1、第三节直线与平面垂直内容要求ABC直线与平面垂直的判定与性质三年1考高考指数:1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义直线a与平面垂直直线a与平面内的_都垂直.任意一条直线(2)直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直.mnAa符号语言_，_，_,_，_，_amanmnmn=Aa(3)直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.ab_，_，_abab符号语言【即时应用】(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？提示：不可以.
2、当这无数条直线平行时，直线a有可能在平面内，或者a与平面相交但不垂直.(2)直线a平面，直线b平面，则a与b的位置关系是_.【解析】由b可得b平行于内的一条直线，设为b.因为a，所以ab，从而ab，但a与b可能相交，也可能异面.答案：垂直2.点面、线面距离及线面角(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，_的距离，叫做这个点到这个平面的距离.(2)直线和平面的距离一条直线和一个平面平行,这条直线上_到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.这个点和垂足间任意一点(3)直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线与它在这个平面内的_所成的_,叫做这条直线与这个平面所成的角.如图,斜线AP与平
3、面所成的角是_.线面角的范围：0，.特别地,当直线与平面平行或在平面内时，规定直线与平面所成的角为_，当直线与平面垂直时，规定直线与平面所成的角为_.射影锐角PAO0的角直角【即时应用】(1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C与平面A1B1C1D1所成的角为_，其大小为_；D1B与平面ABCD所成的角的正弦值为_.【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为CB1C1，其大小为45；连结BD,则D1B与平面ABCD所成的角为D1BD，其正弦值为.答案：CB1C
4、1 45直线与平面垂直的判定【方法点睛】证明线面垂直的常用方法方法一方法二方法三方法四利用判定定理利用平行线垂直于平面的传递性利用面面平行的性质利用面面垂直的性质(ab,ab)(a,a)【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写解题过程，否则容易失分.如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现“平面中的两条相交直线”这一条件.【例1】(1)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC.则下列结论正确的是_.CD平面PAFDF平面PAFCF平面PABCF平面PAD(2)如图，三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，ABBC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点
5、,又PB=BC，PA=AB.求证：PC平面BDE；若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明你的结论；若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断.(2)利用线面垂直的判定定理证明；证明BD平面PAC即可得出结论；根据VB-CED=VC-BDE，转化为求SBDE及CE的问题.【规范解答】(1)由正六边形的性质得CDAF，CFAB，故、正确；因为PA平面ABC，所以PADF，又DFAF，PAAF=A，故DF平面PAF，即正确.答案：(2)由等腰三角形PBC，得BEPC，又DE垂直平分PC，DEPC，BE平面BDE且DE平面BDE，BE
6、DE=E，PC平面BDE.由得，PCBD，因为PA底面ABC，所以PABD.PC平面PAC，PA平面PAC,PCPA=P，BD平面PAC，当点Q是线段PA上任一点时都有BDDQ.PA=AB=2,PB=BC=2 .ABBC,AC=2 .PC=4，CE=2，且CDECPA，由知：BDDE.VB-CED=VC-BDE=SBDECE=()2=.【反思感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直之间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化，这是证垂直时常用到的方法.2.解题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直是解题的关键.所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理.线面垂直的性质【方法
7、点睛】线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时，直线与平面内的所有直线都垂直，常利用这个结论来证明线线垂直，这种方法体现了“线线垂直”与“线面垂直”间的相互转化.【例2】(2012泰州模拟)如图,四边形ABCD是矩形,BC平面ABE,F为CE上的点,且BF平面ACE.(1)求证:AEBE.(2)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点,求证:MN平面DAE.【解题指南】(1)要证AEBE,只要证AE与过BE的平面垂直或BE与过AE的平面垂直.(2)要证MN平面DAE,只要在平面DAE内找到一条直线与MN平行,可采用构造平行四边形的方法.【规范解答】(1)(2)取DE的中点P,连结PA、PN.P
8、为DE的中点PNDC,且PN=DCN为CE的中点四边形ABCD是矩形AMDC,且AM=DCM为AB的中点PNAM且PN=AM四边形AMNP是平行四边形MNAPAP平面DAE MN平面DAE.MN平面DAE【反思感悟】空间中线线垂直与平面内线线垂直不同,增加了异面直线垂直的情况.因此在空间中证明线线垂直,通常要考虑转化为证明线面垂直.【满分指导】垂直关系综合题的规范解答【典例】(14分)(2011辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA,QA=AB=PD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.【解题指南】(1)证明PQD
9、C，PQQD，进而可得PQ平面DCQ；(2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA平面ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.2分又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，4分又PQ平面PDAQ，所以PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD.6分又DCQD=D,所以PQ平面DCQ.8分(2)设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积V1=a3.10分由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，而PQ=a，DCQ的面积为a2，所
10、以棱锥P-DCQ的体积V2=a3.13分故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)证明线面垂直时不能熟练运用垂直之间的关系进行转化，求体积时无法确定棱锥的高；(2)答题过程书写不规范，步骤欠缺，在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述.备考建议解决直线、平面的垂直问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)注意题中线线垂直关系之间的联系,推导出关键的线面垂直关系;(2)对几何体体积、相关面积及线面角的计算要加强准确性；(3)重视对基
11、础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于规范使用数学符号进行表达.1.(2012扬州模拟)如图,如果MC菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是_.【解析】MC菱形ABCD,据异面直线的知识知MA与BD的位置关系是异面.连结AC,则BDAC,MC平面ABCD,MCBD,又MCAC=C,BD平面MCA,MA平面MCA,BDMA,MA与BD异面垂直.答案：异面垂直2.(2012扬州模拟)设m,n为空间的两条直线,为空间的两个平面,给出下列命题:(1)若m,m,则;(2)若m,m,则;(3)若m,n,则mn;(4)若m,n,则mn;其中真命题的序号是_.【解析】(1)若m,m,则与有可能相
12、交,故(1)错;(2)若m,m,则,正确;(3)若m,n,则mn，正确；(4)正确.答案：(2)(3)(4)3.(2012烟台模拟)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且ABEF,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.(1)求证:AF平面CBF;(2)设FC的中点为M,求证:OM平面DAF.【证明】(1)平面ABCD平面ABEF,CBAB,平面ABCD平面ABEF=AB,CB平面ABEF,AF平面ABEF,AFCB,AB为圆O的直径,AFBF,又CBBF=B，AF平面CBF.(2)设DF的中点为N,连结MN，AN，则MN CD,又AO CD,MN AO,即四边形MNAO为平行四边形,OMAN,又AN平面DAF,OM平面DAF,OM平面DAF.
