1、第三节等比数列内容要求ABC等比数列三年2考高考指数:1.等比数列的定义(1)条件：一个数列从第二项起_等于同一个常数.(2)公比：指的是常数，通常用字母q表示(q0).(3)定义表达式:_.每一项与它前一项的比判断下列数列是否为等比数列.(请在括号中填“是”或“否”)(1)数列0,0,0,0,0,()(2)数列1,1,2,4,8,16,32,()(3)数列a,a,a,a,a,()(4)数列1,-1,1,-1,1,()【即时应用】【解析】(1)不是.等比数列中的项不能为0.(2)第二项与第一项的比值不等于常数2,故不是等比数列.(3)当a=0时,不满足等比数列的概念,故不一定是等比数列.(4)
2、是等比数列.答案：(1)否(2)否(3)否(4)是2.等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为_.(1)等比数列的第11项为_.(2)在等比数列an中，若a3=2,a6=16，则数列的通项公式为_.【即时应用】【解析】(1)(2)设等比数列的公比为q，则解得答案:(1)(2)an=2n-23.等比中项如果_成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.a,G,bG2=ab(1)b2=ac是a、b、c成等比数列的_条件.(2)若等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第5项为_.【即时应用】【解析】(1)当a
3、=0,b=0,c=1时，满足b2=ac,但a、b、c不成等比数列,反之，若a、b、c成等比数列，则必有b2=ac,故b2=ac是a、b、c成等比数列的必要不充分条件.(2)由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,答案:(1)必要不充分(2)4.等比数列的前n项和公式(1)当公比q=1时,Sn=；(2)当公比q1时,Sn=_=_.na1(1)在等比数列an中，a1=2.4,q=-1.5,n=5，则Sn=_.(2)在等比数列an中，则Sn=_.(3)设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn，则【即时应用】【解析】答案:(1)(2)(3)等比数列的基本运算【方法点睛】1.等比数列运
4、算的通法解决等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比，然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.2.等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列的前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q1两种情况求解.【提醒】在运算过程中，应善于运用整体代换的思想简化运算的过程.【例1】(1)(2011湘潭模拟)已知an是各项都为正数的等比数列,Sn是an的前n项和,若a1=1,5S2=S4，则a5=_.(2)(2011大纲版全国卷)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.【解题指南】(1)根据5S2=S4，列方程求公比q.(2)建立关于a1和
5、q的方程组，求出a1和q后再求an和Sn.【规范解答】(1)设公比为q,则由5S2=S4知q1,又a1=1,q2=4,又q0,q=2.a5=a1q4=124=16.答案:16(2)设an的公比为q，由题意得解得或当a1=3,q=2时，an=32n-1,Sn=3(2n-1);当a1=2,q=3时，an=23n-1,Sn=3n-1.【反思感悟】1.本例(1)只有一解，本例(2)有两组解，在求解过程中，要注意根据题意确定解的个数.2.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.等比数列的判定与证明【方法点睛
6、】等比数列的判定方法(1)定义法：若(q为非零常数,nN*)或(q为非零常数且n2,nN*)，则an是等比数列.(2)中项公式法：若数列an中，an0且an+12=anan2(nN*)，则数列an是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=cqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列.(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列.【提醒】前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明某一数列为等比数列.【例2】设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an，证明
7、数列bn是等比数列；(2)在(1)的条件下证明是等差数列,并求an.【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-1的关系.(2)先求bn，再证明数列是等差数列，最后求an.【规范解答】(1)由a1=1,及Sn+1=4an+2,有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,b1=a2-2a1=3.由Sn+1=4an+2 知当n2时，有Sn=4an-1+2 -得an+1=4an-4an-1，an+1-2an=2(an-2an-1)又bn=an+1-2an，bn=2bn-1,即bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.(2)由(1)可得bn=an+1-2an=32n-1,数列是首项为
8、公差为的等差数列.【反思感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把Sn+1=4an+2转化为an+1与an的关系，然后作商或在作商时，无论使用还是都要考虑比值中是否包含了这一项，这是很容易被忽视的地方.等比数列的性质及应用【方法点睛】等比数列的常见性质(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则(2)通项公式的推广：an=amqn-m(m,nN*);(3)若数列an,bn(项数相同)是等比数列，则an,an2,anbn,(0)仍然是等比数列;(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列，公比为qk;(5)公比不为
9、-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.【例3】(1)已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10，则a4a5a6=_.(2)已知等比数列an满足an0，n=1,2,且a5a2n-5=22n(n3)，则log2a1+log2a3+log2a2n-1等于_.【解题指南】(1)利用a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列求解.(2)根据a5a2n-5=an2先求an，再代入求解.【规范解答】(1)a1a2a3,a4a5a6,a7a8a
10、9成等比数列,(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=50,又an0,答案：(2)a5a2n-5=an2=22n且an0,an=2n,a2n-1=22n-1,log2a2n-1=2n-1,log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+5+(2n-1)=n2.答案：n2【反思感悟】1.解答本例(1)时,也可用整体代入的方法求解,但不如用等比数列的性质简单.2.利用等比数列的性质解决问题时,一定要注意每一项的下标,不要犯a2a5=a7的错误.【创新探究】等比数列与三角函数相结合的创新题【典例】(2011福建高考)已知等比数列an的公比q=3,前3项和(1)求数列an的通项公
11、式;(2)若函数f(x)=Asin(2x+)(A0,0)在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式.【解题指南】(1)先求a1，再求an.(2)先求出a3，从而A可知，再根据f(x)的图象过点求.【规范解答】(1)由得解得(2)由(1)知an=3n-2,a3=3.函数f(x)的最大值为3,所以A=3.当时,f(x)取得最大值,函数f(x)的解析式为【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有以下创新点：(1)考查内容上有所创新，等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，把它们有机地融合在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求；(2)考查方
12、式上有所创新，本题一改以往对数列与函数、不等式相结合的传统命题方式，而是求新求变，与三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力和知识迁移能力.备考建议在解决与数列有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)解答此类问题应采取先局部后整体的策略，即先单独考虑等比数列和三角函数,再从整体上考虑两部分相关联的地方.(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面来考虑.1.(2012常州模拟)已知等比数列an的公比q0,若a2=3,a2+a3+a4=21,a3+a4+a5=_.【解析】a2+a3+a4=a2(1+q+q2)=21，q2+q-6=0,又q0,q=2，a3+a4+a5=(a2+a3+a4)q=212=42.答案：422.(2011辽宁高考改编)若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为_.【解析】因为等比数列an满足anan+1=16n,所以an+1an+2=16n+1 得q2=16.又因为anan+1=16n0,所以q=4.答案：43.(2011北京高考)在等比数列an中，若则公比q=_;|a1|+|a2|+|an|=_.【解析】答案:4.(2012淮安模拟)已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数.若a1=d,b1=d2,且是正整数，则q等于_.【解析】由题意知又是正整数，q是小于1的正有理数,答案：
