1、第八节用向量讨论垂直与平行三年8考高考指数:1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).1.以空间向量及其运算为工具判定或证明平行、垂直是高考的重点，特别是用数量积解决空间中的垂直问题是高考的热点；2.线线、线面、面面位置关系的题型多以解答题的形式出现，综合考查学生的空间想象能力、运算能力、数形结合思想以及运用知识分析问题、解决问题的能力.1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一_向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利
2、用方程组求出：设a,b是平面内两不共线向量,n为平面的法向量，则求法向量的方程组为_ _非零na=0.nb=0【即时应用】(1)思考：如何确定直线的方向向量？在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？提示：在直线上任取两点，由这两点确定的向量即可作为直线的方向向量.给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标不唯一，凡是在直线l上的非零向量或与l平行的非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量.(2)若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面
3、内的三点，设平面的法向量n=(x,y,z)，则xyz=_.【解析】由得所以答案：23(-4)2.利用向量的知识判定线线、线面、面面平行的方法(1)直线与直线平行的判定方法如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则ab_.(2)直线与平面平行的判定方法如果平面外的直线a的方向向量为a，平面的法向量为n,则a_.a=ban=0如果平面外的直线a的方向向量为a,e1,e2是平面的一组基底(不共线的向量)，则a_.(3)平面与平面平行的判定方法如果不重合的平面和平面的法向量分别为n1和n2，则 _.a=1e1+2e2n1=n2【即时应用】(1)若直线a,b的方向向量分别为a=(1,-1,2)
4、,b=(-2,2,-4),则直线a与b的位置关系是_.(2)设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab=0,则直线l与平面的位置关系是_.(3)空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(-2，-1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是_.【解析】(1)a=(1,-1,2),b=(-2,2,-4),b=-2a,a与b共线，即ab或a与b重合.(2)ab=0,ab,l或l.(3)与共线，又与没有公共点.ABCD.答案：(1)ab或a与b重合(2)l或l (3)ABCD3.利用向量的知识判定线线、线面、面面垂直的方法(1)直线与直线垂直的判定方法如果不重合的直线
5、a和直线b的方向向量分别为a和b，则ab_.(2)直线与平面垂直的判定方法如果直线a的方向向量为a,平面的法向量为n，则a _.ab=0a=n如果直线a的方向向量为a,e1,e2是平面的一组基底(不共线的向量)，则a_.(3)平面与平面垂直的判定方法如果不重合的平面和平面的法向量分别为n1和n2，则 _.ae1=0且ae2=0n1n2=0【即时应用】(1)若平面,的法向量分别为a=(1,2,4)，b=(x，-1，-2)，并且，则x的值为_(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是_【解析】(1)由得ab=0，解得x10.(2)
6、由ab=2(-6)+49+(-4)6=0得ab，从而l1l2答案：(1)10 (2)l1l2利用空间向量证平行【方法点睛】用向量证平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线.线面平行(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.【提醒】用向量证明平行问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.面面平行(1)证明两平面的法向量为共线向量；(2)转化为线面平行、线线平行问题.【例1】(1)若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()(A)a(1,0,0)，n(2,0,0)(B)a
7、(1,3,5)，n(1,0,1)(C)a(0,2,1)，n(1,0，1)(D)a(1，1,3)，n(0,3,1)(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN平面A1BD.【解题指南】(1)验证an=0是否成立即可.(2)建立空间直角坐标系，由向量共线得线线平行，或利用垂直于平面A1BD的法向量n,从而得出线面平行.【规范解答】(1)选D.若l，则an=0.经验证知，D满足条件.(2)方法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1),
8、M(0，1，)，N(，1，1)，于是DA1MN.而MN平面A1BD，DA1 平面A1BD，MN平面A1BD.方法二：建立如方法一中的坐标系，则D(0,0,0),M(0,1,),N(,1,1)，A1(1,0,1),B(1，1，0).设平面A1BD的一个法向量是n=(x，y，z)，则，且，得取x=1，得y=-1，z=-1，n=(1，-1，-1).又又MN平面A1BD，MN平面A1BD.【反思感悟】1.利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法.2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错
9、误也是解题中常出现的问题.利用空间向量证明垂直【方法点睛】用向量证明垂直的方法线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示【例2】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD的夹角为30.(1)求证:CM平面PAD;(2)求证:平面PAB平面PAD.【解题指南】建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD的法向量垂直；
10、也可将分解为平面PAD内的两个不共线向量的线性组合，利用共面向量定理证明.(2)取AP中点E，利用向量证明BE平面PAD即可.【规范解答】由题意可知：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD的夹角，PBC=30.PC=2,BC=,PB=4.ABCDMPyzxD(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即令y=2,得n=(,2,1).,又CM平面PAD，CM平面PAD.方法二:假设平面PAD，则存在x,y
11、使,则方程组的解为由共面向量定理知与共面，故假设成立，又CM平面PAD,CM平面PAD.(2)取AP的中点E,连接BE，则E(,2,1),PB=AB,BEPA.又 ，BEDA，又PADA=A.BE平面PAD,又BE 平面PAB,平面PAB平面PAD.三垂线定理的应用【方法点睛】三垂线定理的应用(1)证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直.(2)计算问题，如求空间一点到平面内某一直线的距离，求两平行直线间的距离，求两条异面直线的夹角等.(3)二面角问题，主要是构造二面角的平面角.【例3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BB1、DD1上的动点.(1)求证：EFAC；(2
12、)当E恰为棱BB1的中点时，能否在棱DD1上确定点F的位置，使平面ACE与平面ACF垂直，请说明理由.【解题指南】(1)利用三垂线定理证EFAC.(2)通过证二面角的平面角为90证面面垂直.【规范解答】(1)在正方体中，DD1底面ABCD，AC 底面ABCD，DD1AC.连接BD，B1D1,则ACBD，又DD1BD=D,于是知AC平面BB1D1D.又E、F分别是棱BB1、DD1上的动点，所以EF 平面BB1D1D，故EFAC.B1C1D1A1FGDCABEO(2)DF底面ABCD，设ACBD=O，ACBD,由三垂线定理知FOAC.同理EOAC，故EOF是二面角E-AC-F的平面角.设正方体棱长
13、为1，FD=t,在RtFDO中，E为棱BB1的中点，在RtEBO中，在平面BB1D1D内，过点E作EGDD1于G，则FG=要使平面ACE与平面ACF垂直，即EOF=90.则EO2+FO2=EF2，即解得t=1.故当点F运动到顶点D1时，平面ACE与平面ACF垂直.【反思感悟】解答本题容易出现找不出正确的二面角的平面角而得出错误答案的情况.【满分指导】空间向量平行与垂直运算中的规范解答【典例】(12分)(2012长沙模拟)已知空间中三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3,0,4),设a=,b=.(1)若c=3,且c ,求向量c的坐标；(2)若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直
14、，求m,n应满足的关系式.【解题指南】(1)求的坐标，由c=得c的坐标，根据c=3求得,可得所求.(2)根据条件得到m(a+b)+n(a-b)和2a-b的坐标，根据垂直的充要条件可求得m,n满足的条件.【规范解答】(1)由条件得a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，=-=(-2,-1,2).2分c ,c=(-2,-1,2)=(-2,-,2).4分c=1或=-1.c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).6分(2)由条件得a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),2a-b=(3,2,-2).m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n).8分m(a+b)+n(a-b)与
15、2a-b垂直，m(a+b)+n(a-b)(2a-b)=32n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0.m=6n.11分即当m=6n时，可使m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直.12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分：(1)不能用的坐标表示c的坐标，进而使解题思路受阻；(2)计算中由于粗心造成向量的坐标运算不准确，导致结果错误.备考建议解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误；(2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要
16、条件将问题转化.另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法.1.(2012宝鸡模拟)已知a=(cos,1,sin)，b=(sin，1,cos),则向量a+b与a-b的夹角是()(A)0 (B)30 (C)60 (D)90【解析】选Da+b=(cos+sin，2，sin+cos)，a-b=(cos-sin，0,sin-cos)(a+b)(a-b)=(cos+sin)(cos-sin)+20+(sin+cos)(sin-cos)=cos2-sin2+sin2-cos2=0(a+b)(a-b)即向量a+b与a-b的夹角是902.(2012昆明模拟)如图，正方形A
17、BCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上,且AM平面BDE.则M点的坐标为()(A)(1,1,1)(B)(,1)(C)(,1)(D)(,1)【解析】选C.M在EF上，设MEx，A(,0)，D(,0，0)，E(0,0,1)，B(0，0)设平面BDE的法向量n(a，b，c)，由，得ab故可取一个法向量3.(2012锦州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)、B(10，-1，6)、C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_.【解析】由题意知又可得x=2.答案：24.(2012荆州模拟)在正方体AC1中,P为DD1中点,O为底面ABCD
18、的中心,则直线OB1与平面PAC的位置关系为_.【解析】如图分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0),B1(2,2,2),O(1,1,0)OB1AC,OB1AP,又ACAP=A,OB1平面PAC.答案：垂直5.(2012长沙模拟)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点，(1)求的长；(2)求cos的值；(3)求证：A1BC1M.【解析】如图，分别以CA，CB，CC1所在直线为x,y，z轴建立空间直角坐标系(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)(2)依题意得A1(1，0，2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，(3)依题意得C1(0，0，2)、M(，2)，=(-1，1，-2)，
