1、第二章方程(组)与不等式(组)第一节一次方程(组)及其应用考 点 帮易错自纠易错点1忽略除数不能为0的条件1.下列四个选项中,不一定成立的是(B)A.若x=y,则2x=x+yB.若ac=bc,则a=bC.若a=b,则a2=b2D.若x=y,则2x=2y易错点2整体代入时,忽略各整式之间的倍数关系及符号变化2.若x=2是关于x的一元一次方程ax-2=b的解,则3b-6a+2的值是(B)A.-8B.-4C.8D.4易错点3去分母时,方程中的常数项漏乘分母的最小公倍数3.小明在解关于x的方程2x-13=x+a3-1,去分母时,方程右边的-1没有乘3,因而求得的解为x=2,则原方程的解为(A)A.x=
2、0B.x=-1C.x=2D.x=-2易错点4混淆不同数量关系中的单位1而出错4.某商贩在一次买卖中,同时卖出两件上衣,售价都是135元,若按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,在这次买卖中他(C)A.不赚不赔B.赚9元C.赔18元D.赚18元方 法 帮提分特训1.2021重庆A卷若关于x的方程4-x2+a=4的解是x=2,则a的值为3.2.2021四川眉山解方程组:3x-2y+20=0,2x+15y-3=0.解:原方程组可变形为3x-2y=-20,2x+15y=3,2-3,得-49y=-49,解得y=1.将y=1代入,得3x-2=-20,解得x=-6.故原方程组的解为x=-6,y=
3、1.3.2020江苏扬州中考节选阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x,y满足3x-y=5,2x+3y=7,求x-4y和7x+5y的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组,解得x,y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由-可得x-4y=-2,由+2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题:(1)已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=-1,x+y=5.(2)某班级
4、组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元?解:(1)-15解法提示:2x+y=7,x+2y=8,-,得x-y=-1;+,得 3x+3y=15,x+y=5.(2)设每支铅笔x元,每块橡皮y元,每本日记本z元,由题意得20x+3y+2z=32,39x+5y+3z=58,2-,得x+y+z=6,则5(x+y+z)=30.答:购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.4.2021吉林港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥,它由桥梁和隧道两部分组成.桥梁和隧道全长共55km,其中桥梁长度比
5、隧道长度的9倍少4km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度.解:设港珠澳大桥的桥梁长度为xkm,隧道长度为ykm.根据题意,得x+y=55,x=9y-4,解得x=49.1,y=5.9.答:港珠澳大桥的桥梁长度为49.1km,隧道长度为5.9km.5.2021广西贺州为了提倡节约用水,某市制定了两种收费方式:当每户每月用水量不超过12m3时,按一级单价收费;当每户每月用水量超过12m3时,超过部分按二级单价收费.已知李阿姨家五月份用水量为10m3,缴纳水费32元.七月份因孩子放假在家,用水量为14m3,缴纳水费51.4元.(1)问该市一级水费、二级水费的单价分别是多少.(2)某户某月缴纳水费为64
6、.4元时,用水量为多少?解:(1)设该市一级水费的单价为x元,二级水费的单价为y元,依题意得10x=32,12x+(14-12)y=51.4,解得x=3.2,y=6.5.答:该市一级水费的单价为3.2元,二级水费的单价为6.5元.(2)3.212=38.4(元).设该户该月用水量为am3,依题意得38.4+6.5(a-12)=64.4,解得a=16.答:当缴纳水费为64.4元时,用水量为16m3.真 题 帮考法1等式的性质1.2021安徽,7设a,b,c为互不相等的实数,且b=45a+15c,则下列结论正确的是(D)A.abcB.cbaC.a-b=4(b-c)D.a-c=5(a-b)2.201
7、9安徽,9已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c0,b2-ac0B.b0,b2-ac0D.b-7且m-3.3.2021江苏连云港解方程:x+1x-1-4x2-1=1.解:去分母得(x+1)2-4=x2-1,解得x=1.检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0.故原方程无解.4.2021湖南株洲九章算术之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其意为:“50单位的粟,可换得30单位的粝米”.问题:有3斗的粟(1斗=10升),若按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为(C)A.1.8升B.16升C.18升D.50升5.202
8、1山东泰安接种疫苗是阻断新型冠状病毒传播的有效途径,针对疫苗急需问题,某制药厂紧急批量生产,计划每天生产疫苗16万剂,但受某些因素影响,有10名工人不能按时到厂.为了应对新冠肺炎疫情,回厂的工人加班生产,由原来每天工作8小时增加到10小时,每人每小时完成的工作量不变,这样每天只能生产疫苗15万剂.(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人.(2)生产4天后,未到的工人同时到岗加入生产,每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共760万剂的生产任务,问该厂共需要多少天才能完成任务.解:(1)设该厂当前参加生产的工人有x人,依题意得1600008(x+10)=15000010x,解得x=30,经检验
9、,x=30是原方程的解,且符合题意.答:该厂当前参加生产的工人有30人.(2)每人每小时生产的数量为16840=0.05(万剂),设还需要生产y天才能完成任务,依题意得415+40100.05y=760,解得y=35,35+4=39(天).答:该厂共需要39天才能完成任务.真 题 帮考法1解分式方程1.2016安徽,5方程 2x+1x-1=3的解是(D)A.-45B.45C.-4D.42.2014安徽,13方程4x-12x-2=3的解是x=6.考法2分式方程的实际应用3.2013安徽,20某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元,
10、购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多.多出的部分能购买25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的价格为x元,请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用;(2)若购买的两种球拍数一样,求x.解:(1)购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用是(4000+25x)元.(2)由(1)知购买每副乒乓球拍用去了x元,则购买每副羽毛球拍用去了(x+20)元.由题意,得2000x=2000+25xx+20,解得x1=40,x2=-40(不合题意,舍去).经检验,x=40是原方程的根,x=40.第三节一元二次方程及其应用易错自纠易错点1忽视一元二次方程二次项系数不为01.若方程(m-1)x
11、m2+1-(m+1)x-2=0是一元二次方程,则m的值为-1.易错点2误认为关于x的方程ax2+bx+c=0一定是一元二次方程2.关于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有实根,则(B)A.m3B.m3C.m3且m2D.m3且m2易错点3一元二次方程ax2+bx+c=0有2个实数根时,忽略=0的情况3.方程x2+2x+k=0有2个实数根,则k的取值范围是(B)A.k1B.k1C.k-1D.k0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.(1)证明:=(-4m)2-413m2=4m20,该方程总有两个实数根.(2)由公式法解关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0,可得x1=3m,x2=m.m
12、0,3m-m=2,m=1.3.2021合肥蜀山区二模随着我国新能源汽车生产技术水平的不断提升,市场上某款新能源汽车的价格由今年3月份的270000元/辆下降到5月份的243000元/辆.假设月降价的百分率保持不变,则预测到今年7月份该款新能源汽车的价格将会(参考数据:0.90.95)(A)A.低于22万元/辆B.低于21.5万元/辆C.超过22万元/辆D.超过23万元/辆4.2021山东菏泽端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况.下面是调查员的对话:小王:该水果的进价是每千克22元.小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;每千克每降低3元,每天的销售量将增加120千克.根据
13、他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元.解:设这种水果每千克降价x元,由题意得(38-x-22)(160+x3120)=3640,整理,得x2-12x+27=0,解得x=3或x=9.要尽可能让顾客得到实惠,x=9,销售价为38-9=29(元/千克).答:这种水果的销售价为每千克29元.真 题 帮考法1解一元二次方程1.2019安徽,15解方程:(x-1)2=4.解:(x-1)2=4,x-1=2,x1=3,x2=-1.2.2016安徽,16解方程:x2-2x=4.解:方程两边都加上1,得x2-2x+1=5,即(x
14、-1)2=5,x-1=5,x1=1+5,x2=1-5.考法2根的判别式3.2020安徽,5下列方程中,有两个相等实数根的是(A)A.x2+1=2xB.x2+1=0C.x2-2x=3D.x2-2x=04.2018安徽,7若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2D.-3或1考法3一元二次方程的实际应用5.2017安徽,8一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元,设两次降价的百分率都为x,则x满足(D)A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16第四节一元一次不等
15、式(组)及其应用考 点 帮易错自纠易错点1当不等式两边乘(或除以)同一个负数时,不等号方向没有改变致错1.不等式3-2x1的解集是x1.易错点2列不等式解决实际问题时,未正确理解“至少”“最多”“不超过”2.小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本6元,每支签字笔2.2元.小明买了7支签字笔,他最多还可以买4个作业本.真 题 帮考法1一次不等式(组)及其解法1.2017安徽,5不等式4-2x0的解集在数轴上表示为(D)ABCD2.2013安徽,5已知不等式组x-30,x+10,其解集在数轴上表示正确的是(D)ABCD3.2018安徽,11不等式x-821的解集是x10.4.2021
16、安徽,15解不等式:x-13-10.解:移项,得x-131,去分母,得x-13,所以x4.5.2015安徽,16解不等式:x31-x-36.解:不等式两边同乘6,得2x6-(x-3),去括号,得2x6-x+3,移项、合并同类项,得3x9,系数化为1,得x3.故不等式的解集为x3.考法2一元一次不等式的实际应用6.链接第三章第二节真题帮第3题参考答案第二章方程(组)与不等式(组)第一节一次方程(组)及其应用【易错自纠】1.B若ac=bc,当c0时,a=b;当c=0时,a=b不一定成立,故选B.2.B将x=2代入一元一次方程ax-2=b,得2a-2=b,则2a-b=2,3b-6a+2=-3(2a-
17、b)+2=-32+2=-4.3.A根据题意,可知x=2满足2x-1=x+a-1,则3=2+a-1,解得a=2,代入原方程,得2x-13=x+23-1,去分母,得2x-1=x+2-3,移项、合并同类项,得x=0.4.C设盈利的衣服成本为x元,根据题意可列方程(1+25%)x=135,解得x=108,135-108=27(元),故盈利27元.设亏本的衣服成本为y元,根据题意可列方程(1-25%)y=135,解得y=180,135-180=-45(元).27+(-45)=-18(元),故这次买卖中赔了18元.提分特训1.3将x=2代入4-x2+a=4,得4-22+a=4,解得a=3.25.略1.D等
18、式两边同时乘5,得5b=4a+c,等式两边再同时加a-5b-c,得a-c=5a-5b,即a-c=5(a-b).2.D由a-2b+c=0,得a+c=2b,a+2b+c=2b+2b=4b0,b-7且m-32x+mx-2+x-12-x=3,方程两边同时乘x-2,得2x+m-(x-1)=3(x-2),去括号,得2x+m-x+1=3x-6,移项、合并同类项,得-2x=-7-m,系数化为1,得x=7+m2,7+m20且7+m22,m-7且m-3.3.略4.C根据题意,得3斗=30升,设可以换得的粝米为x升,则5030=30x,解得x=18.经检验,x=18是原分式方程的解,故选C.5.略1.D去分母,得2
19、x+1=3x-3,解得x=4.检验:当x=4时,x-1=30,故该分式方程的解是x=4.2.6去分母,可得4x-12=3x-6,移项、合并同类项,可得x=6.检验:当x=6 时,x-2=6-2=40,所以x=6是该分式方程的解.3.略第三节一元二次方程及其应用【易错自纠】1.-1由题意得m-10,m2+1=2,故m=-1.2.B分两种情况进行讨论.当m-2=0,即m=2时,(m-2)x2-2x+1=0可化为-2x+1=0,是一元一次方程,有实数根;当m-20,即m2时,(m-2)x2-2x+1=0是一元二次方程,若该方程有实数根,则0,即(-2)2-4(m-2)1=12-4m0,解得m3,故m
20、3且m2.综上可知m3.故选B.3.B方程x2+2x+k=0有2个实数根,=22-4k0,k1.4.x1=1,x2=-2原方程可化为(2x+1)2=9,两边开平方,得2x+1=3,x1=1,x2=-2.5.x1=2,x2=-2原方程可化为x(x+2)-2(x+2)=0,提取公因式,得(x+2)(x-2)=0,x-2=0或x+2=0,x1=2,x2=-2.提分特训1.A由数轴可知m0,n0,m+n0,mn0,方程有两个不相等的实数根.故选A.2.略3.A设月降价的百分率为x,根据题意,得270000(1-x)2=243000,整理,得(1-x)2=0.9,故今年7月份该款新能源汽车的价格为243
21、000(1-x)2=2430000.9=218700(元/辆)=21.87(万元/辆),21.521.8722,故选A.4.略12.略3.A逐项分析如下:选项分析根的情况A方程可转化为(x-1)2=0,故x1=x2=1.有两个相等的实数根.B方程可转化为x2=-1,-10.有两个不相等的实数根.D方程可转化为x(x-2)=0,故x1=0,x2=2.有两个不相等的实数根.故选A.4.A将该方程化为一般形式,为x2+(1+a)x=0.若该方程有两个相等的实数根,则=(1+a)2=0,a=-1.5.D第一次降价后的价格为每盒25(1-x)元,第二次降价后的价格为每盒25(1-x)2元,由此可列方程25(1-x)2=16.第四节一元一次不等式(组)及其应用【易错自纠】1.x1移项、合并同类项,得-2x-2,两边同除以-2,得x1.2.41.B去分母,得x-13x+3,移项、合并同类项,得-2x-2.故选B.2.A解不等式5x-13x-4,得x-32;解不等式-13x23-x,得x1,故原不等式组的解集为-32-4,系数化为1,得x2,故不等式的解集为x3,x-1.因此选项D符合题意.3.x10去分母,得x-82,移项、合并同类项,得x10.45.略
