1、第一节坐 标 系三年16考高考指数:1.了解坐标系的作用以及在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.掌握过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆的极坐标方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，了解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.1.伸缩变换及其应用了解即可.2.点的极坐标与直角坐标的相互转化是重点.3.在极坐标系中，对直线和圆的位置关系的考查是难点.4.高考题以解答题的形式考查.1.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平行于y轴的伸缩变换变换公式把xOy平面上的点(x,y)变换成xOy平面
2、上的一点(x,y)，这种变换称为平行于y轴的伸缩变换._(2)平行于x轴的伸缩变换变换公式把xOy平面上的点(x,y)变换成xOy平面上的一点(x,y)，这种变换称为平行于x轴的伸缩变换._【即时应用】(1)在伸缩变换作用下，点P(1,1)的坐标变换为_；(2)在伸缩变换作用下，方程x2+y2=1变换后的曲线方程为_.【解析】(1)在伸缩变换作用下，点P(1，1)的坐标变换为，即变换后的点的坐标为(3，2).(2)在伸缩变换作用下，方程x2+y2=1变换为,即故方程x2+y2=1按变换后的曲线的方程为答案：(1)(3，2)(2)2.极坐标系(1)极坐标系在平面内取定一点O，O点叫作_，从O起引
3、一条射线Ox,这条从极点起的射线Ox叫作_，选定长度单位，角度的正方向(逆时针转角为正向)，这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系统叫作极坐标系.极点极轴(2)极径、极角与极坐标对于平面上的一个点M，连接极点O与M，_叫作M点的极径，记为，极轴Ox为始边_转到OM的角叫作M点的极角，记为.有序数对(，)叫作M点的极坐标，记作_或_，nZ.线段OM之长按逆时针M(,)M(,+2n)【即时应用】(1)思考:在平面直角坐标系内，点与有序实数对(x,y)是一一对应的，那么在极坐标系中，一个点和它的极坐标之间是什么对应关系？提示:虽然一个有序实数对(,)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无
4、数多个有序实数对(,)对应，极坐标系中的点与有序实数对(,)不是一一对应的.(2)已知两点A，B的极坐标分别为(4，)，(4，),则A，B两点间的距离是_.【解析】AOB，OAB为正三角形，故AB4.答案:43.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为0的直线(1)_或_(2)_和_圆心在极点，半径为r的圆_=r(02)=0(R)=+0(R)=0(0)=+0(0)曲线图形极坐标方程圆心为(r,0),半径为r的圆_阿基米德螺线=(0)=2rcos(-)【即时应用】(1)过点A(2,)平行于极轴的直线是_.(2)以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程是_.【解析】(1)在所
5、求直线l上任取一点M(,)，过M作MH垂直于极轴,H为垂足,因为A(2,)，所以|MH|=.在直角三角形MOH中,MH=OMsin,即sin=，所以过点A(2,)平行于极轴的直线为sin=.(2)设D(,)为圆C上任意一点.圆C交极轴于另一点A.由已知OA=8,在RtAOD中,OD=OAcos，即=8cos，这就是圆C的极坐标方程.答案:(1)sin=(2)=8cos4.极坐标和平面直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为_，x轴的正半轴作为_，并在两种坐标系中取相同的_.(2)互化公式：如图所示，设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标
6、与直角坐标的互化公式如下表：极点极轴长度单位点M直角坐标(x,y)极坐标(,)互化公式 x=_ y=_=_tan=_cossin【即时应用】(1)极坐标是(2，)的点的直角坐标为_；(2)极坐标方程表示直线的倾斜角为_；(3)将圆(x-1)2+y2=1化为极坐标方程为_.【解析】(1)由公式，得点(2，)的直角坐标为，即点的直角坐标为(2)极坐标方程即-sin+cos=1,-y+x=1,直线的直角坐标方程为y=x-1,斜率k=1,设直线的倾斜角为，即tan=1.又0,)(,),=直线的倾斜角为.(3)圆的方程(x-1)2+y2=1即x2+y2-2x=0.由公式，得2-2cos=0,即=2cos
7、为所求.答案：(1)(1,)(2)(3)=2cos 伸缩变换【方法点睛】利用伸缩变换公式的思路(1)一般地，我们可以将平行于y轴的伸缩变换公式和平行于x轴的伸缩变换公式综合成伸缩变换公式然后对平面xOy上的点(x,y)或曲线F(x,y)=0进行变换.(2)求曲线经过伸缩变换公式变换后的曲线方程时，通常运用“代点法”，一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系，这可以通过上标符号进行区分.【例1】(1)求正弦曲线y=sinx按变换后的函数解析式；(2)将圆x2+y2=1变换为椭圆的伸缩变换公式为，求l、k的值.【解题指南】设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为P(x,y)，变换后对应的点
8、为P(x,y)，代入伸缩变换公式即可.【规范解答】(1)设点P(x,y)为正弦曲线y=sinx上的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，即，代入y=sinx得2y=sin3x，所以，即为所求.(2)将变换后的椭圆改写为，伸缩变换为，代入上式得，即与x2+y2=1比较系数得极坐标系与点的极坐标【方法点睛】极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系有四个要素:极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向(2)如果(，)是点M的极坐标，那么(，2k)或(，(2k1)(kZ)都可以作为点M的极坐标但这样建立的极坐标系平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系由极径的意义可知0.当极角的取
9、值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系我们约定，极点的极径0，极角可以取任意角【例2】已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5，)，B(5，)，C()，试判断ABC的形状，并求出它的面积.【解题指南】在极坐标系中作出三点A、B、C，通过观察，利用解斜三角形的方法，计算三边的长，从而判断其形状，并求其面积.【规范解答】在极坐标系中，设极点为O，由已知得AOB，BOC，AOC.又OAOB5，OC，由余弦定理得AC2OA2OC22OAOCcosAOC所以AC.同理，BC,AB=5.于是ACBC，所以ABC为等腰三角形.又ABOAOB5，所以ABC中AB边上
10、的高h所以极坐标方程与直角坐标方程的互相转化【方法点睛】1.极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提(1)取直角坐标原点为极点；(2)x轴非负半轴为极轴；(3)规定长度单位相同2.极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(,)，根据三角函数的定义，当0时，有：(极坐标化为直角坐标公式)；(x0)(直角坐标化为极坐标公式).【提醒】当0时,公式也成立,因为点M(,)与点M(-,)关于极点对称，即点M的极坐标也就是(-,+)，此时，有【例3】(2012龙岩模拟)已知曲线C1的极坐标方程为=6cos,曲线C2的极坐标方程为=(R),曲线C1、C2相交于点A，B.(1)将曲线
11、C1、C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长.【解题指南】(1)利用极坐标与直角坐标的互相转化公式将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用圆心到直线的距离公式及弦长公式计算.【规范解答】(1)曲线C1：=6cos即2=6cos.x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.这是圆心为C(3，0)，r=3的圆.由曲线C2：=(R)，得tan=1，sin=cos，sin=cos,即y=x.曲线C2：x-y=0为一条直线.(2)圆心C(3，0)到直线：x-y=0的距离为,且r=3，|AB|=【反思感悟】1.过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程为=(R)，也可以表示为=和=(0),其直
12、角坐标方程为y=x.2.直线与圆的相交弦AB的计算公式为|AB|=，其中，d是圆心到直线的距离，且dr.【备选类型】极坐标系的综合应用【方法点睛】求曲线的极坐标方程的基本步骤与直角坐标系中求曲线方程的基本步骤相同即第一步:建立适当的极坐标系；第二步:在曲线上任取一点P(，)；第三步:根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步:用极坐标，表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步:证明所得的方程是曲线的极坐标方程通常，第五步的过程不必写出，只要对方程进行检验，最后加以确认即可【例】过原点的一动直线交圆x2(y1)21于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.【解题指南】在直角坐标系的相应位置上建立极坐标系，按求轨迹方程的解题步骤求点P的轨迹方程.【规范解答】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如图所示，过P作PR垂直于直线y2，则有|PQ|PR|.设P(，)，Q(0，)，则有02sin.因为|PR|PQ|，所以|2sin|2sin|，所以2或sin 1即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2y24或x0.【反思感悟】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标系要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.
