1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质三年20考高考指数:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间垂直关系的简单命题.1.垂直关系的判断多以选择题或填空题的形式考查，考查对概念、公理、定理、性质、结论的理解，往往与命题的概念及平行关系综合在一起考查，难度较小；2.线面垂直、面面垂直关系的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系及多面体的体积综合命题，难度中等.1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义直线l与平面垂直直线l与平面内的_都垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理任意一条直线文字
2、语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直._，_，_,_，_，性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行._，_，abOlablalbabab=Oablab【即时应用】(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面内，或者l与平面相交但不垂直.(2)直线a平面，b，则a与b的位置关系是_.【解析】由b可得b平行于内的一条直线，设为b.因为a，所以ab，从而ab，但a与b可能相交，也可能异面.答案：垂直2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面
3、上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角.如图，_就是斜线AP与平面所成的角.(2)线面角的范围：0，.特别地,当直线与平面平行或在平面内时，规定直线与平面所成的角为_，当直线与平面垂直时，规定直线与平面所成的角为_.射影锐角PAO0【即时应用】(1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与平面A1B1C1D1所成的角为_，其大小为_；D1B与平面ABCD所成的角为_，其正弦值为_.【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为CB1C1，其大小为45；连接B
4、D，则D1B与平面ABCD所成的角为D1BD，其正弦值为.答案：CB1C1 45 D1BD 3.平面与平面垂直(1)二面角二面角的定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做_.两个半平面叫做_.如图的二面角，可记作:二面角_或二面角_或二面角_或二面角_.两个半平面二面角的棱二面角的面-l-AB-P-AB-QP-l-Q二面角的平面角如图，从二面角-l-的棱l上的一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl,则_就叫做二面角-l-的平面角.二面角的平面角的范围设二面角的平面角为，则0,.AOB(2)平面与平面垂直定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互
5、相垂直.平面与平面垂直的判定定理及性质定理直二面角平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直._,_,lll文字语言图形语言符号语言判定定理如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直._,_,_=allalal【即时应用】(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.(2)已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的_条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)【解析】由条件知，当m时，一定有；但反之不一定成立.故填必要不
6、充分.答案：必要不充分(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，DAB=_.【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，BOAC，故DOB为二面角的平面角，从而DOB=90.设正方形边长为1，则DO=BO=，所以DB=1，故ADB为等边三角形，所以DAB=60.答案：60直线与平面垂直的判定和性质【方法点睛】1.证明线面垂直的常用方法方法一利用判定定理方法二利用平行线垂直于平面的传递性(ab,ab)方法三利用面面平行的性质(a,a)方法四利用面面垂直的性质2.线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时，直线与平面内的所有直线都垂直，常利用这个结论来证明线线垂直，这种方法体现了“线线垂
7、直”与“线面垂直”间的相互转化.【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写解题过程，否则容易失分.如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现“平面中的两条相交直线”这一条件.【例1】(1)(2012福州模拟)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC.则下列结论不正确的是()(A)CD平面PAF(B)DF平面PAF(C)CF平面PAB(D)CF平面PAD(2)(2012厦门模拟)如图，三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，ABBC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点,又PB=BC，PA=AB.求证：PC平面BDE；若点Q是线段PA上任一点，判断BD、D
8、Q的位置关系，并证明你的结论；若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断.(2)利用线面垂直的判定定理证明；证明BD平面PAC即可得出结论；根据VB-CED=VC-BDE，转化为求SBDE及CE的问题.【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CDAF，CFAB，故A、C正确；因为PA平面ABC，所以PADF，又DFAF，PAAF=A，故DF平面PAF，即B正确.故选D.(2)由等腰三角形PBC，得BEPC，又DE垂直平分PC，DEPC，BE平面BDE且DE平面BDE，BEDE=E，PC平面BDE由得，PCBD，因为PA底面ABC，所以PABD.
9、PC平面PAC，PA平面PAC,PCPA=P，BD平面PAC当点Q是线段PA上任一点时都有BDDQ.PA=AB=2,PB=BC=2 .ABBC,AC=2 .PC=4，CE=2，且CDECPA，由知：BDDE.VB-CED=VC-BDE=SBDECE【反思感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直之间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化，这是证垂直时常用到的方法.2.解题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直是解题的关键.所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理.平面与平面垂直的判定和性质【方法点睛】1.证明面面垂直的技巧面面垂直的证明综合性强，可通过转化使问题得以解决，
10、“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如下图，要熟练掌握它们之间的转化关系，其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.2.面面垂直性质的应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面.此性质在不是很复杂的题目中，要进行证明.【例2】如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且=(01).(1)判断EF与平
11、面ABC的位置关系并给予证明；(2)是否存在，使得平面BEF平面ACD，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由.【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由条件知EFCD，由BCD90及AB平面BCD，易证CD平面ABC.(2)由EFCD可得，问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直，这样的平面一定存在，故只需计算出即可，由条件不难得到BECD，故只需BEAC.【规范解答】(1)EF平面ABC.证明：因为AB平面BCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD90，所以BCCD，又ABBCB，所以CD平面ABC，又在ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且=(01)，EFCD，EF
12、平面ABC.(2)CD平面ABC，BE平面ABC，BECD，易知要使平面BEF平面ACD，只要BEAC即可.在RtABD中，ADB60，ABBDtan60，则当BEAC时，则即时，BEAC，又BECD，ACCDC，BE平面ACD，BE平面BEF，平面BEF平面ACD.所以存在，且当时，平面BEF平面ACD.【反思感悟】证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决.垂直关系的综合问题【方法点睛】与垂直有关的综合题的类型(1)对于三种垂直的综合问题，解题时要注
13、意通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于垂直与平行结合的问题，解题时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)对于垂直与体积结合的问题，在求棱锥的体积时，可根据线面垂直得到表示棱锥高的线段，进而求得体积.【例3】如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形.(1)求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积.【解题指南】(1)要证DM平面APC,只需证明DMAP即可；(2)证面面垂直转化为证线面垂直，即证BC平面APC；(3)利用等积转化，即通过VDBCMVM
14、BCD解题.【规范解答】(1)M为AB中点，D为PB中点，DMAP，又DM 平面APC，AP平面APC.DM平面APC.(2)PMB为正三角形，且D为PB中点，MDPB，又由(1)知MDAP，APPB又已知APPC，PBPC=P，AP平面PBC，APBC，又ACBC，APAC=A，BC平面APC.又BC平面ABC.平面ABC平面APC.(3)AB20，MP10，PB10.又BC4，SBDC又VDBCMVMBCD【反思感悟】1.解决平行或垂直问题时，要重视各种平行或各种垂直间的相互转化在解题中所起的作用.2.通过“平移”将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角
15、，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题.3.通过添加辅助线将立体问题转化为平面问题.【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答【典例】(13分)(2011辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA,QA=AB=PD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.【解题指南】(1)证明PQDC，PQQD，进而可得PQ平面DCQ；(2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA平面ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形A
16、BCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，2分又PQ平面PDAQ，所以PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD.5分又DCQD=D,所以PQ平面DCQ.7分(2)设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积9分由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，而PQ=a，DCQ的面积为a2，所以棱锥P-DCQ的体积12分故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.13分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)证明线面垂直时不能熟练运用垂直之间的关系进
17、行转化，求体积时无法确定棱锥的高；(2)答题过程书写不规范，步骤欠缺，在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述.备考建议解决直线、平面的垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；(2)对几何体体积、面积及线面角的运算不准确；(3)解题时当所给线、面不明显或不存在时，由于作不出应添加的辅助线而导致失分.另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于规范地使用数学符号进行表达.1.(2012泉州模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()(A)若m，n，则mn(B)若m，n，则mn(C
18、)若m，n，则mn(D)若m，n，则mn【解析】选A.由m,可得m或m，又n，故mn，即A正确；如图(1)，m,n,但mn，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m,n,，但m,n相交，故D错.2.(2011浙江高考)下列命题中错误的是()(A)如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面(B)如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C)如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面(D)如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】选D.如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的.3.(2012南
19、平模拟)如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有_(填序号).平面ABC平面ABD平面ABD平面BCD平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE【解析】因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故只有正确.答案：4.(2011福建高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因为ABAD，CEAB,所以CEAD.又PAAD=A，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DE=CDcos45=1.CE=CDsin45=1.又因为AB=CE=1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形.所以又PA平面ABCD，PA=1，所以
