1、第五节数列的综合应用三年20考高考指数:能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式.2.常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化化归能力，如与函数、不等式、解析几何等交汇考查.3.各种题型都有可能出现.数列的综合应用(1)解答数列应用题的步骤审题仔细阅读材料，认真理解题意.建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.求解求出该问题的数学解.还原将所求结果还原到原实际问题中.具体解题步骤用框图表示如下：实际应用题构建数列模型与数列
2、有关的数学问题数学问题的解审题，找出题意中的数学关系分析 转化运用数列知识求解翻译作答(2)数列应用题常见模型等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.【即时应用】(1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1+rn
3、)，属于等差模型.复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1+r)n，属于等比模型.(2)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为_元.【解析】由题意知，小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+2ar+ar=78ar.答案：78ar(3)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，则细菌将病毒全部杀
4、死至少需要_秒钟.【解析】设需要n秒钟，则1+21+22+2n-1100,100,n7.答案：7等差、等比数列的综合应用【方法点睛】解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系.(2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.(3)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项、前n项和，以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法.【例1】已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn.【解题指南
5、】(1)列出关于a1,d的方程组，求出a1,d.(2)先求再利用(1)中所得an求bn,最后用错位相减法求Tn.【规范解答】(1)依题意得an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.(2)=3n-1,bn=an3n-1=(2n+1)3n-1,Tn=3+53+732+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,则-2Tn=3+23+232+23n-1-(2n+1)3n=-2n3n,Tn=n3n.【反思感悟】1.解答本题(1)时，列出关于a1,d的方程组是关键，求解本题(2)时，求出bn是关键.2.利用等比数列前n项和公式
6、时，注意公比q的取值，同时对等差、等比数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理使用性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解数列的实际应用【方法点睛】1.数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差、等比数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力2.处理分期付款问题时的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生
7、的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系.【提醒】解数列应用题要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是求Sn，特别是要弄清项数.【例2】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业估计收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【解题指南
8、】解决本题(1)的关键是正确理解题意，根据题意找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式，在解决第(2)问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法求解.【规范解答】(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800(1-)万元，第n年的投入为800(1-)n-1万元，所以,n年内的总投入为：an=800+800(1-)+800(1-)n-1=4 000-4 000()n.第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400(1+)万元.第n年旅游业收入为400(1+)n-1万元,所以,n年内的旅游业总收入为bn=400+400(1+)+400(
9、1+)n-1=1 600()n-1 600.(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bn-an0,即1 600()n-1 600-4 000+4 000()n0,化简得2()n+5()n-70,设()n=x,代入上式，得5x2-7x+20,解此不等式，得x1(舍去)，即()n 由此得n5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.【反思感悟】1.解答本题时，理解题意是关键，其中an,bn是等比数列的前n项和，而非第n项.2.此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型.3.与等比数列联系较大的是“增长率”、“递
10、减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关.数列与函数、不等式的综合应用【方法点睛】1.数列与函数的综合问题一般是通过研究函数的性质、图像来解决数列问题.2.数列与不等式的综合问题(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解.(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明.【例3】已知函数数列an满足a1=1,an+1=f(),nN+,(1)求数列an的通项公式;(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1
11、,求Tn;(3)令 (n2),b1=3,Sn=b1+b2+bn,若Sn对一切nN+成立，求最小正整数m.【解题指南】(1)可由已知得an+1与an的关系，从而判断出数列的类型.(2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第(2)、(3)问.【规范解答】(1)an是以为公差的等差数列.又a1=1,(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a2n(a2n-1-a2n+1)(3)当n2时，最小正整数m=2 012.【反思感悟】1.在求最小正整数m的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而Sn最值的求法使用了数列函数特征中的单调性.2.
12、数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选.【满分指导】数列与函数的综合应用解答题的规范解答【典例】(12分)(2011陕西高考)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1;P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,n).(1)试求xk与xk-1的关系(k=2,n);(2)
13、求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|.【解题指南】(1)求出曲线y=ex在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方程，令y=0可得xk与xk-1的关系.(2)把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解.【规范解答】(1)设点Pk-1的坐标是(xk-1,0),y=ex,y=ex,3分Qk-1(xk-1,exk-1)，在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方程是y-exk-1=exk-1(x-xk-1),令y=0,则xk=xk-1-1(k=2,n).6分(2)x1=0,xk-xk-1=-1,xk=-(k-1),|PkQk|=exk=e-(k-1),9分于是有|
14、P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|=1+e-1+e-2+e-(n-1)=即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|=12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)不明确题意，无法求出在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方程.(2)对数列的应用意识较差，不会把求和问题转化为数列求和解决.备考建议解决数列与其他知识的综合问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)等差、等比数列通项公式及求和公式记忆错误；(2)不能熟练掌握函数、方程、三角、不等式等知识，从
15、而不能顺利地利用数列知识解题；(3)不能合理利用分类讨论、函数与方程、等价转化、数形结合等思想方法解题.另外应培养对数列知识的应用意识，当问题与自然数n有关时，可考虑是否能用数列知识解决.1.(2012运城模拟)已知数列an的前n项和为Sn，过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(nN+)的直线的斜率为3n-2,则a2+a4+a5+a9的值等于()(A)52 (B)40 (C)26 (D)20【解析】选B.由题意，知Sn+1-Sn=3n-2,即an+1=3n-2,an=3n-5,因此数列an是等差数列，a5=10,a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5=40.2.(2012赣州模
16、拟)已知函数且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于()(A)0 (B)100 (C)-100 (D)10 200【解析】选B.an=f(n)+f(n+1),a1+a2+a3+a100=f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+f(4)+f(100)+f(101)=(32-22)+(52-42)+(72-62)+(1012-1002)+(12-22)+(32-42)+(52-62)+(992-1002)=(5+9+13+201)-(3+7+11+199)=100.3.(2012 黄冈模拟)某企业2011年初贷款a万元，年利率为r，按复利计算，从2011年末开始，每年偿还一定金额，计划第5年还清，则每年应偿还的金额为_万元.【解析】假设每年还x万元，则有x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2+x(1+r)+x=a(1+r)5,即x(1+r)5-1=ar(1+r)5,答案：4.(2012宝鸡模拟)已知数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足：Sn+1=Sn+an+1(nN+).(1)求数列an的通项公式；(2)设数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn1.【解析】(1)由Sn+1=Sn+an+1得Sn+1-Sn=an+1即an+1=an+1,所以an+1-an=1，即数列an为等差数列，公差d=1，且a1=1,故an=1+(n-1)1=n.(2)
