1、第七节数学归纳法三年3考高考指数:1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.归纳猜想证明仍是高考的重点；2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题；3.题型以解答题为主，难度中等偏上.1.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与_有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：_时,命题成立；(2)在假设当_时命题成立的前提下，推出当_时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对_都成立.正整数nn=1n=k(k1)n=k+1一切正整数n【即时应用】判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”)(1)用数学归纳法验证第一个值n0,则n
2、0必定为1.()(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.()(3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时，第一步是检验n等于3.()(4)用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+3-1”时，验证n=1时,左边式子应为1+2+22.()【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是1，可能为2，3，4等.(2)正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推.(3)正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0.(4)错误.验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.答案：(1)(2)(3)(4)2.数学归纳法的框图表示命题对从n0
3、开始_都成立.所有的正整数n归纳递推归纳奠基验证n=n0(n0N)时命题成立.若n=k(kn0,kN)时命题成立，证明_.n=k+1时命题也成立【即时应用】(1)已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=_时等式成立.(2)凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+_.【解析】(1)因为假设n=k(k2且k为偶数)，故下一个偶数为k+2.(2)从k边形到k+1边形，实际是多了一个三角形，故内角和比k时多,即f(k+1)=f(k)+.答案：(1)k+2 (2)用数学归纳法证明等式【即时应用】用数学归
4、纳法证明等式的规则(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.【例1】(2012烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不
5、存在，说明理由.【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a,b,c的值，而后用数学归纳法证明.【规范解答】假设存在a,b,c使得所给等式成立.令n=1,2,3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)对一切正整数n都成立.(1)当n=1时，由以上可知等式成立;(2)假设当n=k(kN*)时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)=则当n=k+1时，(k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2
6、)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)=由(1)、(2)知，等式对一切正整数n都成立.【反思感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他
7、办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.【例2】由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，1 ,猜想成立；(2)假设当n=k(kN*)时，猜想成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确，所以对任意的nN*，不等式都成
8、立.【反思感悟】1.本例在由n=k到n=k+1这一步变化中，不等式左边增加了即增加了2k项，这一点很关键，若项数写不正确，该题的证明将无法正确得出.2.当n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大还是缩小.归纳猜想证明类问题【方法点睛】归纳猜想证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.(2)“归纳
9、猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【例3】(2012南京模拟)已知数列an满足Sn+an=2n+1.(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an.(2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得猜想(2)由(1)得n=1时，命题成立；假设n=k(kN*)时，命题成立，即那么当n=k+1时，a1+a2+ak+ak+1+ak+
10、1=2(k+1)+1,且a1+a2+ak=2k+1-ak,2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,即当n=k+1时，命题也成立.根据、得,对一切nN*,an=2-都成立.【反思感悟】“归纳猜想证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求an,Sn时更是应用频繁.用数学归纳法证明整除性问题或与平面几何有关的问题【方法点睛】数学归纳法的综合应用(1)应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：是整除数，是整除代数式.这两类证明最关键的问题是“配凑”要证的式子(或是叫做“提公因式”)，即当n=k+1时，将n=k
11、时假设的式子提出来，再变形，可证.(2)应用数学归纳法证明与平面几何有关的命题，其关键是从前几项的情形中归纳出一个变化过程，用f(k+1)-f(k)就可以得到增加的部分，然后理解为何是增加的，就可以从容解题了.【例4】证明下列问题：(1)已知n为正整数，aZ,用数学归纳法证明：an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.(2)有n个圆，任意两个都相交于两点，任意三个不交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(nN*).【解题指南】(1)当n=k+1时，把ak+2+(a+1)2k+1提出ak+1+(a+1)2k-1的形式是解题的关键.(2)当n=k+1时，第k+1个
12、圆与前k个圆相交，平面区域增加了2k个部分是解题的关键.【规范解答】(1)当n=1时，an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.假设当n=k(kN*)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，那么当n=k+1时，ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1+ak+2-ak+1(a+1)2=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除,即当n=k+1时，命题也成立.根据、可知，对于任意nN*，an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.(2)当n=1时，1个圆将平面分成两部分.f(1)=
13、2,12-1+2=2,n=1时，命题成立.假设当n=k(k1,kN*)时,k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.当n=k+1时，在k个圆的基础上再增加一个圆与原k个圆都相交，圆周被分成2k段弧，增加了2k个平面区域.f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即当n=k+1时，命题也成立.综上知，对任意nN*，命题都成立.【反思感悟】1.用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k+1)进行分拆，配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除P(k+1)
14、能被p整除.”2.证明与平面几何有关的问题，其着眼点是找规律，由前几项可找到规律，进行应用即可.【满分指导】数学归纳法解题的规范解答【典例】(12分)(2012九江模拟)设数列an的前n项和为Sn,并且满足(1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.(2)设x0,y0,且x+y=1,证明：【解题指南】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3，从而可猜想an,并用数学归纳法证明.(2)利用分析法，结合x0,y0,x+y=1,利用基本不等式可证.【规范解答】(1)分别令n=1,2,3,得an0,a1=1,a2=2,a3=3.猜想：an=n.2分由2Sn=+n 可知，当n2时，2S
15、n-1=+(n-1)-,得即3分()当n=2时，a20,a2=2.4分()假设当n=k(k2)时，ak=k,那么当n=k+1时，ak+1-(k+1)ak+1+(k-1)=0,ak+10,k2,ak+1+(k-1)0,ak+1=k+1.即当n=k+1时也成立.6分an=n(n2).显然n=1时，也成立，故对于一切nN*，均有an=n.7分(2)要证只要证 8分即将x+y=1代入，得即只要证即4xy1.10分x0,y0,且x+y=1,即xy ,故4xy1成立，所以原不等式成立.12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分:(
16、1)在代入n=1,2,3时，不能准确求得a1,a2,a3，从而猜想不出an.(2)证明不等式时，不会应用x+y=1这一条件代换，导致无法证明不等式成立.备考建议解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明n=k到n=k+1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.1.(2012南阳模拟)用数学归纳法证明等式1+2+3
17、+(n+3)(nN*)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是()(A)1(B)1+2(C)1+2+3(D)1+2+3+4【解析】选D.当n=1时，左边是1+2+3+4，是由1加到n+3，故选D.2.(2012上海交大附中模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)，从k到k+1，左边需要增乘的代数式为()(A)2k+1(B)2(2k+1)(C)(D)【解析】选B.当n=k时，左边为(k+1)(k+2)(k+k),而当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)，左边增乘的
18、式子为3.(2012九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(nN*)能被8整除时，当n=k+1时，对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为()(A)5634k+1+25(34k+1+52k+1)(B)3434k+1+5252k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)【解析】选A.当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除.那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-5234k+1+34k+5=(34-52)34k+1+52(34k+1+52k+1)=5634k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.4.(2012盐城模拟)利用数学归纳法证明不等式的过程中，用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为_.【解析】当n=k时，左边的代数式为而当n=k+1时，左边的代数式为相减是答案：
