1、热点总结与强化训练(一)热点导数的应用1.本热点在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.1.导数的几何意义对可导函数y=f(x)来说，f(x0)表示(f(x)的图像)在x=x0处的切线的斜率.2.利用导数判
2、断函数的单调性在区间(a,b)上f(x)0f(x)在(a,b)上是单调增函数.f(x)0f(x)在(a,b)上是单调减函数.3.可导函数f(x)满足：当xx0时，f(x)0，当xx0时，f(x)0，则x0是函数f(x)的极大值点，f(x0)是f(x)的一个极大值.4.若f(x)在a,b上连续，则可以通过比较f(a)、f(b)及f(x)的各个极值的大小，确定f(x)在a,b上的最大(最小)值.平时的备考中要从运算、化简入手，首先解决诸如导数的运算、切线的求法，单调区间、极值及最值的求法等.在此基础上，再结合其他相关知识解决函数的综合问题，对于生活中的优化问题，应从提高建模能力入手，顺利建模是解题
3、的关键，本热点的知识难度较大，备考中应注意循序渐进，切不可急于求成.1.(2011新课标全国卷)已知函数曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a、b的值；(2)如果当x0，且x1时，f(x)求k的取值范围.【解析】(1)由于直线x+2y-3=0的斜率为且过点(1,1)，(2)由(1)知所以考虑函数则(i)若k0，由知，当x1时，h(x)0，h(x)单调递减.而h(1)=0，故当x(0,1)时，h(x)0，可得当x(1，+)时，h(x)0从而当x0,且x1时，(ii)若0k0,故h(x)0,而h(1)=0，故当x(1，)时，h(x)0，可得0,而h(1)=0，
4、故当x(1，+)时，h(x)0，可得0,与题设矛盾.综合得，k的取值范围为(-，0.2.(2011安徽高考)设其中a为正实数.(1)当a=时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【解析】对f(x)求导得，(1)当a=时，令f(x)=0，则4x2-8x+3=0,解得列表得所以，是极小值点，是极大值点.x(-，)()(+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax2-2ax+10在R上恒成立，因此=4a2-4a=4a(a-1)0,由此并结合a0，知0a1.3.(2011福建高考)已知a，b
5、为常数，且a0，函数f(x)=-ax+b+axlnx，f(e)=2(e=2.718 28是自然对数的底数).(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a=1时，是否同时存在实数m和M(m0时，由f(x)0得x1；由f(x)0得0 x1；当a0得0 x1；由f(x)1.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+).当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，+)，单调递减区间为(0,1).(3)当a=1时，f(x)=-x+2+xlnx,f(x)=lnx.由(2)可得，当x在区间 e内变化时，f(x),f(x)的变化情况如表：x(1)1(1,e
6、)ef(x)-0+f(x)2-极小值12又2-0，所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a0，则由f(x)=0得x=，且当x(0,)时，f(x)0，当x 时，f(x)0时，f(x)在(0,)上单调递增，在(,+)上单调递减.(2)设函数g(x)=f(+x)-f(-x)，则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax，当0 x0，而g(0)=0，所以g(x)0.故当0 xf(-x).(3)由(1)可得，当a0时，函数y=f(x)的图像与x轴至多有一个交点，故a0，从而f(x)的最大值为f()，且f()0.不妨设A(x1，)，B(x2，)，0 x1x2，则0 x1 x2，由(2)得从而于是
7、由(1)知，f(x0)0.热点充要条件1.本热点在高考中的地位由于充要条件考查形式的多样性和考查内容的广泛性，所以充要条件一直是各省在每年高考中必考的一个知识点.利用充要条件，可以直接考查逻辑知识，如命题真假的判断；也可以利用充要性的判断过程去考查其他知识点,如不等式的性质，函数的性质和应用，线面位置关系的确定，数列中某些结论是否成立，解析几何中参数的取值，三角函数图像的特征等.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对充要条件的考查主要有以下三种方式：(1)判断条件的充要性，(2)求充要条件，(3)条件充要性的应用，如已知充要关系求参数的范围等.1.判断条件充要性的关键点若判断p是
8、q的充要条件，就需要严谨推证两个命题：pq,qp;若判断p不是q的充要条件，则往往用举反例的方法.2.充要条件的求解(证明)方法求充要条件时，一般先求必要条件，再证明其充分性；另一方面，充要条件揭示了p与q的等价性，若每一步都是等价变形，也就找到了充要条件.证明充要条件时，一是注意审题，区分“p是q的充要条件”和“p的充要条件是q”这两种说法；二是充分性和必要性都需要证明.3.条件充要性的应用技巧若条件p:集合A，条件q:集合B,则即将充要条件转化为相应的集合关系，再根据集合间端点的大小关系确定参数的范围，特别注意端点是否符合要单独验证.条 件 关 系集 合 关 系pqABpq,q pA Bp
9、qA=B复习充要条件时，除理解充要条件的有关概念和掌握常见题型的解法外，对其他相关知识点的把握更是关键，因为充要条件的判定，就是一个推导的过程，能否由p顺利推出q，是取决于其他知识点的，同时注意反例的应用.举出一个反例，即可否定推出关系.1.(2011福建高考)若aR，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选A.由(a-1)(a-2)=0得a=1或a=2，所以a=2(a-1)(a-2)=0，而(a-1)(a-2)=0 a=2，故“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分而不必要条件.2.(
10、2011江西高考)已知1,2,3是三个相互平行的平面，平面1,2之间的距离为d1，平面2,3之间的距离为d2.直线l与1,2,3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选C.如图所示，由于23，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2MP3N,再由平行线分线段成比例易得因此P1P2=P2P3d1=d2.3.(2011湖北高考)若实数a,b满足a0,b0,且ab=0，则称a与b互补，记(a,b)=-a-b，那么(a,b)=0是a与b互补的()(A)必要而不充分的条件(B
11、)充分而不必要的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【解题指南】从两方面推证：当(a,b)=0时，是否有a与b互补;当a与b互补时，是否有(a,b)=0.【解析】选C.当(a,b)=0时，=a+b,a2+b2=(a+b)2，即ab=0，又a+b0，故a=0,b0或b=0,a0；当a与b互补时，a0,b0,且ab=0，(a,b)=因此(a,b)=0是a与b互补的充要条件.4.(2011天津高考)设x,yR，则“x2且y2”是“x2+y24”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.x2+y24表示以原点为圆心,以2为半径的圆以及圆外的区域,故A正确.5.(2012合肥模拟)设条件p:a2+a0,条件q:a0;那么p是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；条件p:a2+a0，即为a0且a-1,故条件p:a2+a0是条件q:a0的充分不必要条件.故选A.
