=xC+xN,yA+yM=yC+yN,3+m=0+n,0+m2-2m-3=-3+0,解得m3=0,n3=3(舍去)m4=2,n4=5,点N的坐标为(5,0).当AN为对角线时,xA+xN=xC+xM,yA+yN=yC+yM,3+n=0+m,0+0=-3+m2-2m-3,解得m5=1+7,n5=7-2,m6=1-7,n6=-2-7,点N的坐标为(7-2,0)或(-2-7,0).综上所述,点N的坐标为(1,0),(5,0),(7-2,0)或(-2-7,0).第三章函数第一节平面直角坐标系与函数基础分点练1.B点(a,b)关于原点对称的点是(-a,-b),故点P(3,4)关于原点对称的点的
63、坐标为(-3,-4).2.C根据平移可知点B的坐标为(2,-2),故点B的坐标为(-2,-2).3.D根据点A,B的坐标,可建立如图所示的平面直角坐标系,可知点C的坐标为(2,1),故选D.4.B旋转后ABC如图ABC所示,则点C的坐标为(-2,3).故选B.5.B6.(4,2)或(-4,-2)7.(4,3)在RtOBC中,COB=90,OC=3,OB=1,tanCBO=OCOB=3,BC=2,CBO=60.在RtACB中,A=30,AC=2BC=4,ACB=60=CBO,CAx轴,A(4,3).8.C根据“最后同时到达终点”,可知选C.9.B由题图可知,5s时,甲无人机上升了40m,乙无人机
64、上升了20m,甲无人机上升的速度为405=8(m/s),乙无人机上升的速度为(40-20)5=4(m/s),10s时,甲无人机距离地面的高度是810=80(m),乙无人机距离地面的高度是410+20=60(m),10s时,甲、乙两架无人机的高度差为20m.故选项B中的说法正确.10.A设BC=2a,B=,则MN=a.由AB=AC可知C=B=.BM=x,DM=xtan,CN=2a-x-a=a-x,SBMD=12BMDM=12xxtan=tan2x2,EN=(a-x)tan,SCNE=12CNEN=12(a-x)(a-x)tan=tan2(a-x)2,y=SBMD-SCNE=tan2x2-tan2
65、(a-x)2=axtan-a2tan2.易知atan0,-a2tan20,10,一次函数y=2x+1的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.2.B由图象可知k0.故选B.3.C在一次函数y=2x+1中,20,y随x的增大而增大.又232,mn.4.y=x-15.C6.C7.D由直线y=-x+m不经过第一象限可知m0.当m=0时,原方程为x+1=0,解得x=-1,即原方程有1个实数根.当m0时,mx2+x+1=0为一元二次方程,对于方程mx2+x+1=0,=1-4m.m0,1-4m1,原方程有2个不相等的实数根.综上所述,方程mx2+x+1=0的实数根的个数为1个或2个.8.C将直线y=kx
66、+b向右平移一个单位长度,即可得到直线y=k(x-1)+b,该直线经过原点,故当k(x-1)+b0时,x0.9. A当x=0时,y=2;当y=0时,x=-2.A(-2,0),B(0,2),OA=OB,OAB为等腰直角三角形,ABO=BAO=45,AB=(2)2+(2)2=2.如图,过点C作CDAB,垂足为点D,CAD=OAB=45,ACD为等腰直角三角形.设CD=AD=m,AC=AD2+CD2=2m.由旋转可知ABC=30,BC=2CD=2m.在RtBCO中,BC2=OC2+OB2,即(2m)2=(2+2m)2+(2)2,解得m=1+3(负值不合题意,已舍去),AC=2m=2(3+1)=6+2
67、.故选A.1011.略12.16.5设y与x的函数关系式为y=kx+b,由题意,得14.5=b,16=3k+b,解得k=0.5,b=14.5,故y=0.5x+14.5.当x=4时,y=0.54+14.5=16.5.1314.略综合提升练1.D对于y=-2x+4,当y=0时,x=2,当x=0时,y=4.故A(2,0),B(0,4).易知AB的中点坐标为(1,2).又直线l2经过坐标原点(0,0)及AB的中点,直线l2的解析式为y=2x.2.(-22,4-22)由题易得OA=OB=4,ABO=BAO=45.如图,过P作PDOC于点D,则BDP是等腰直角三角形.PBC=CPO=45,PCB+BPC=
68、135=OPA+BPC,PCB=OPA.在PCB和OPA中,PBC=OAP,PCB=OPA,PC=OP,PCBOPA,BP=AO=4,PD=22,yP=4-22,P(-22,4-22).34.略全国视野创新练略第三节反比例函数及其应用基础分点练1.D对于反比例函数y=6x,60,其图象位于第一、三象限,不可能与坐标轴相交,在每个象限内,y随x的增大而减小,故选项A,C中的描述正确,选项D中的描述错误.当x=4时,y=32,该反比例函数的图象过点(4,32).故选D.2.A3.D当k0时,函数y=kx的图象位于第一、三象限,函数y=-kx+2的图象经过第一、二、四象限,故选项D符合题意.故选D.
69、4.m35.(2,3)易知S正方形ABCD=3+6=9,CD=3,OC=2,D(2,3).6.6过点A作AHOC,过点B作BGOC,如图.A,B两点在反比例函数y=-3x(x0)的图象上,故可设A(m,-3m),则有SAOH=32.AB=2BC,BGAH=CBCA=13,CGHG=CBAB=12,BG=13AH,HG=2CG,点B的纵坐标为-1m,代入y=-3x中得点B的坐标为(3m,-1m),OG=-3m,HG=-2m,CG=-m,则OC=-4m,SAOC=12OCAH=12(-4m)(-3m)=6.7.D过点D作DECO于点E.易证ODEOBC,SODESOBC=(ODOB)2=49.易知
70、SOBC=362=18,SODE=8,|k|2=8,|k|=16.由函数图象可知k0,k=-16.8.C如图,连接OA,OB,设AB与y轴交于点M.ABx轴,SAOM=122=1,SBOM=12|k|=-12k.SAOB=SABC=6,1-12k=6,k=-10.9.2过点P作x轴的垂线,垂足为点M,由反比例函数中|k|的几何意义,可得SPOM=32.又OPQ是等边三角形,SOPQ=3,34OQ2=3,OQ=2.10.8过点C作CEx轴于点E,则SOCE=1.又SOCD=2,SECD=1=SOCE,点E为OD的中点.又CEAD,点C是OA的中点,SOAD=2SOCD=4,k=8.11.S1=4
71、S4(或S4=14S1)过点P4作P4Qy轴于点Q.OA1=A1A2=A2A3=A3A4,OA4=4A3A4.OA4A4P4=OA1A1P1=S1,矩形OQP4A4的面积为S1,S1=4S4.12.C1314.略15.B由物理知识得,阻力和阻力臂一定时,动力臂越长,动力越小,F乙F丙F甲F丁,且四位同学将相同重量的水桶吊起同样的高度,乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远,故选B.16.略综合提升练1.B对于正比例函数y=2x,函数值y随x的增大而增大;对于反比例函数y=2x,在每一象限内,函数值y随x的增大而减小.正比例函数y=2x的图象经过第一、三象限,反比例函数y=2x的图象位于第一、
72、三象限.正比例函数y=2x的图象经过原点,反比例函数y=2x的图象与坐标轴没有交点.对于正比例函数y=2x,当x=2时,y=22=4,正比例函数y=2x的图象不经过点(2,1);对于反比例函数y=2x,当x=2时,y=1,反比例函数y=2x的图象经过点(2,1).故选B.2.A四边形ABCD是菱形,AB=BC,ADBC.易知A(k4,4),B(k2,2),AB2=(k4-k2)2+(4-2)2=k216+4,BC=AB=k216+4.菱形ABCD的面积为8,BCx轴,BC(yA-yB)=8,即k216+4(4-2)=8,解得k=83.由反比例函数的图象可知k0,k=-83.3.(4,-7)由反
73、比例函数图象的性质可知点A,B关于原点对称,A(2,3),B(-2,-3).如图,分别过点A,C作x轴的平行线,过点B作y轴的平行线,交于点D,E,则AD=4,BD=6,ADB=BEC=90.由旋转知AB=BC,ABC=90,DAB+ABD=EBC+ABD=90,DAB=EBC,ABDBCE,BE=AD=4,CE=BD=6,C(4,-7).4.略全国视野创新练14或32CDOE,C(3,0),点D的横坐标为3.EDOC,点A,D的纵坐标相同.设D(3,a),则A(2a,a).又点B是点A的“倒数点”,B(a2,1a).又点B在矩形OCDE的一边上,且a0,1a0,分两种情况讨论.当点B在CD上
74、时,a2=3,解得a=6,B(3,16),此时SOBC=12316=14.当点B在ED上时,1a=a,解得a=1(负值不合题意,已舍去),此时SOBC=1231=32.综上可知,OBC的面积为14或32.第四节二次函数的图象与性质基础分点练1.C2.D将抛物线y=ax2+bx+c(a0)向下平移两个单位,开口方向不变,对称轴不变,y随x的变化情况不变,与y轴的交点改变,故选D.3.A由抛物线经过点(-1,0),(3,0)可知其对称轴为直线x=-1+32=1.抛物线与y轴交于点(0,-5),点(0,-5)关于直线x=1的对称点为(2,-5),当x=2时,y的值为-5.4.A抛物线y=x2+bx+
75、c与x轴两个交点间的距离为4,对称轴为直线x=2,抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),故抛物线的解析式为y=x(x-4)=x2-4x=(x-2)2-4,顶点P的坐标为(2,-4),点P关于x轴的对称点的坐标是(2,4).故选A.5.D一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,a0,二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下,对称轴在y轴右侧,故选D.6.D由函数图象可知a0,当x=1时,y0,即a+b+c0.7.C易知将抛物线y=a(x-h)2+k左右平移后可得到抛物线y=a(x-h-m)2+k,根据平移后的抛物线y=a(x-h-m)2+k与x轴的一个交
76、点是(4,0),可知平移过程为向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度,故m的值为5或1.8.D由图象开口向上可知a0.由二次函数解析式可知图象的对称轴为直线x=-2,由点A,B关于直线x=-2对称可知xA+(-1)2=-2,xA=-3,即A(-3,0).由函数图象可知,当x0时,y随x的增大先减小后增大.综上,选项D中的说法正确.9.A抛物线经过的三点有四种情况,分别为:A,B,C;A,B,D;A,C,D;B,C,D.通过描大致图象可知,当抛物线经过点A,D,C或B,C,D时,a0.抛物线经过点A,B,C时,易知c=2.将点B,C的坐标分别代入y=ax2+bx+2,可求得a=56.抛物线经
77、过点A,B,D时,易知c=2,将点B,D的坐标分别代入y=ax2+bx+2,可求得a=52.故a的值最大为52.10.B抛物线的开口向下,a0,b0.抛物线与y轴正半轴相交,c0,abc0,故A中的结论正确.对称轴与x轴交于点C,A,C两点的横坐标分别为-1和1,B点的坐标为(3,0),对称轴为直线x=1,-b2a=1,又当x=-1时,y=0,b=-2a,a-b+c=0,a-(-2a)+c=0,即3a+c=0,故B中的结论错误.当x=3时,y=0,当x=4时,y0,即16a+4b+c1时,y随x的增大而减小,当x2时,y随x的增大而减小,故D中的结论正确.11.C将x轴向上平移2个单位长度,将
78、y轴向左平移3个单位长度,相当于将抛物线y=3(x-2)2+1向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,故抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为y=3(x-2-3)2+1-2,即y=3(x-5)2-1.12.C方法一:由表格可知,该二次函数的图象过点(0,-4),设二次函数的解析式为y=ax2+bx-4,将(-2,6),(3,-4)分别代入,得4a-2b-4=6,9a+3b-4=-4,解得a=1,b=-3,故二次函数的解析式为y=x2-3x-4,这个二次函数的图象开口向上,故选项A错误.y=x2-3x-4=(x-32)2-254,这个函数的最小值是-254,当x32时,y随x的增大而增
79、大,当x0,这个函数的图象与x轴有两个交点,故选项B错误.方法二:由表格可知,该二次函数的图象过点(0,-4),(3,-4),图象的对称轴是直线x=32.画出该二次函数的大致图象如图所示,由图象可知,选项A,B,D错误,选项C正确.13.A设与抛物线y=x2-4x+5关于点C成中心对称的抛物线为L.由y=x2-4x+5=(x-2)2+1可知,点C的坐标为(0,5),抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是(2,1),抛物线L的顶点坐标是(-2,9).易知抛物线L与抛物线y=x2-4x+5的开口大小相同,方向相反,故抛物线L的表达式为y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5.14.略15.D易知直线
80、y=kx+m与直线y=-kx+m关于y轴对称.画出直线y=-kx+m如图所示,易知直线y=-kx+m与抛物线y=ax2+c的交点A,B分别与点A,B关于y轴对称.A(-3,y1),B(1,y2),A(3,y1),B(-1,y2),不等式ax2+c-kx+m的解集是-1x3.16.C当a=0时,y=-x+1,此时函数图象与x轴的交点为(1,0),故中说法错误.对于方程ax2-(a+1)x+1=0,当a=0时,-x+1=0,解得x=1;当a0时,(x-1)(ax-1)=0,解得x1=1,x2=1a,故中说法正确.当a0时,函数图象开口向上,故若1ax1,则y0;当a0时,函数图象开口向下,故若1a
81、x0,故中说法错误.当a0时,对于方程ax2-(a+1)x+1=0,=(a-1)20,所以函数y=ax2-(a+1)x+1的图象与x轴至少有一个交点,若a=1,则y0,若a1,则函数y=ax2-(a+1)x+1的图象与x轴至少有两个交点,不能使ax2-(a+1)x+10对任意实数x都成立.当a=0时,函数为y=-x+1,其图象经过第一、二、四象限.故不存在实数a,使得ax2-(a+1)x+10对任意实数x都成立,故中说法正确.故选C.17.1抛物线与x 轴只有一个交点,令x2+2x+k=0,则=22-4k=0,k=1.18.b-14对于任意实数a,方程x2+2ax+a+b=0都有实数根,=(2
82、a)2-4(a+b)0,整理得ba2-a.a2-a=(a-12)2-14,a2-a的最小值为-14,b-14.19.略综合提升练1.B2.A把点A,B的坐标分别代入y=mx+n,得-10m+n=0,n=5,解得m=12,n=5,y=12x+5.易知抛物线y=ax2+bx经过点A(-10,0)和原点,抛物线的对称轴为直线x=-5,即-b2a=-5,b=10a,抛物线的解析式为y=ax2+10ax,把x=-5代入,得y=25a-50a=-25a,即抛物线的顶点C的纵坐标为-25a.把x=-5代入y=12x+5,得y=52.又抛物线的顶点C在直线y=mx+n的上方,-25a52,解得a-0.1.3.
83、A二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴为直线x=-b2a.在一次函数y=2ax+b中,令y=0,即2ax+b=0,解得x=-b2a,该一次函数的图象与x轴的交点坐标为(-b2a,0).故选A.4.C由题意可知该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,故该二次函数图象上离对称轴越近的点,其纵坐标越小.1-(-3)=4,1-(-1)=2,2-1=1,4-1=3,y3y2y40,则y2y10或0y2y1.当y30y20,则0y4y1或y4y10.当y30y2y4y1或y30y2y4y1时,y2y30,故选项B不符合题意.若y2y40,则y3y20y4y1,y1y30,故选项C符合题意.若y
84、3y40,则y30y2y4y1或y3y20y4y1.当y2=0时,y1y2=0,故选项D不符合题意.故选C.5.C由题易知抛物线的开口向下,故a0.如图,当抛物线y=a(x-1)2+2经过点A(3,-4)时,-4=4a+2,a=-32.分析可知,当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时,满足条件,-32a0.6.将(0,0),(4,0)代入抛物线表达式,得c=0,16a+4b+c=0,4a+b=0,结论正确,抛物线解析式为y=ax2-4ax.易知5a+3b+2c=5a-12a=-7a0,4a-30,解得a34,故结论正确.ax2+bx+c-t=0,ax2-4ax-t=0,ax2-4ax=t.若方
85、程ax2+bx+c-t=0(t为常数,t0)的根为整数,则抛物线y=ax2-4ax与直线y=t(t为常数,t0)的交点横坐标为正数,横坐标可以为1,2,3,如图,分析可知满足题意的t的值有3个,故结论正确.综上,结论正确的有.7.y=83x2如图,分别过点A,P,B作y轴的垂线,垂足分别为E,F,G.设A(a,a2).易证AECBGC,AEBG=CECG=ACBC=13,BG=-3a,B(-3a,9a2),GE=9a2-a2=8a2,CE=2a2,GC=6a2.点P为BC的中点,PC=12BC,PCAC=32.易证PFCAEC,PFAE=FCEC=PCAC=32,PF=-32a,FC=32CE
86、=3a2,FO=FC+CE+OE=6a2,P(-32a,6a2).又P(x,y),x=-32a,即a=-23x,y=6(-23x)2=83x2.8.y=(x-2513)2四边形ABCD的周长为AB+AD+CD+BC.作直线y=9,y=4,则点C,D分别在直线y=9,y=4上,且CD的长为定值.又AB=2,AD+BC的值最小时,四边形ABCD的周长最小.作点A关于直线y=4的对称点A,连接AD,则AD=AD,平移AD,使点D的对应点为点C,得到线段EC,则AD+BC=EC+BC,当E,C,B三点共线时,四边形ABCD的周长最小,如图.易知A(3,8),则E(-2,13).由B(1,0),E(-2
87、,13),易求得直线BE的解析式为y=-133x+133,令y=9,解得x=-1413,C(-1413,9),CC=2513,抛物线向右平移了2513个单位长度,抛物线的解析式为y=(x-2513)2.910.略全国视野创新练5f(x)=ax2+(a-5)x+1是偶函数,对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),即a(-x)2+(a-5)(-x)+1=ax2+(a-5)x+1,(10-2a)x=0,可知10-2a=0,a=5.第五节二次函数的应用基础分点练1.3y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3,当x=1时,y有最大值为3,喷出水珠的最大高度是3m.2.略3.A由题意可知y=5-x,S=xy=x(5-x)=-x2+5x,故y与x满足一次函数关系,S与x满足二次函数关系.46.略综合提升练14.略
