1、第五节数列求和及通项内容要求ABC等差数列等比数列三年4考高考指数:数列求和的常用方法1.公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和等差数列的前n项和公式:等比数列的前n项和公式:(2)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.【即时应用】(1)(2)若数列an的通项公式为an=2n+2n-1，则数列an的前n项和Sn=_.【解析】答案：(1)(2)2n+1+n2-22.倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那
2、么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.【即时应用】(1)函数y=f(x)的图象关于点对称，则f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)=_.(2)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则S17+S33+S50等于_.【解析】(1)由题意知f(1-x)+f(x)=2,设S=f(-5)+f(-4)+f(0)
3、+f(5)+f(6),则S=f(6)+f(5)+f(0)+f(-4)+f(-5),2S=122,S=12.(2)由题意知S17=9,S33=17,S50=-25,S17+S33+S50=1.答案:(1)12 (2)13.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.【即时应用】(1)数列的前n项和为_.(2)已知数列an的通项公式是若Sn=10,则n=_.【解析】(1)答案:(2)1204.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的.【即时应用】(
4、1)已知数列an的前n项和为Sn，且an=n2n,则Sn=_.(2)已知则Sn=_.【解析】(1)Sn=12+222+323+n2n,2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,-Sn=2+22+23+2n-n2n+1答案:(1)(n-1)2n+1+2分组转化求和【方法点睛】1.分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和2常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列
5、，采用分组求和法求an的前n项和【例1】(1)已知数列:1,(1+),(1+),(1+),则其前n项和Sn=_.(2)已知求数列an的前10项和S10;求数列an的前2k项和S2k.【解题指南】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.【规范解答】(1)答案:(2)S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)由题意知,数列an的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.【反思感悟】解答本例(2)时应注意，其奇数项组成的等差数列和偶数项组成的等比数列的通项公式并不是题目中
6、所给的解析式，可写出前n项寻找规律或将n=2k-1,n=2k代入求解.裂项相消法求和【方法点睛】1.应用裂项相消法应注意的问题使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时,消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.2.常见的拆项公式【例2】(2012南京模拟)已知函数数列an满足a1=1,an+1=f(an)(nN*).(1)求证:数列是等差数列;(2)记Sn=a1a2+a2a3+anan+1,试比较2Sn与1的大小.【解题指南】(1)写出an+1与an的关系,通过变形寻找的关系.(2)先用裂项法求Sn,再用作差法比较大
7、小.【规范解答】(1)由已知得,数列是首项为1,公差为2的等差数列.Sn=a1a2+a2a3+anan+1=【反思感悟】1.在对anan+1进行裂项时,易犯的错误,可通过通分验证.2.在用裂项相消法求和时,消项后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能剩下前几项和后几项.错位相减法求和【方法点睛】应用错位相减法应注意的问题(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.【提醒
8、】在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.【例3】数列an的前n项和为Sn,a1=1，an+1=2Sn(nN*).(1)求数列an的通项公式an;(2)求数列nan的前n项和Tn.【解题指南】(1)根据an与Sn的关系求an.(2)用错位相减法求Tn.【规范解答】(1)由an+1=2Sn得an=2Sn-1(n2),an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).数列an从第2项起是公比为3的等比数列.又a2=2S1=2,(2)Tn=a1+2a2+3a3+nan.当n=1时,T1=1；当n2时,Tn=1+430+631+2n3n-2,3Tn=3+
9、431+632+2n3n-1,-得:-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3n-1又T1=a1=1也满足上式,【反思感悟】解答本题(1)时，易把an错写成解答本题(2)求Tn时，易盲目利用错位相减法直接求和，忽视了讨论n=1的情形.【创新探究】耳目一新的数列求和【典例】(2011安徽高考)在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=lgTn,n1.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=tanantanan+1，求数列bn的前n项和Sn.【解题指南】(1)用“倒序相乘法”求Tn,再求an.(2)根据两角差的正切公式
10、表示出tanantanan+1，然后求Sn.【规范解答】(1)设t1,t2，tn+2构成等比数列，其中t1=1,tn+2=100,则Tn=t1t2tn+1tn+2,Tn=tn+2tn+1t2t1,并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1in+2)，得Tn2=(t1tn+2)(t2tn+1)(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2),an=lgTn=n+2,n1,nN*.(2)由题意和(1)中计算结果，知bn=tan(n+2)tan(n+3),n1.另一方面，利用得所以【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题难度不大,但有以下两个创新点
11、:(1)根据等比数列的性质,利用“倒序相乘法”求等比数列的前n项之积；(2)把数列与三角函数知识相结合,考查学生分析问题、解决问题的能力,解题时根据两角差的正切公式，把tan(k+1)tank变形为再求Sn.备考建议在解决有关数列求和的创新问题时，应注意以下几点：(1)熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式;(2)认真分析数列的通项公式的特点,能选择适当的数列求和方法;(3)认真研究数列与其他知识点的交汇题目,提高分析问题的能力.1.(2011安徽高考改编)若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2)，则a1+a2+a10=_.【解析】a1+a2=a3+a4=a9+a10=3,故a1+a2+a10=15.答案：152.(2012南京模拟)已知数列an满足则数列an的前100项的和是_.【解析】答案：3.(2012徐州模拟)数列an,a1=1,an+an+1=2n,则数列an+1-an的前10项和T10=_.【解析】a1=1,an+an+1=2n,a2=1,a3=3,a4=3,a5=5,a6=5,a7=7,a8=7,a9=9,a10=9,a11=11.数列an+1-an的前10项和T10=a2-a1+a3-a2+a11-a10=a11-a1=10.答案：10
