1、热点总结与强化训练(三)热点数列通项、前n项和的公式及求法在高考中的应用1.本热点在高考中的地位 数列是高中知识的重要章节，主要包括等差、等比数列的通项公式及其前n项和公式，同时数列与函数、不等式有着紧密的联系.从近几年的高考试题看，数列已成为高考的热点问题，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 在高考中主要是求等差、等比数列的通项及其前n项和，数列性质的应用以及数列的综合题，或以等差、等比数列的综合问题出现，或以与数列有关的应用题出现1.数列求通项的常见方法(1)累加法:形如an-an-1=f(n)(n2)(2)累乘法:形如=f(n)(n2)(3)构造
2、等差数列法:如:nan+1=(n+1)an+n(n+1)(4)构造等比数列法:如an=aan-1+b(a,b是常数)(5)取倒数法：如an+1=(k,m是常数)2.数列求和的常见方法(1)直接用等差、等比数列的求和公式求和.(2)错位相减法求和：如an是等差数列，bn是等比数列，求a1b1+a2b2+anbn的和.(3)分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.(4)并项求和：如求1002-992+982-972+22-12的和.(5)裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.常见拆项：(6)公式法求和：.(7)倒序相加法求和.数列部分有些较
3、为简单的小题，一般在选择题、填空题中出现，也有较强综合性的解答题及推理证明题，因而应当牢记等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等，还有数列求和的常用方法要分类记清.对于实际应用问题，应搞清楚是等差、等比,还是递推类应用问题，对较综合的题目应具体问题具体分析.1.(2012安庆模拟)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+a99的值为_.【解析】f(x)=(n+1)xn，f(1)=n+1切线方程为y-1=(n+1)(x-1)令y=0得
4、x=，xn=，lgxn=lgn-lg(n+1)即an=lgn-lg(n+1)a1+a2+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+lg99-lg100=lg1-lg100=-2.答案：-22.(2011福建高考)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0 xa，ba0，x21x，即x2x10，解得 x，因为0 x0时，AnBn;当aBn.4.(2011广东高考)设b0，数列an满足a1b，an(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，【解析】(1)由a1b0，知当n2时，An当b2时，当b2时，An.(2)当b2
5、时，欲证只需证nbn即证而2n1bn12n2bn222nb2n2b2n12n1bn12nbn(222)2n2nbnn2n1bn，当b2时，综上所述，5.(2011湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新证明：须在第9年初对M更新【解析】(1)当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列an12010(n1)13010n；当n6时
6、，数列an是以a6为首项，公比为的等比数列，又a670，所以an70()n6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an(2)设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；当n7时，由于S6570，故SnS6(a7a8an)5707041()n6780210()n6，An，因为an是递减数列，所以An是递减数列又A882 80，A976 0).(1)求证：数列an是等比数列；(2)设数列an的公比q=f(m)，数列bn满足b1=2a1,bn=f(bn-1)(n2,nN*),求数列bn的通项公式；(3)在满足(2)
7、的条件下，求数列 的前n项和Tn.【解析】(1)当n=1时，a1=S1=(m+1)-ma1,解得a1=1.当n2时，an=Sn-Sn-1=man-1-man,即(1+m)an=man-1.又m为常数，且m0，(n2).数列an是首项为1，公比为的等比数列.(2)由(1)得，q=f(m)=,b1=2a1=2.bn=f(bn-1)=,+1,即=1(n2).是首项为，公差为1的等差数列.=+(n-1)1=,即bn=(nN*).(3)由(2)知bn=,则 =2n(2n-1).所以Tn=211+223+235+2n-1(2n-3)+2n(2n-1),则2Tn=221+233+245+2n(2n-3)+2
8、n+1(2n-1),-得Tn=2n+1(2n-1)-2-23-24-2n+1,故Tn=2n+1(2n-1)-2-=2n+1(2n-3)+6.热点线性规划在高考中的应用1.本热点在高考中的地位 线性规划是沟通几何知识与代数知识的重要桥梁，是数形结合、分类讨论、化归等重要思想的集中体现.尤其是它的考查联系了解析几何、函数、不等式、方程等知识，因而线性规划问题已成为近几年高考的热点问题，在高考中占有重要的地位.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 在高考中主要考查利用两变量的约束条件求目标函数的最值;利用可行域求面积；利用其几何意义求斜率、距离的最值；求参数的取值范围及实际应用中的最优解问题，多以
9、选择题、填空题以及解答题中的小题的形式出现，偶尔在解答题中考查实际应用问题.它往往与不等式、方程、函数等知识交汇考查.1.线性规划的分类 (1)不含参数的线性规划问题.(2)含参数的线性规划问题,其中又分为可行域中含参数,或目标函数中含参数.(3)线性规划中最优整数解问题.(4)利用几何意义(如：斜率、距离等)求解线性规划中的范围问题.2.线性规划的解题策略对于线性规划问题，关键要分清是哪一类问题，对于不同类型，灵活采用不同解法求解.但无论哪种类型,准确画出可行域是解题的重中之重，因而解题时要具体问题具体分析.线性规划问题具有综合性强、覆盖面广、灵活性大的特点.应当明确理解线性约束条件和目标函
10、数，准确画出可行域，合理利用可行域求目标函数的最值.若是几何意义问题，要明确是斜率问题还是距离问题，若是实际应用问题要设出未知量，利用条件写出线性约束条件，确定目标函数，画出可行域求解.对于其他问题,如面积，若是规则的可以直接求解，不规则的可分割求解.1.(2011浙江高考)若实数x、y满足不等式组则3x+4y的最小值是()(A)13 (B)15 (C)20 (D)28【解析】选A.设z=3x+4y,如图作出可行域，由得zmin=33+41=13,故选A.2.(2011广东高考)已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为(,1)，则z=的最大值
11、为()(A)(B)(C)4(D)3【解析】选C.方法一:由已知得目标函数z=x+y，作出可行域，如图所示,可知B点坐标为(，2)，当目标函数过B点时z取最大值，故z的最大值为方法二：由题意得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC，z=所以就是求的最大值，表示在方向上的投影，数形结合观察得当点M在点B处时，取得最大值.在AOB中，OA=，OB=，AB=1，所以zmax=4,故选C.3.(2011安徽高考)设变量x,y满足|x|+|y|1,则x+2y的最大值和最小值分别为()()，()，()，()，【解析】选B.不等式|x|+|y|1对应的区域如图阴影部分所示，当目标函数过点(0，1
12、)，(0,1)时，分别取最小值、最大值，所以x+2y的最大值和最小值分别为2，2.故选B.4.(2011湖北高考)已知向量a=(x+z,3)，b=(2,y-z)，且ab.若x,y满足不等式|x|+|y|1，则z的取值范围为()(A)-2,2(B)-2,3(C)-3,2(D)-3,3【解析】选D.因为ab，所以2(x+z)+3(y-z)=0，则z=2x+3y，又x,y满足不等式|x|+|y|1，所以点(x,y)的可行域如图所示,当z=2x+3y经过点A(0,1)时，z=2x+3y取得最大值3；当z=2x+3y经过点C(0,-1)时，z=2x+3y取得最小值-3.所以选D.5.(2011大纲版全国
13、卷)若变量x、y满足约束条件则z=2x+3y的最小值为()(A)17 (B)14 (C)5 (D)3【解析】选C.作出可行域，分析可知当x=1,y=1时,zmin=5.6.(2011四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=()(A)4 650元(B)4 700元(C)4 900元(D)5 000元【解析】选C.设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得设每天的利润为m元，则m=450 x+350y，如图阴影部分中的整点为该不等式组表示的可行域，作直线9x+7y=0，平移直线,当过点A(7,5)时，m取最大值，故z=4507+3505=4 900.故选C.7.(2011新课标全国卷)若变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由解得A(4，5)当直线zx2y过A点时z取最小值，将A(4，5)代入，得z42(5)6.答案：-6
